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numérico) que pode ser expresso mediante elementos identificados no registro figural

Como proposta de conversão de registro, no Encontro IV os estudantes tinham que apresentar o cálculo de área e volume da superfície de prisma triangular a partir do registro figural apresentado pela professora/pesquisadora na Atividade 3.

Figura 36: Registro Figural do prisma em 3D com a transformação para 2D

Fonte: Giovanni e Bonjorno, (2005, p. 256).

A Figura 37 apresenta o desenvolvimento da Dupla 1 em relação ao cálculo da área e do volume da superfície do prisma triangular, mostrando que o processo de apropriação do conceito área se deu pelo conhecimento prévio dos estudantes, o que permitiu a representação do cálculo de área e volume da superfície do prisma. Os estudantes tinham se apropriado do conceito triângulo equilátero e, com isso, puderam relacionar o significado científico de área e

volume da superfície do sólido num processo de elaboração conceitual pela análise (abstração) e síntese (generalização).

Figura 37: Definição do Cálculo de área e volume do prisma triangular

Fonte: Folha de registros da Dupla 1, Mom. 1, Ativ. 3, Enc. IV, 2017.

No registro figural, compreende-se que a dupla considerou a figura plana, triângulo equilátero, de acordo com a sua definição, ou seja, “um triângulo que tenha seus três lados congruentes entre si é chamado EQUILÁTERO” (GARBI, 2010, p. 49), pois denominam os três lados congruentes de medida 𝑙. Além disso, a dupla conseguiu relacionar a congruência dos lados à congruência dos ângulos, os quais somam 180º. Após utilizaram a relação trigonométrica tangente para definir a altura do triângulo equilátero e, posteriormente, a definição de área da figura por meio da fórmula matemática.

Esta mobilização dos elementos de formação (propriedades), remete a interpretação da figura mediante a apreensão discursiva, o que permitiu a transição do registro figural para o registro natural e simbólico (numérico e algébrico), conservando os elementos e as referências do objeto apresentado inicialmente. No entanto, esta mesma atividade apresentou equívocos na formação dos conceitos por parte da Dupla 4, como podemos observar no diálogo.

Quadro 20: Argumentos da Dupla 4 em relação ao problema

Discussão da Dupla 4 (A7 e A8).

A8: Aqui a área total da figura, seria essa área da base, mais a área da outra base. Com essa área aqui, essa aqui,

essa ali. (apontando para faces laterais) Duas vezes a área da base mais três vezes a área das faces laterais.

A7: Repetindo, também é necessário multiplicar a área da face por três, pois há três faces laterais. A área total

vai ser então, duas vezes a área da base que é ‘b’, vezes ‘h’ sobre dois mais três vezes ‘b’ vezes ‘h’. Fonte: Transcrição da gravação de áudio da Dupla 4,Mom. 1, Ativ. 3, Enc. IV, 2017.

De acordo com a fala do Estudante A8, percebe-se que o mesmo compreende a fórmula de área através da representação figural. No entanto, quando calcula a área da base, ou seja, do triângulo equilátero, apresenta a fórmula de área de um triângulo retângulo. Este equívoco pode indicar uma lacuna em relação aos conceitos geométricos e sua representação, pois o estudante não relacionou o conceito à representação utilizada do objeto. Se o estudante apresenta dificuldade em realizar a conversão envolvendo o registro figural, significa que pode não ter havido apropriação do significado do conceito.

[...] as representações semióticas – ou, mais exatamente, a diversidade dos registros de representação – têm um papel central na compreensão. A compreensão requer a coordenação dos diferentes registros. Ora, uma tal coordenação não se opera espontaneamente e não é consequência de nenhuma “conceitualização” a-semiótica. A maioria dos alunos, ao longo de seu currículo, permanece aquém dessa compreensão. Daí as dificuldades recorrentes e as limitações bastante “estreitas” em suas capacidades de aprendizagem matemática. Os únicos acertos que lhes são possíveis se dão em monorregistros (registros monofuncionais), muitas vezes privados de “significado” e inutilizáveis fora do contexto de suas aprendizagens (DUVAL, 2003, p. 29).

