Démarrage et arrêt de httpd

discursiva, o estudante compreende a representação figural do sólido

A aprendizagem da Geometria espacial que tem por base nesta pesquisa, a teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval, relaciona os registros as diferentes apreensões diante da resolução de problemas que podem estar subordinados uma a outra.

Especificamente sobre a apreensão perceptiva e discursiva, Duval defende que

Não importa qual a figura desenhada no contexto de uma atividade matemática, ela é objeto de duas atitudes geralmente contrárias: uma imediata e automática, a apreensão perceptiva de formas e outra controlada que torna possível a aprendizagem, a interpretação discursiva de elementos figurais. Estas duas atitudes encontram-se geralmente em conflito porque a figura mostra objetos que se destacam independentemente do enunciado e que os objetos nomeados no enunciado das hipóteses não são necessariamente aqueles que aparecem espontaneamente. O problema das figuras geométricas está inteiramente ligado à diferença entre a apreensão perceptiva e uma interpretação necessariamente comandada pelas hipóteses (DUVAL, 2012, p. 120, 121).

No último encontro da pesquisa (Encontro VIII), foi trabalhado o conceito área e volume da superfície do sólido geométrico cilindro, com o objetivo de compreender as propriedades do sólido, seus elementos e articulá-los ao enunciado para explorar a apreensão perspectiva e discursiva. Assim, a atividade apresentada na Figura 44, apresenta a relação estabelecida pelas apreensões perspectiva e discursiva na resolução de um problema da geometria.

Figura 44: Problema proposto para a exploração das apreensões perceptiva e discursiva

Fonte: Sequência de Ensino proposta pela professora/pesquisadora, 2017.

Para a resolução do problema proposto os estudantes, num primeiro momento, mobilizaram a apreensão perceptiva da figura por meio do tratamento da mesma, marcada pelas figuras geométrias planas, círculo e retângulo, já identificadas em atividade anterior a esta que explorou a planificação do cilindro. Num segundo momento, a apreensão perceptiva sobrepunha a apreensão discursiva perante a compreensão do enunciado da questão.

De acordo com GARBI (2010, p. 288)

Denomina-se cilindro circular reto o sólido delimitado por uma superfície cilíndrica circular reta e por duas secções retas da mesma. As duas secções retas são denominadas bases e a distância entre elas é a altura. Os planos das bases determinam sobre a superfície cilíndrica a superfície lateral e segmentos de reta denominado geratriz do cilindro, [...]. O cilindro circular pode ser imaginado como o sólido gerado por um retângulo que gira em torno de um de seus lados.

Partindo da definição de cilindro segundo Garbi e considerando as apreensões, perceptiva e discursiva, os estudantes mobilizaram os elementos da figura articulando ao enunciado a fim de obter a compreensão das propriedades por meio da conversão de registros. Para resolver a primeira questão referente ao problema, ou seja, identificar a quantidade mínima de papel em, cm², necessária para cobrir a superfície lateral da lata representada na figura, os estudantes da Dupla 2 tiveram o seguinte diálogo.

Quadro 22: Argumentos da Dupla 2 referente ao cálculo da área de um cilindro

Discussão da Dupla 2 (A3 e A4)

(01) A3: Como a gente sabe o valor do raio é fácil ter a área da base que é pi vezes o raio ao quadrado. Dai a

gente tem 78,5 vezes dois que dá 157.

(02) A4: Tu tá calculando a área da superfície né?

(03) A3: Não calculei a área da base. Agora faço 2 vezes o raio vezes o pi vezes doze.

(04) A4: Só uma pergunta. De onde sai isso aqui, duas vezes o pi, vezes sei lá? Isso não é um retângulo que é

base vezes altura como a gente fez antes no desenho?

(05) A3: Mas a gente faz o que? Essa parte aqui (aluno aponta para a superfície lateral) multiplica dois pi

vezes o raio vezes o 12, porque é um retângulo que é base vezes altura.

(06) A4: Há sim, eu não tinha entendido teu cálculo.

