Détermination des dispersions des vitesses dans le disque

vitesses dans le disque galactique en fonction du rapport [Mg/Fe], utilisé comme proxy de l'âge. Il s'agit d'une étape importante, durant laquelle il faut fournir une mesure précise de la dispersion an de pouvoir l'interpréter en terme de scénarios de formation.

4.4. Dispersions des vitesses et mécanismes de chauage du disque 149

La dispersion mesurée des vitesses est par dénition l'écart typique de vitesse σmeas autour de la vitesse moyenne µ d'une groupe de N objets. Dans notre cas, il s'agit d'étoiles du champ dans le disque galactique. Si nous connaissons parfaitement les vitesses observées vi et que celles-ci n'ont pas d'erreur de mesure (evi = 0), sous l'hypothèse d'une distribution normale, la moyenne µ et la dispersion mesurées, sont simplement : µ = 1 N N X i=1 vi et σmeas= v u u t 1 N N X i=1 (vi− µ)2. (4.1)

Sous l'hypothèse que les erreurs sont toutes constantes (evi = e), la dispersion intrinsèque des vitesses est donnée par la soustraction quadratique entre la disper- sion mesurée des vitesses et la moyenne des erreurs σ2

i = σ2meas− e2. Grâce à cette équation, nous comprenons donc que la dispersion intrinsèque des vitesses est plus petite que la dispersion mesurée des vitesses. Si les erreurs sur les vitesses ne sont pas constantes parmi les N objets, il convient d'adopter une méthode plus sophis- tiquée.

Dans le cadre de cette étude, nous avons mesuré la vitesse moyenne galactocen- trique µ et la dispersion intrinsèque des vitesses σi en tenant compte des erreurs individuelles de chaque étoile. L'approche utilisée est celle du maximum de vraisem- blance.

Dans l'approximation gaussienne, la vitesse v suit une loi normale centrée en µ et de variance σ2

i dont la densité de probabilité a pour expression :

v ∼ N (µ, σ2_i) ⇐⇒ f (v|µ, σi) = 1 q 2πσ2 i exp  −(v − µ) 2 2σ2 i  . (4.2)

Si à cela nous ajoutons la contribution de l'erreur individuelle ev sur la vitesse, la distribution normale résultante est vue comme la convolution entre la distribution de vitesse intrinsèque et la distribution des erreurs individuelles, supposée aussi normale. Nous obtenons :

f (v|µ, σi) = 1 q 2π(σ2 i + ev2) exp  − (v − µ) 2 2(σ2 i + ev2)  . (4.3)

Dans notre cas d'un échantillon de N étoiles, la fonction de vraisemblance, notée L(vi|µ, σi) est une fonction de probabilité conditionnelle dont l'expression est la suivante :

L(vi|µ, σi) = N Y i=1 f (vi|µ, σi) (4.4) = N Y i=1 1 q 2π(σ_i2+ ev_i2) exp  − (vi− µ) 2 2(σ_i2+ ev_i2)  (4.5) où viest la vitesse galactocentrique mesurée pour une étoile dans une composante de vitesse donnée (R, φ ou Z) et evil'erreur sur cette mesure. An de déterminer la vitesse moyenne µ et la dispersion intrinsèque σi, il convient de trouver le maximum de la fonction de vraisemblance L. De façon équivalente, nous pouvons minimiser le logarithme de la vraisemblance Λ ≡ −2 ln L. Une façon de trouver ce minimum est de chercher quand la dérivée au premier ordre de Λ s'annule en résolvant simultanément les équations ∂Λ ∂µ = 0et ∂Λ ∂σi = 0, c'est à dire : ∂Λ ∂µ = N X i=1 vi (σ2 i + ev2i) − µ N X i=1 1 (σ2 i + evi2) = 0 (4.6) et ∂Λ ∂σi = 2σi N X i=1 (σ2_i + ev_i2)2− (vi− µ)2 (σ2 i + evi2)2 . = 0. (4.7)

Cela nous donne respectivement : µ = Pn i=1σ2vi i+ev2i Pn i=1σ21 i+ev2i (4.8) et N X i=1 (σ_i2+ ev_i2)2− (vi− µ)2 (σ2 i + ev2i)2 = 0. (4.9)

µ correspond à la moyenne pondérée par l'inverse de la variance. Ce formal- isme est couramment utilisé dans la littérature, dans le domaine des amas stellaires [Pryor & Meylan 1993] ou dans le domaine de l'archéologie galactique comme par exemple les études de [Godwin & Lynden-Bell 1987] et [Binney et al. 2014].

Grâce à cette méthode robuste, nous sommes en mesure de déterminer les disper- sions intrinsèques des vitesses pour les étoiles de chaque échantillon présenté dans la Table4.1pour chaque sous-échantillon du plan [Fe/H] − [Mg/Fe] présenté dans la Figure4.12 (comme résumé dans la Figure4.2).

