Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation :

Interrogation n°4 Objectifs

1. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation :

…...

...

…...

...

…...

...

Remarque :

Attention : |z+z '|...|z|+|z '|

Propriété n°8 (rappel)

1. L'ensemble des points du plan situés à une distance

R

d'un point

A

forme

……….

2. L'ensemble des points du plan situés à égale distance de deux points

A

B

est

………

Exemple n°10

1. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation :

|z−i+2|=|z +3i−4|

…...

...

…...

...

…...

...

…...…

2. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation |z−i+2|=4

…...

...

…...

...

…...

...

Interrogation C6_5 (/6) Objectifs :

Niveau a eca n

C6.i 1 Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire

C6.j 2 Savoir utiliser le calcul du module dans des situations

géométriques.

Ex.1

Dans un repère orthonormé

(O;

^⃗i

;

^⃗j

) ,

on considère les points

A

B

C

d'affixes respectives :

z

= 5+7i

;

z

= 12+ 11i

;

z

= 1+ 14i

[/6] Calculer

|

^z^⃗AB

|

^z^⃗BC

|

^et

|

^z^⃗AC

|

. En déduire la nature de

ABC

…...

...

...………...

…...

...

...………..…………...

…...

...

...………..

…...

...

…...

...

…...

...

...…

Résultats

Ex.1 : Triangle rectangle isocèle en A

Interrogation n°5 Objectifs :

C6.i_Niv1:Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire

C6.j_Niv2 : Savoir utiliser le calcul du module dans des situations géométriques.

Exercice n°9

Ex.16 p.210

Exercice n°10*

Ex.19 p.211

Exercice n°11*

Ex.102 p.215

Exercice n°12**

Ex.184 p.227

Résultats ou indices

Ex.1 (54 p.212) :

x = 1

y = –

2 Ex.2 (79 p.214) : 1. 1

–

i

et 1 2

+

i

1 + 2i

1 – 2i

3. −1−

√

2 et −1+

√

5 2 4. 5

–

√

¹¹

i

et 5

+ √

¹¹

i

Ex.3 (8 p.210) : dans le désordre : 1+i

3–2i ;

(1+i)(-3–11i) ;

⁻⁵ⁱ

4+i

;

⁻²^–³ⁱ

5+i

; 1–3i(1+i) ; -i(9 –2i)

Ex.4 (66 p.213) : a.

(1 – i z )(1 + 2 z ).

z

– 2i z

+ 1 + 3i

. Ex.5 (81 p.214) : 1.

√

^5,

– √

^5,

1 -1

2i

-2i

-i

i

-2

2 -i

i.

Ex.6 (82 p.214) : Un test à faire sur le signe de delta...

Ex.7 (12 p.210) : dans le désordre :

1-i ;-1+2i ;2+i ;1+3i ;3+2i ;3 ;-2+2i ;-2i

Ex.8 (13 p.210) :

Ex.9 (16 p.210) :

|z

|=|z

|=2

;

|z

|=2,5

;

|z

|=|z

|=3

;

|z

|=|z

|=1

Ex.10 (19 p.211) :

25.

Ex.11 (102 p.215) : Dans le désordre :

Médiatrice de [AB] avec A(2i) et B(-2+3i).

Cercle de centre O et de rayon 3. Cercle de centre (i) et de rayon 5.

Ex.12 (184 p.227) : 3.

1

4

4. 1

+ √

³₂

i

– √

³₂

i

2 – √

³^et

2 + √

^3.

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Chapitre n°6: Nombres imaginaires, partie 1/2

Objectifs :

Niveau a eca n

C6.a 1

Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre imaginaire, calculer avec des nombres imaginaires, savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.

C6.b 1 Savoir calculer avec des nombres imaginaires.

C6.c 1 Savoir résoudre des équations du premier degré

comportant des nombres imaginaires.

C6.d 2 Savoir résoudre des équations du premier degré

comportant des nombres imaginaires.

C6.e 1 Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire

C6.f 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire

d'un quotient de nombres imaginaires.

C6.g 1 Savoir résoudre une équation du second degré dans C

C6.h 1 Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un

vecteur et son affixe.

C6.i 1 Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire.

C6.j 2 Savoir utiliser le module dans des situations

géométriques.

Activité d'approche n°1 : Pourquoi de nouveaux nombres

Au XVI^ème siècle, les mathématiciens italiens, dont Cardan, mettent au point des règles, plus ou moins connues partiellement auparavant, pour trouver des solutions d’équations de degré 3 ou 4. On donne ci-dessous la règle de Cardan pour trouver une solution de l’équation .

