À partir de ces types de tâches optimum nous allons maintenant établir les relations entre les tâches de l’ETP DAG. Elles sont étudiées dans les tableaux allant du Tableau VIII-7 (p. 142) au Tableau VIII-17 (p. 147) et synthétisées dans le Tableau VIII-18 (p. 147) et dans le Tableau VIII-21 (p. 148).
Remarques :
ce travail peut être mené de manière systématique en examinant toutes les paires de deux tâches qui peuvent être réalisées. Cependant, pour alléger un peu la suite du document, nous commençons par remarquer que 𝑡2 et 𝑡4 ont le même type de tâches optimum. On pourra donc déduire, des relations entre 𝑡2 et les autres tâches, les relations entre 𝑡4 et les autres tâches ;
la relation être une variation de étant symétrique lorsqu’elle est mise en évidence entre 𝑡𝑖 et 𝑡𝑗 nous n’étudions pas ensuite 𝑡𝑗 et 𝑡𝑖 ; déduit que 𝑡2~𝑇𝑜𝑝𝑡𝑡4. Nous réalisons maintenant une étude de toutes les autres relations de manière systématique.
143
pour les variables V2 et V4 les valeurs sont identiques ;
pour les variables V1 et V3 il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝1(𝑡1 ; 𝑡2) et 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝1(𝑡1 ; 𝑡4) où 𝑇𝑝1 = 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1 ; 2.1.1.1.1.1.1 ; 3.1 ; 4.1.2}.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝1 : « Développer un produit quelconque de polynômes à coefficients dans N, l’ordre des polynômes est quelconque, le signe multiplié est non apparent ».
pour les variables V2 et V4 les valeurs sont identiques ;
pour les variables V1 et V3 il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝2(𝑡1 ; 𝑡3) où 𝑇𝑝2= 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1.1 ; 2.1.1.1.1.1.1 ; 3.1 ; 4.1.2}.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝2 : « Développer un produit de deux polynômes à coefficients dans N, l’ordre des polynômes est quelconque, le signe multiplié est non apparent »
Tableau VIII-10 : recherche de relations entre les tâches 𝑡1 et 𝑡5 de l'ETP DAG
pour la variable V4 les valeurs sont identiques ;
pour les variables V1, V2 et V3 il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝3(𝑡1 ; 𝑡5) où 𝑇𝑝3= 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1 ; 2.1.1.1.1.1 ; 3.1 ; 4.1.2}.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝3 : « Développer un produit quelconque de polynômes à coefficients dans Z, l’ordre des polynômes est quelconque, le signe multiplié est non apparent ».
Modèle de description didactique d’un ETP : le modèle M2DR
pour la variable V4 les valeurs sont identiques ;
pour les variables V1, V2 et V3 il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝4(𝑡1 ; 𝑡6) où 𝑇𝑝4= 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1 ; 2.1.1.1.1.1 ; 3.1 ; 4.1.2}. On peut noter que 𝑇𝑝3 et 𝑇𝑝4 sont les mêmes types de tâches.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝4 : « Développer un produit quelconque de polynômes à coefficients dans Z, l’ordre des polynômes est quelconque, le signe multiplié est non apparent ».
Relations entre les tâche 𝒕𝟐 et 𝒕𝟒 et les autres tâches de l’ETP DAG
En raison de la symétrie de la relation être une variation de nous ne traitons pas la relation avec la tâche 𝑡1.
pour les variables V2, V3 et V4 les valeurs sont identiques ;
pour la variable V1 il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝5(𝑡2 ; 𝑡3) et 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝5(𝑡4 ; 𝑡3) où 𝑇𝑝5 = 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1 ; 2.1.1.1.1.1 ; 3.1.3 ; 4.1.2}.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝5 : « Développer un produit quelconque de polynômes à coefficients dans N, l’ordre des polynômes est sans objet, le signe multiplié est non apparent ».
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pour les variables V1, V3 et V4 les valeurs sont identiques ;
pour la variable V2, il y a une racine commune puis un prolongement pour 𝑡2 ; 𝑡4.
pour les variables V3 et V4 les valeurs sont identiques ;
pour la variable V2 la valeur de 𝑡2 est un prolongement de celle de 𝑡6 ;
pour la variable V1 il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝6(𝑡2 ; 𝑡6) et 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝6(𝑡4 ; 𝑡6) où 𝑇𝑝6= 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1.2 ; 2.1.1.1.1.1 ; 3.1.3 ; 4.1.2}.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝6 : « Développer un produit de trois polynômes à coefficients dans Z, l’ordre des polynômes est sans objet, le signe multiplié est non apparent ».
Relations entre la tâche 𝒕𝟑et les autres tâches de l’ETP DAG
En raison de la symétrie de la relation être une variation de nous ne traitons pas les relations avec les tâches 𝑡1 ; 𝑡2 et 𝑡4.
Modèle de description didactique d’un ETP : le modèle M2DR
pour les variables V3 et V4 les valeurs sont identiques ;
pour la variable V2, la valeur de 𝑡3 est un prolongement de celle de 𝑡5 ;
pour la variable V1, il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝7(𝑡3 ; 𝑡5) où 𝑇𝑝7= 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1 ; 2.1.1.1.1.1 ; 3.1.3 ; 4.1.2}.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝7 : « Développer un produit quelconque de polynômes à coefficients dans Z, l’ordre des polynômes est sans objet, le signe multiplié est non apparent ».
pour les variables V3 et V4 les valeurs sont identiques ;
pour la variable V2 la valeur de 𝑡3 est un prolongement de celle de 𝑡6 ;
pour la variable V1 il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝8(𝑡3 ; 𝑡6) où 𝑇𝑝8= 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1 ; 2.1.1.1.1.1 ; 3.1.3 ; 4.1.2}. On peut noter que 𝑇𝑝7 et 𝑇𝑝8 sont les mêmes types de tâches.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝8 : « Développer un produit quelconque de polynômes à coefficients dans Z, l’ordre des polynômes est sans objet, le signe multiplié est non apparent ».
Relations entre la tâche 𝒕𝟒et les autres tâches de l’ETP DAG
Les tâches 𝑡4 et 𝑡2 ayant le même type de tâches optimum, le cas 𝑡4 a déjà été traité.
Relations entre la tâche 𝒕𝟓et les autres tâches de l’ETP DAG
En raison de la symétrie de la relation être une variation de nous ne traitons pas les relations avec les tâches 𝑡1 ; 𝑡2 ; 𝑡3 et 𝑡4.
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pour les variables V2, V3 et V4 les valeurs sont identiques ;
pour la variable V1 il y a une racine commune puis des chemins divergents.
On en déduit que 𝑉𝑎𝑟𝑇𝑝9(𝑡5 ; 𝑡6) où 𝑇𝑝9= 𝐺𝑇_𝐷𝑒𝑣 {1.1.2 ; 2.1.1.1.1.1 ; 3.1.3 ; 4.1.2}. On peut noter que 𝑇𝑝6 et 𝑇𝑝9 sont les mêmes types de tâches.
Le pivot de variation est le type de tâches 𝑇𝑝9 : « Développer un produit de trois polynômes à coefficients dans Z, l’ordre des polynômes est sans objet, le signe multiplié est non apparent ».