En fait, comme on le reverra plus en détail au chapitre 5 relatif aux problèmes aléa- toires, les conditions de coercivité (1.1) vérifiées par Aεimpliquent qu’il existe une matrice
A⋆ telle que : ξ
0 = A⋆∇u0. Néanmoins, dans le cas général, la matrice A⋆ dépend de la
sous-suite considérée pour les convergences de uε′ et de ξε′, et n’est donc pas uniquement
déterminée.
1.3.2
Cas périodique
Dans le cas périodique considéré dans la suite du chapitre, on peut caractériser la matrice A⋆ de manière explicite, ce qui montre en particulier que la matrice A⋆ est en
fait indépendante de la sous-suite considérée et est bien uniquement déterminée. Dans ces conditions, la limite u0 est l’unique solution du problème aux limites :
(
− div (A⋆∇u
0) = f dans Ω,
u0 = 0 sur ∂Ω.
(1.5)
qui est un problème de type conductivité linéaire mais avec une matrice de conductivité A⋆ dite homogénéisée.
Par unicité de la solution au problème (1.5), la suite uε admet une unique valeur
d’adhérence : c’est toute la suite qui converge vers u0, qui est ainsi uniquement déterminée.
1.4
Le développement à deux échelles
On étudie la convergence de (1.2) dans le cas périodique. On cherche en particulier à caractériser la matrice homogénéisée A⋆. Pour cela, on postule une forme pour la solution
uε.
On écrit ainsi uε comme un développement en puissance de ε :
uε(x) = u0(x, x ε) + εu1(x, x ε) + ε 2u 2(x, x ε) + . . . (1.6) Dans ce développement supposé a priori, que l’on appelle parfois "ansatz", chaque fonction uk apparaissant à l’ordre k a été prise dépendante de deux variables d’espace, à
savoir :
– x, qui correspond à l’échelle macroscopique, – y = x
ε, liée à l’échelle de variation microscopique.
Remarque 1.4.1 Le développement asymptotique est un postulat qui nous permet de trouver des conditions nécessaires vérifiées par chaque composante uk et ainsi de trouver
la forme de l’équation limite. Ce développement ne tient en particulier pas compte d’éven- tuelles couches limites qui peuvent se produire au bord du domaine de calcul. Dans de telles situations, la solution uε varie brutalement sur une épaisseur de peau au voisinage
du bord. On peut alors en tenir en compte en incluant des termes supplémentaires dans le développement (1.6). Nous traiterons précisément un exemple de couche limite dans le chapitre suivant consacré à l’homogénéisation d’un processus de diffusion en milieux fissurés.
Chapitre 1. Techniques d’homogénéisation
Remarque 1.4.2 Le premier terme du développement u0 coïncide avec la solution u du
problème homogénéisé, obtenu à la limite ε→ 0.
Chaque composante du développement uk est de plus supposée être périodique par
rapport à la variable microscopique y = x
ε :
y −→ uk(x, y) est ainsi périodique sur la cellule (0, 1)N.
Autrement dit, l’échelle microscopique de taille ε est dilatée d’un facteur 1
ε de manière
à ramener la modulation microscopique sur un support de taille 1.
La forme (1.6) signifie qu’en chaque point macroscopique x, on considère une oscillation de la fonction uk(x,·) due à l’échelle microscopique représentée par la partie uk(·,xε) qui
est périodique de cellule (0, 1)N.
Ensuite, on injecte le développement (1.6) dans l’équation exacte (1.2) et on en déduit des conditions nécessaires vérifiées par chaque terme de l’ansatz.
On applique ainsi la règle des dérivation des fonctions composées pour calculer le gradient d’une fonction v(x,x
ε) : ∇v(x,x ε) = (∇xv) (x, y) + 1 ε(∇yv) (x, y) en y = x ε.
Les opérateurs ∇x (resp. ∇y) correspondent aux dérivées partielles de v(x, y) par
rapport à x (resp. y). Comme on est en dimension N, il s’agit donc de N-uplets de type ∂ ∂x1, ..., ∂ ∂xN .
Le développement à l’ordre ε du membre gauche de (1.2) s’écrit ainsi :
− divA(x ε)∇uε
= −1
ε2 divy(A(y)∇yu0(y))
−1
ε [divx(A(y)∇yu0(y)) + divy(A(y)∇xu0(y)) + divy(A(y)∇yu1(y)) ]
−[divx(A(y)∇xu0(y)) + divy(A(y)∇xu1(y))
divx(A(y)∇yu1(y)) + divy(A(y)∇yu2(y))]
+O(ε). (1.7)
Le membre de droite de (1.2) étant d’ordre 0 par rapport à ε, le cœfficient d’ordre 1 ε2
du développement (1.7) doit être nul, on a donc nécessairement :
− div (A(y)∇yu0(x, y)) = 0. (1.8)
On utilise alors la coercivité de A, appliquée à ∇yu0(x, y), c’est à dire que :
c Z Y k∇ yu0(x, y)k2 ≤ Z Y
(A(y)∇yu0(x, y),∇yu0(x, y))
On effectue une intégration par parties du majorant :
c Z Y k∇yu0(x, y)k2 ≤ − Z Y
divy(A(y)∇yu0(x, y)) u0(x, y) +
Z
∂Y
1.4. Le développement à deux échelles
~n étant la normale du bord de la cellule ∂Y orientée vers l’extérieur.