A percepção dos elementos do cilindro a partir do registro figural e natural mostra uma evolução em nossa pesquisa, frente ao conceito cilindro. Os diferentes elementos presentes na aprendizagem da geometria espacial, que embasa a apreensão do conhecimento, sustentam o processo de ensino e de aprendizagem. Os estudantes apresentam um desenvolvimento cognitivo que os leva à apropriação do conceito por meio das atividades de tratamento e conversão e como mostra o diálogo, a aprendizagem ocorre na interação entre sujeitos e objeto. Neste caso, o Aluno A4 desenvolve processos de abstração e generalização dos conceitos mediante interações estabelecidas pelo A3. Como resposta ao problema, a Dupla 2 apresenta a seguinte solução de área da superfície do cilindro proposto discutida no diálogo.

Figura 45: Cálculo da área da superfície e área total do cilindro apresentando no problema 1 proposto

Fonte: Folha de Registros da Dupla 2, Mom. 1, Ativ. 3, Enc. VIII, 2017.

Portanto, a resolução de problemas de geometria espacial requer um raciocínio distinto para cada situação, que depende da conscientização e da distinção das apreensões utilizadas no processo. Assim, a distinção e a articulação entre as apreensões expostas, são consideradas condições auxiliares para o processo de aprendizagem de conceitos geométricos, podendo ainda, a compreensão de o conceito repousar sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação como apresentado na situação problema acima (DUVAL, 2009).

Em relação as concepções de aprendizagem e desenvolvimento de Vigotski, numa perspectiva histórico-cultural dos processos cognitivos, compreende-se o fato de que enquanto o ser humano se constitui como sujeito histórico-cultural, ocorre um processo de aprendizagem que gera desenvolvimento por meio da interação social que mobiliza as funções psicológicas humanas. As funções psicológicas humanas se apresentam, num primeiro momento, a partir dos processos interpsicológicos ou intermentais, os quais são controlados pelas interações com outras pessoas. E, no momento em que se tornam individuais, passam a ser denotados por processo intrapsicológico ou intramental, (VIGOTSKI, 1994).

O processo de aprendizagem em sala de aula ocorre quando o estudante faz interpretação e análise de dados e informações, a partir de um referencial, cujo aspecto mais

fundamental é o histórico de suas experiências e conhecimentos cotidianos. O conceito matemático também é histórico e social e se constituem em instrumentos psicológicos que “fazem a mediação entre o indivíduo e o mundo” (OLIVEIRA, 2004, p. 36).

Assim, o ser humano constrói signos, como a linguagem, que estabelece a comunicação entre os sujeitos, e esses estabelecem as relações conceituais. A partir da linguagem o ser humano, histórico-cultural, tem a capacidade de abstrair e generalizar de modo a estabelecer significados de maneira compartilhada. É por meio dos signos que ocorre o processo de internalização que é definido por Vigotski (1994, p. 74) como sendo “a reconstrução interna de uma operação externa”, ou seja, a internalização são as marcas externas do cotidiano que se tornam signos internos de objetos reais.

O marco da sequência de ensino, elaborada pela professora/pesquisadora, são os momentos de introdução ao conceito matemático por meio da linguagem, que fundamentou a comunicação entre os sujeitos para que estes estabelecessem significados mediante a abstração e generalização. Nesse processo, os estudantes consideraram significados culturalmente estabelecidos e, a partir da compreensão destes, atribuíram sentido às suas próprias ações e por meio de processos psicológicos internos.

Assim, pode-se dizer que, a linguagem, enquanto mediadora, permitiu as interpretações feitas pelos estudantes em relação aos objetos que foram apresentados pela professora intencionalmente. Além disso, a presença do computador no ambiente de aprendizagem possibilitou aos estudantes o acesso a muitos sistemas de signos, os quais foram identificados na interface do software e que interviram no comportamento e no desenvolvimento das funções psicológicas superiores dos estudantes.

A apropriação do significado de conceitos pelos estudantes se estabelece em dois níveis diferentes. O primeiro nível, social, acontece no plano intermental e o segundo, nível individual, acontece no plano intramental, ou seja, no interior do estudante. A transformação de um nível a outro é resultado de longos processos ocorridos no decorrer do desenvolvimento.

De acordo com Vigotski (2008, p. 101), “A aprendizagem adequadamente organizada resulta em desenvolvimento mental e põe em movimento vários processos de desenvolvimento que, de outra forma, seriam impossíveis de acontecer”, o que ocorreu durante o desenvolvimento das atividades propostas na sequência de ensino, em que os estudantes consideraram processos anteriores para a resolução das atividades de aprendizagem (como o caso do estudo e definição de prisma e pirâmide), que foi de extrema importância para o estudo da relação dos volumes de prismas e pirâmides.