De acordo com a teoria de Duval, a aprendizagem ocorre quando o aluno adquire a capacidade de mudar de registro. Por isso, foi proposto aos estudantes o problema abaixo, no registro da língua natural. Nesse, os estudantes precisavam calcular a área e o volume da superfície do prisma. Cabe ressaltar que os cálculos de área e o volume foram desenvolvidos no papel e no GeoGebra. A Figura 38 apresenta o problema proposto.

Figura 38: Problema proposto para cálculo de área

Fonte: Sequência de ensino proposta pela professora/pesquisadora.

Segundo Duval (2003), o processo cognitivo do estudante é formado por três fases: visualização, construção e raciocínio de maneira a interpretar o problema. Nesta atividade, pode-se dizer que os estudantes partiram da apreensão discursiva e sequencial, sendo que no primeiro momento fizeram a interpretação do enunciado e a compreensão de suas propriedades no registro de língua natural e simbólica, para então fazer a construção do sólido, partindo de um procedimento de comandos já utilizados anteriormente.

Figura 39: Conversão do problema proposto pelo registro de língua natural para o registro figural no GeoGebra

Fonte: Software GeoGebra, Dupla 3, Mom. 1, Ativ. 3, Enc. IV, 2017.

Os estudantes fizeram a construção do polígono usando o comando “polígono regular” para construir o triângulo de base 8 cm, demarcado pelos pontos (0, 8). Com o comando “Extrusão para prisma ou cilindro”, definiram a altura de 20 cm e construíram o prisma triangular. Com o comando de “área”, clicaram sobre o prisma e perceberam na janela de álgebra, que o valor não correspondia à medida da área total calculada no papel, solicitando ajuda da professora/pesquisadora conforme indicado no Diálogo 9.

Figura 40: Demonstração do cálculo de volume do prisma

Fonte: Folha de registros da Dupla 3, Mom. 1, Ativ. 3, Enc. IV, 2017.

Quadro 21: Argumentos da Dupla 3 com a professora em relação a atividade proposta

Diálogo 9

(01) A5: professora porque a área calculada não fecha com a área que calculamos aqui? (02) Pesq.: então olhem para as áreas encontradas no GeoGebra e como estas estão identificadas. (03) A6: Tá, uma esta em cima do triângulo e a outra na face.

(04) A5: Há sim, ele calculou separado, claro, porque aqui tá marcado área de DEF, que é a base. Tá profe,

agora entendi.

(05) A6: E como a gente junta isso profe?

(06) Pesq.: Para vocês calcularem a área total da figura vocês precisam inserir a fórmula no campo de entrada.

(07) A6: Então não pode usar, por exemplo, área total é igual a duas vezes área da base mais três vezes área

lateral? Tem que usar o nome que está aqui? (apontando ou se referenciando a figura na janela de visualização)

(08) Pesq.: Exatamente, você vai calcular a partir dos elementos do prisma, mas com a definição dada no

software. Ou seja, as propriedades das figuras e sólidos.

(09) A6: Tá bom.

Fonte: Transcrição da gravação de áudio da Dupla 3, Mom. 1, Ativ. 3, Enc. IV, 2017.

Após a explicação da professora/pesquisadora, a Dupla 3 precisou retomar ao registro figural para verificar e identificar as propriedades do sólido na interface do software, de acordo com as suas denominações. Também precisaram mobilizar estas propriedades de maneira a identificar o erro que tinham cometido ao tentar identificar as áreas. Este episódio expressa o potencial do software GeoGebra em relação ao registro figural, permitindo ao estudante visualizar de maneira objetiva os elementos fundamentais e suas propriedades para o cálculo de área e volume.