Le premier terme du membre de droite de l’équation précédente est nul d’après (1.8), tandis que le second, correspondant au terme de bord s’annule par périodicité en y de u0(x, y).
On a donc :
∇yu0(x, y) = 0. (1.9)
C’est à dire que la fonction u0 ne dépend que de l’échelle macroscopique x :
u0 = u0(x). (1.10)
Passons à l’ordre 1
ε. En utilisant l’information (1.10), on obtient : divy(A(y)(∇xu0(x) +∇yu1(x, y))) = 0.
u1(x, y) est ainsi solution du problème :
(
− divy(A(y)(∇xu0(x) +∇yu1(x, y))) = 0 sur Y,
u périodique en y au bord ∂Y. (1.11) Le problème (1.11) donnant u1 apparaît suivant une équation en y paramétrée par la
variable macroscopique x. Comme y et x sont liés par y = x
ε, y balaye le domaine 1
εΩ
qui est immense lorsque ε tend vers 0. Il paraît ainsi légitime d’assimiler 1
εΩ à R
N. On
invoque ensuite la périodicité en y, que l’on postule au niveau de l’ansatz, pour ramener le problème sur la seule cellule Y .
Ainsi, si l’on connaît u0, u1 est alors connue explicitement en résolvant (1.11). Par
linéarité, la solution peut s’écrire sous la forme :
u1(x, y) = N
X
i=1
∂xiu0(x)wi(y), (1.12)
où les wi sont les fonctions solutions du problème de cellule (on dit aussi problème de
sous-maille, ou encore "cell problem") : (
− divy(A(y)(ei+∇ywi(y))) = 0 sur Y,
wi périodique en y au bord ∂Y.
(1.13)
où ei désigne le i-ème vecteur de la base canonique de RN.
Remarque 1.4.3 u1 n’est en fait définie qu’à l’addition d’une fonction v(x) près. Mais,
cela n’a pas de conséquence sur le processus d’homogénéisation, puique ce qui compte c’est ∇yu1(x, y).
Finalement, il nous reste à trouver u0 pour connaître u1.
Pour cela, on utilise l’ordre 0 du développement (1.7) et on l’identifie à f, de sorte que (1.2) soit bien vérifiée.
Chapitre 1. Techniques d’homogénéisation
On obtient alors une équation couplant u0, u1 et u2 :
− divy(A(y)(∇xu1(x, y) +∇yu2(x, y))) = divx(A(y)(∇yu1(x, y) +∇xu0(x))) + f, (1.14)
en imposant pour u2 la condition de périodicité en y sur le bord ∂Y . On remarque
alors que le membre de gauche de l’équation (1.14) s’écrit comme la divergence en y d’une certaine fonction vectorielle périodique g(y).
En appliquant la formule de Green sur une telle fonction : Z Y divyg(y)dy = Z ∂Y g(y)· ~n = 0, par périodicité.
L’intégrale en y du membre droite de (1.14) est par conséquent nulle, ce qui impose :
− divx Z Y A(y) (∇yu1(x, y) +∇xu0(x)) dy = f (x),
où l’on a interverti l’intégration en y et la dérivation en x du fait que ces deux variables sont vues comme des variables indépendantes.
On reprend alors l’expression (1.12) obtenue pour u1 en fonction de u0 et des fonctions
wi solutions du problème de cellule (1.13) pour obtenir l’équation sur u0 :
− divx Z Y A(y) N X i=1 ∂xiu0(x)(∇ywi(y) + ei)dy ! = f (x). (1.15) Or : Z Y A(y) N X i=1 ∂xiu0(x)(∇ywi(y) + ei)dy = Z Y A(y) N X i=1
(∇u0(x))i(∇ywi(y) + ei)dy.
On peut alors sortir ∇u0(x) de l’intégrale sur y, en invoquant là encore l’indépendance
de x et de y : Z Y A(y) N X i=1 ∂xiu0(x)(∇ywi(y) + ei)dy = N X i=1 (∇u0(x))i Z Y
A(y)(∇ywi(y) + ei)dy)
.
On développe alors le produit A(y)(∇ywi(y) + ei) sur la base canonique :
Z Y A(y) N X i=1 ∂xiu0(x)(∇ywi(y)+ei)dy = N X j=1 N X i=1 (∇u0(x))i N X k=1 Z Y Ajk(y)(∇ywi(y) + ei)kdy ! ej,
où (∇ywi(y) + ei)k désigne la k-ième composante du vecteur ∇ywi(y) + ei dans RN.
1.5. Structure du modèle homogénéisé