A significação de um determinado conceito se estabeleceu na medida em que o estudante formou uma unidade de pensamento e à medida que estabeleceu, por meio de signos e a interiorização destes, diferentes relações de generalização, especialmente frente ao uso do software GeoGebra. A esse respeito, tem-se a relação dos conceitos espontâneos e científicos. Vigotski (1998, p. 135) diz que

O desenvolvimento dos conceitos espontâneos da criança é ascendente, enquanto o desenvolvimento dos seus conceitos científicos, para um nível mais elementar e concreto. Isso decorre das diferentes formas pelas quais os dois tipos de conceitos surgem. Pode-se remontar a origem de um conceito espontâneo a um confronto com uma situação concreta, ao passo que um conceito científico envolve, desde o início, uma atitude ‘mediada’ em relação ao seu objeto.

Desta forma, podemos dizer ainda que tanto nos conceitos espontâneos ou cotidianos, como nos científicos, os primeiros significados são obtidos na interação com o outro, o que é marcado nos encontros da professora/pesquisadora com os sujeitos estudantes para o desenvolvimento da sequência de ensino e as atividades desencadeadoras de aprendizagem.

De acordo com Vigotski (1994), a aprendizagem gera desenvolvimento e, a Zona de Desenvolvimento Proximal é suporte para esta colocação apresentando a distância entre o nível de desenvolvimento potencial onde o estudante realiza atividades com a ajuda de outra pessoa e o nível de desenvolvimento real, no qual o estudante age sozinho. Cabe ao professor intervir na ZDP de maneira a provocar avanços no desenvolvimento.

Durante a elaboração da sequência de ensino, a professora/pesquisadora buscou organizar um ambiente interativo propiciando condições de aprendizagem ao grupo de estudante de maneira que estes pudessem investigar, refletir e debater sobre os conceitos de geometria espacial e num processo de significação, apropriar-se dos significados. A utilização do software de geometria dinâmica contribuiu para a ampliação e conciliação da zona de desenvolvimento proximal do estudante, na medida em que possibilitou a produção de sentidos por meio da interação entre professor, estudantes e objetos matemáticos.

CONCLUSÃO

Na busca de entendimentos das inquietações acerca do processo de aprendizagem de conceitos da geometria espacial, por estudantes do ensino médio da educação básica, alguns caminhos foram delineados para a constituição da presente pesquisa. Ao longo de toda a trajetória de pesquisa no mestrado, uma questão se tornou norteadora do processo: Que

elementos conceituais relacionados à determinação de área e volume de figuras geométricas podem ser identificados, a partir da proposição e da vivência de uma sequência de ensino que considera o uso do software GeoGebra e atividades de tratamento e conversão de registros de representação semiótica, como estruturadores da aprendizagem dos estudantes?

Através da problemática acima, das interlocuções entre os contextos teórico e empírico da pesquisa, foram evidenciadas discussões e compreensões, das quais emergiram as seguintes categorias de análises: Mobilização dos elementos necessários para o tratamento de figuras e sólidos geométricos e Aprendizagem dos conceitos área e volume através da atividade de conversão entre os Registros de Representação Semiótica.

A partir disso, socializamos algumas análises produzidas na articulação dos processos empíricos e teóricos que mediou esta pesquisa e que permitiu elencar novas problemáticas de investigação em relação ao objeto de estudo.

Ao pensar em Geometria, Ferreira (1999, p. 983) define o termo sendo

Ciência que investiga as formas e as dimensões dos seres matemáticos” ou ainda “um ramo da matemática que estuda as formas, plana e espacial, com as suas propriedades, ou ainda, ramo da matemática que estuda a extensão e as propriedades das figuras (geometria Plana) e dos sólidos (geometria no espaço).

Ao destacar as considerações educacionais da pesquisa desenvolvida, consideramo- nos muito satisfeitos frente aos progressos na aprendizagem dos estudantes. Concluímos que parte das inquietações iniciais encontram-se esclarecida, e outras constituem novas possibilidades de pesquisa sobre o objeto de estudo. Ao se trabalhar fortemente a questão da visualização, foi possível apontar indicadores do estabelecimento de processos de abstração e de generalização relacionados aos objetos matemáticos, considerando as dimenões bi e tridimensionais, vialibizado pela sequência de ensino proposta. Neste mesmo processo, os estudantes tiveram um desenvolvimento significativo acerca do raciocínio e pensamento geométrico, que os permitiu identificar elementos de formação e propriedades importantes para a definição de sólidos geométricos.