Como exemplo disso, os estudantes puderam perceber que utilizando o comando de ‘área’ sobre a representação geométrica, o mesmo calcula apenas a área de uma base quando sobre a base e de uma face quando disposto sobre a face. Assim sendo, é extremamente necessário, para que ocorra a aprendizagem, que os estudantes desenvolvam a relação da quantidade de bases e faces que formam o sólido. E, pela identificação destes no registro figural, reorganizem o cálculo através da utilização de outros comandos, o que foi desenvolvido pela Dupla 3, conforme podemos identificar na janela de álgebra, na Figura 39.

Os estudantes tiveram a capacidade de mobilizar o registro de língua natural para a construção do registro figural e, a partir deste, explorar os elementos do prisma triangular conforme apresentados no papel e sua respectiva representação no GeoGebra, uma vez que a fórmula utilizada no papel é apresentada de maneira diferente no software. Esta diferença possibilitou ao professor a problematização de propriedades matemáticas fundamentais, para elaboração do conceito.

A partir disso, podemos considerar que a atividade de conversão por si só não é suficiente de modo a obter a aprendizagem de um conceito. É preciso coordenar e tratar os elementos conceituais e identificar o processo cognitivo que o estudante desenvolve para chegar à conversão, ou seja, o que faz efetivamente na atividade de tratamento. Nesta atividade, a Dupla 3 identificou que o software GeoGebra permite verificar dados na janela de álgebra partindo do princípio da construção na janela de visualização.

O problema seguinte exigia dos estudantes o cálculo do volume a partir das informações dadas no registro da língua natural.

Figura 41: Problema proposto para o cálculo de volume

Fonte: Sequência de ensino proposta pela professora/pesquisadora.

Para a atividade a Dupla 3 utilizou os mesmos comandos da atividade anterior. Fizeram a construção do sólido no GeoGebra, e com o comando “volume”, calcularam o volume da superfície do prisma. A partir disso, verificaram a resposta desenvolvendo o cálculo no papel.

Figura 42: Comprovação do cálculo de volume do problema proposto

Fonte: Folha de Registros da Dupla 3, Mom. 1, Ativ. 3, Enc. IV, 2017.

A Figura 43 apresenta o desenvolvimento da atividade feita pelos estudantes no software. Cabe ressaltar que, nesta atividade, os estudantes consideraram o procedimento desenvolvido para o cálculo de área no software e exploram a fórmula matemática por meio do registro figural.

Figura 43: Construção do prisma para cálculo de volume

Fonte: Software GeoGebra, Mom. 1, Ativ. 2, Enc. IV, 2017.

Durante a construção do sólido geométrico para o cálculo de volume, os estudantes tiveram a percepção de que teriam de analisar o volume do mesmo ao utilizarem o comando ‘volume’ do GeoGebra, considerando o desenvolvimento do cálculo de área no exercício anterior apresentado no Quadro 21. Por isso, verificando os valores apresentados no software,

os estudantes utilizaram o ‘campo de entrada’ para apresentar o cálculo de volume do prisma triangular construído, obtendo êxito no resultado.

Gravina (1996, p. 13), afirma que em softwares de geometria dinâmica, no caso o GeoGebra

[...] conceitos geométricos são construídos com equilíbrio conceitual e figural; a habilidade em perceber representações diferentes de uma mesma configuração se desenvolve; controle sobre configurações geométricas leva a descoberta de propriedades novas e interessantes. Quanto às atitudes dos estudantes frente ao processo de aprender: experimentam; criam estratégias; fazem conjectura; argumentam e deduzem propriedades matemáticas. A partir da manipulação concreta “o desenho em movimento”, passa para manipulação abstrata atingindo níveis mentais superiores da dedução e rigor, e desta forma entendem a natureza do raciocínio matemático.

Desta forma, pudemos verificar que o GeoGebra oportuniza ao estudante um momento de interação com o objeto em estudo, favorecendo a ampliação do estabelecimento de seu raciocínio e, consequentemente, resultados positivos que surgem das diferentes formas de representação que contribuem para a formalização dos conceitos.

4.2.3 Quando ocorre a compreensão dos elementos do sólido geométrico aliada a