Vocabulaire : Dans l'équation x3 +px = q, l’inconnue x est nommée « la chose », p est nommé le « nombre de la chose », et q est nommé le « nombre de l’équation » 1. Compléter :

Règle de Cardan Exemple : x3 + 24x = 56 Le tiers du nombre de la chose, élevé au

cube, étant obtenu, on y ajoute le carré de la moitié du nombre de l’équation et, du tout, on extrait la racine carrée que l’on met de côté.

Le demi-nombre que l’on a élevé au carré, tu ajoutes ou tu enlèves l’autre : tu as le binôme avec son apotome.

...

(binôme)

...

(apotome)

En extrayant la racine cubique du binôme et celle de son apotome, le résidu de leur différence est la valeur de la racine.

... = ... et ... = ... l’exemple donné. Obtient-on bien une solution de cette équation ?

... solution obtenue et contrôler ce résultat graphiquement.

...

b. Commencer à appliquer la règle de cardan. Que se passe-t-il ?

...

... ...

L’audace de Bombelli

Ce mathématicien décide de poursuivre les calculs malgré tout…

√

¹²¹⁼¹¹^{donc «}

√

⁻¹²¹^»

serait égal à «

11 √

−1 » même si ceci n’existe pas ! Grâce à cette audace, Bombelli réussit à prouver que 4 est bien solution de (E) (la démonstration sera effectuée plus loin).

√

−1 n’ayant pas de sens, on utilisera à la place le symbole i, inventé par Euler au XVIII^ème siècle.

Ces nouveaux nombres sont appelés nombres imaginaires.

Calculer avec des nombres imaginaires

On calcule comme avec les réels en remplaçant

i

² par

-1

dès qu’il se présente :

…...

...

h. Résoudre l'équation

x

= –1

…...

...

7. En utilisant

i

, poursuivre la résolution de

x

– 15x = 4

initiée à la question 5b.

...

Cours n°1 : Nombres imaginaires,forme algébrique.

I) Nombres imaginaires: forme algébrique.

Propriété n°1 (admise)

Il existe un ensemble, noté … , appelé ensemble des nombres imaginaires, et qui possède les propriétés suivantes :

a. Cet ensemble contient

…...

b. L'addition et la multiplication dans

IR

se prolongent dans …. et les règles de calculs restent les mêmes.

c. ….. contient un nombre imaginaire, noté …, et tel que ….^....

=

…...

d. Tout nombre imaginaire

z

s'écrit de manière unique sous la forme

…...,

a

b

étant des nombres réels.

Démonstration du a:

Les nombres de la forme

a+0i

sont réels.

Vocabulaire

Si un nombre imaginaire s'écrit …..., alors : a. …... s'appelle la forme algébrique de

z.

Exemple n°1

z = 1 – 2i

, r

e(z)=...

im(z)=...

z = √

^– ^{2, r}

e(z)=...

im(z)=...

z = – 2i

, r

e(z)=...

im(z)=...

re(4i – 2) = …...

im(4i – 2) = …...

Exemple n°2

On sait que

z

= 3 – 4i

et que

z

= 2 + 3i

Calculer :

z

+ z

2 :

…...

...

z

– z

2 :

…...

...

z

× z

2 :

…...

...

z₁ z₂ :

…...

...

Propriété n°2

0

est le nombre imaginaire ………...

.

2. Deux nombres imaginaires sont égaux si et seulement si leur parties réelles et leurs parties imaginaires………...

Démonstration :

1. Les nombres de la forme

a+0i

sont réels.

Donc 0 est de la forme ………..

z

= z

2 est équivalent à

z

– z

= …..

D'après 1.,

………

………..

Exemple n°3

Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :

5z + 1 = 4i – 2.

...

...…

Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :

5z + 1 = 4z – 2i

...

...…

Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :

(7i – 5)z – 2i – 2 = (6i – 8)z + 4i – 1.

...

Se tester C6_1 (/9) Objectifs :

Niveau a eca n

C6.a 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire

d'un nombre imaginaire.

C6.b 1 Savoir calculer avec des nombres imaginaires.

C6.c 1 savoir résoudre des équations du premier degré

comportant des nombres imaginaires.

C6.d 2 savoir résoudre des équations du premier degré

comportant des nombres imaginaires.

Ex.1 [/2]

z = 2 – 3i

, r

e(z)=...

im(z)=...

z = √

2, r

e(z)=...

im(z)=...

z = – 7i

, r

e(z)=...

im(z)=...

re(5i – 6) = …...

im(5i – 6) = …...

Ex.2 [/3]

Dans le document Chapitre n°6: Nombres imaginaires, partie 1/2 Objectifs : (Page 46-59)