No caso específico do cálculo de área e volume de sólidos geométricos, que foi o foco desta pesquisa, os sujeitos souberam mobilizar estratégias de aprendizagem a partir dos pressupostos teóricos e recursos educacionais expostos pela professora/pesquisadora. Por exemplo, através da construção do objeto matemático no software GeoGebra, identificar as propriedades e as diferentes representações do mesmo e a partir disso, identificar a fórmula para o cálculo de área e volume. Além disso, souberam apropriar-se dos conceitos a partir da integração entre a dinamicidade do software GeoGebra, as representações que este possibilitou sobre os objetos matemáticos, bem como as intervenções do conhecimento histórico e social.

Outro aspescto percebido pela professora/pesquisadora em grande parte dos participantes da pesquisa, é a compreensão que os mesmos têm em relação aos conceitos da geometria plana, o que possibilitou a identificação das propriedades e elementos de formação dos sólidos e para os cálculos. Este ponto é fortemente indicado nas análises, no momento em que foi trabalhado prismas e pirâmides, em que os estudantes identificam os polígonos, triângulos equilátero e isósceles, quadrado e retângulo como bases e/ou faces. Além disso, um avanço notável foi o desenvolvimento de uma linguagem geométrica mais adequada e mais consistente, uma vez que, a pesquisa baseou-se nas definições dos conceitos segundo entendimentos de Garbi (2010).

Duval (2003) ancora a aprendizagem da geometria num processo de visualização, construção e raciocínio. Nesse sentido, as habilidades desenvolvidas pelos estudantes durante o desenvolvimento da sequência de ensino foram proporcionadas pelo uso do software GeoGebra e por considerar os Registros de Representação Semiótica. O software GeoGebra por ser um software de geometria dinâmica, em suas janelas de álgebra e visualização, possibilitou a exploração das diferentes representações de um mesmo objeto de matemática. Isso permitiu aos estudantes superar as dificuldades quanto ao processo de representação mental destes objetos, que antecede a representação real e apropriar-se dos significados dos conceitos da geometria espacial.

Considerando os Registros de Representação Semiótica e as apreensões do conhecimento defendidas por Duval (2003), a sequência de ensino foi organizada com o propósito de que durante o seu desenvolvimento os estudantes mobilizassem as quatro apreensões. Neste sentido, os estudantes tiveram de desenvolver a construção de figuras e sólidos geométricos (apreensão sequencial); relacionar dados discursivos, em registros de língua natural, à dados figurais (apreensão discursiva); interpretar figuras e seus elementos (apreensão perceptiva) e interpretar as modificações mereológicas de desconstrução e

reconfiguração de figuras (apreensão operatória). Destaca-se que em várias atividades, como no processo desenvolvido acerca do conceito ‘cilindro’, os estudantes utilizaram não apenas uma apreensão, mas fizeram a relação entre duas ou três de modo a tornar mais significativo o processo de aprendizagem.

A dinâmica do software contribuiu de forma significativa para enfatizar a importância dos Registros de Representações Semiótica e estes, assumiram um papel fundamental diante da abstração e definição de relações e significados dos conceitos envolvidos. Além disso, as atividades de tratamento e conversão entre os registros, em especial, o registro figural, apresentaram um processo que possibilitou a interação dos estudantes com o objeto de estudo em sua forma bidimensional e tridimensional, de maneira a identificar suas propriedades. Neste sentido, as atividades de tratamento e conversão contribuíram para o avanço dos níveis de geometria espacial, em que o estudante pode estabelecer relações entre a visualização e a representação dos objetos matemáticos.

De acordo com Flores, o conceito de visualização pode ser entendido como

Processos de construção e transformação de imagens visuais mentais; uma atividade cognitiva que é intrinsecamente semiótica; processo de formação de imagens (mentais, com lápis e papel, ou com o auxílio de tecnologias) e utilização dessas imagens para descobrir e compreender matemática; forma de pensamento que torna visível aquilo que se vê, extraindo padrões da representação. (et al, 2012 p. 40).