Pour réaliser des mesures de vitesses de dispersions physiquement pertinentes, les erreurs de vitesse individuelles doivent être prises en compte lors du calcul de σ par maximum de vraisemblance. Pour un sous-échantillon d'étoiles donné, nous avons rejeté les étoiles pouvant avoir des valeurs aberrantes, trop éloignées de la

4.4. Dispersions des vitesses et mécanismes de chauage du disque 151 vitesse moyenne, lors du calcul par maximum de vraisemblance.

Nous avons estimé l'erreur σe associée à σR,φ,Z comme la déviation standard de 1 000 réalisations de bootstrap. En eet, pour un sous-échantillon donné B con- tenant N étoiles, nous avons créé un nouveau sous-échantillon composé de 1 000×B étoiles. Puis, nous avons sélectionné de façon aléatoire 1 000 fois N étoiles an de mesurer 1 000 valeurs de dispersion intrinsèque des vitesses. Tous les calculs ont été eectués avec IDL.

Les étapes de la procédure permettant de calculer les dispersions des vitesses sont montrées dans la Figure4.15. Un exemple typique de sous-échantillon composé de 232 étoiles est présenté dans le plan [Mg/Fe]vs[Fe/H] avec h[Fe/H]i = +0.01 dex et h[Mg/Fe]i = −0.05 dex. La dispersion des vitesses mesurée vaut σ_meas= 49km s−1. Par l'approche du maximum de vraisemblance, nous obtenons σR= 35km s−1 avec une erreur σe= 2km s−1, issue de 1 000 réalisations de bootstrap.

Stabilité des mesures de σR,φ,Z en cas de faible statistique

Comme le nombre d'étoiles dans certains sous-échantillons peut être faible (en particlulier sur les bords du plan [Mg/Fe] − [Fe/H]), nous avons testé l'inuence d'une statistique faible sur la mesure de la dispersion des vitesses. Pour ce faire, nous avons sélectionné un sous-échantillon de 100 étoiles dans la composante az- imuthale (h[Fe/H]i = −0.54 dex, h[Mg/Fe]i = +0.17 dex et σφ = 28 ± 2km s−1) Nous avons sélectionné aléatoirement 1 000 fois un certain pourcentage de ce sous- échantillon, entre 5 est 100% par pas de 5%. Nous avons donc calculé 1 000 valeurs de σφ, et ainsi pu en déduire une moyenne et une déviation standard. La moyenne de σφ est montrée dans la Figure4.16en fonction du pourcentage d'étoiles sélectionnées. Nous voyons que hσφiconverge vers un plateau à partir de 10% autour de la valeur de référence σφ= 28 ± 2km s−1 et augmente sensiblement de 30 km s−1pour le plus petit pourcentage. Nous notons que nous avons testé d'autres sous-échantillons à dif- férentes valeurs de [Fe/H] et [Mg/Fe] et ce comportement est retrouvé. Dans notre étude, nous adopterons donc des sous-échantillons dans le plan [Fe/H] − [Mg/Fe] composés au minimum de 15 étoiles, an de déterminer des dispersions des vitesses robustes et ables pour leur interprétation en terme de propriétés cinématiques du disque galactique.

Dans cette section, nous avons donc dérivé les dispersions des vitesses pour chaque sous-échantillon du plan [Fe/H] − [Mg/Fe]. Ces mesures sont robustes et tiennent comptent des erreurs indiviudelles sur les vitesses galactocentriques. Les résultats des mesures de dispersion des vitesses en fonction du rapport [Mg/Fe] sont présentées dans le Sect4.4.2.

Figure 4.15  a) [Mg/Fe] en fonction de [Fe/H] pour l'échantillon principal. Un exemple de sous-échantillon h[Fe/H]i = +0.01 dex et h[Mg/Fe]i = −0.05 dex est montré en vert (232 étoiles). b) Distribution de VRpour ces 232 étoiles avec σmeas= 49km s−1. c) Distribution des erreurs sur VR. d) Distribution des 1 000 réalisations de bootstrap, avec σe = 2km s−1. Par maximum de vraisemblance, nous obtenons σR= 35km s−1.

4.4. Dispersions des vitesses et mécanismes de chauage du disque 153

Figure 4.16  Dispersion des vitesses azimutales moyennes en fonction du pour- centage d'étoiles sélectionnées dans un bin de 100 étoiles avec h[Fe/H]i = −0.54 dex, h[Mg/Fe]i = +0.17 dex et σ_φ = 28 ± 2km s−1. Les barres d'erreur correspondent à la déviation standard de 1 000 réalisations de bootstrap.

4.4.2 Dispersions des vitesses en fonction du rapport [Mg/Fe]