Diante da abordagem histórico-cultural, as análises ressaltaram que os encontros foram marcados pela interação entre os estudantes e a professora/pesquisadora, permitindo a constituição do pensamento geométrico. As intervenções da professora/pesquisadora proporcionaram aos estudantes a sistematização dos conceitos e, com isso, pode-se dizer que o processo de apropriação de significações de conceitos de geometria se deu por meio das interações entre os sujeitos e as relações destes com os objetos de estudo.

Além disso, as tratativas iniciais consideraram o conhecimento espontâneo dos estudantes mediante o processo de mediação da professora/pesquisadora em busca da produção de sentidos para o estabelecimento do significado. Isso possibilita apontar o movimento que se deu entre os conceitos científicos e os espontâneos em diferentes momentos de aprendizagem, de modo a criar condições para a constituição de zonas de desenvolvimento proximal (BATTISTI, 2016).

Através da pesquisa, buscou-se contribuir de alguma forma no campo da educação matemática e, em especial, no processo de aprendizagem da geometria espacial, que atualmente apresenta inúmeras inquietações no contexto escolar. Procurou-se compreender e apresentar reflexões sobre o processo de aprendizagem da geometria espacial, desenvolvido

por estudantes do 3º ano do ensino médio, através dos Registros de Representação Semiótica e o uso do software GeoGebra. Cabe ressaltar que, mediante a teoria de Duval (2003), buscamos trabalhar com os estudantes a compreensão do conteúdo conceitual, por meio da coordenação de ao menos dois registros de representação como, por exemplo, do registro figural para o registro simbólico.

Considerando os resultados obtidos por meio desta pesquisa, acreditamos que o presente estudo possa abrir caminho para outras propostas, considerando os aspectos teóricos e metodológicos, bem como o conceito científico da matemática. Ao se tratar de área e volume de sólidos geométricos e, discutindo estes a partir dos elementos e propriedades, pode-se pensar ainda, no conceito de medida de superfícies e isso, instiga-nos a prosseguir na jornada de pesquisa.

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, T. C. S. Sólidos Arquimedianos e Cabri-3D: um estudo de truncaturas

baseadas no renascimento. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC, São

Paulo, 2010.

ALRØ, HELLE; SKOVSMOSE. O. Diálogo e aprendizagem em educação matemática. Trad. Orlando de A. Figueiredo. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2010.

ARAÚJO, L.C. de L. Aprendendo Matemática com o Geogebra. Luís Cláudio Lopes de Araújo. Jorge Cássio Costa Nóbriga. São Paulo: Editora Exato, 2010.

BARROS, A.P.R.M. Contribuições de um Micromundo Composto por Recursos do

Geogebra e da Coleção M³ para a Aprendizagem do Conceito de Volume de Pirâmide.

Dissertação, Universidade Estuadual de Campinas, São Paulo, 2013.

BATTISTI, I, K. A Significação Conceitual de Medida de Superfície sob uma Abordagem

Histórico-Cultural - Uma vivência no contexto escolar. Dissertação, Universidade

Regional do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí RS, 2007.

BATTISTI, I, K. Mediações na Significação do Conceito Vetor com Tratamento da

Geometria Analítica em Aulas de Matemática. Tese. Universidade Regional do Estado do

Rio Grande do Sul, Ijuí RS, 2016.

BATTISTI, I, K. e NEHRING. C, M. Linguagem como Ferramenta Básica no Processo de Elaboração Conceitual em Aulas de Matemática. In: GRANDO. N, I. Processos de Pesquisa

no Ensino Fundamental e Médio. Passo Fundo: Ed. Universidade de Passo Fundo. Ijuí. Ed:

Unijuí, 2009.

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 2. ed. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.

BORBA, M. Softwares e Internet na sala de aula de matemática. In: Encontro Nacional de

Educação Matemática. Anais eletrônicos... Ilhéus: SBM, 2010. Disponível em:

http://www.lematec.net/CDS/ENEM10/artigos/PA/Palestra6.pdf>. Acesso em: 04 abr. 2017. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros

Curriculares Nacionais: Matemática (1º e 2º ciclos do ensino fundamental). V. 3. Brasília:

MEC, 1997.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros

Curriculares Nacionais (Ensino Médio). Brasília: MEC, 1999.

BRITO, F de P. O uso de softwares no ensino de Geometria Espacial Posicional. Dissertação, Universidade Federal de Lavras, Minas Gerais, 2013.

CARVALHO , F.P.S. Ensino e Aprendizagem de Conteúdos de Geometria Espacial em