Définition de zones d’exclusivité autour des entités du modèle

Afin de détecter les éléments invalides au regard de la validité géométrique d’un mo-dèle, des zones d’exclusivité sont définies autour des entités du modèle. Pour un modèle dans un espace de dimensionn(avecn ∈ {2, 3}), chaque entitéE_i de dimension topolo-giquem< nest associée à une zone d’exclusivitéZ(E_i)qui représente un sous-ensemble deRn(Fig. 3.3).

Critères géométriques d’entrée

Les critères géométriques utilisés en entrée de la méthode portent sur les tailles locales minimales des entités topologiques du modèle et sur les angles minimaux for-més par des entités adjacentes. Ces critères géométriques affectent directement la forme des zones d’exclusivité associées aux entités du modèle d’entrée, et plus spécifiquement l’épaisseur de ces zones. Dans le cas où il n’y a pas de critères de tailles locales et angles minimaux imposés, une zone d’exclusivité peut être égale à l’entité elle-même (épaisseur nulle).

Ces critères peuvent être définis globalement pour l’ensemble du modèle ou bien être adaptés entité par entité, voire spatialement au sein même d’une entité. L’adaptabilité des zones d’exclusivité permet de prendre en compte des connaissances additionnelles (p. ex. des données ponctuelles de puits) ou de traduire l’importance relative des entités les unes par rapport aux autres au sein du modèle. Par exemple, une entité associée à une zone

d’exclusivité très fine est davantage préservée lors de la phase de rectification du modèle qu’une entité associée à une zone d’exclusivité plus épaisse.

Définitions empruntées à la morphologie mathématique

Chaque zone d’exclusivité Z(E_i) est définie par rapport à l’entitéE_i à laquelle elle est associée. La définition des zones d’exclusivité repose sur des définitions du domaine de la morphologie mathématique, introduite par George Matheron et Jean Serra dans les années 1960 [Serra,1969,1983,1986]¹.

Élément structurant. La définition d’une zone d’exclusivité nécessite la définition d’un élément structurant. Un élément structurantBest un sous-ensemble deRnqui représente un objet de référence utilisé pour les opérations de base. PourB⊂Rnetx∈Rn, on note

B_xle translaté deBparx:

Bx ={b+x|b∈ B}. (3.1)

Dilatation morphologique. La dilatation morphologique d’un ensembleXpar un

élé-ment structurantBest définie par la somme de Minkowski entreXetB:

X⊕B={x+b|x∈ X,b∈ B}= ^[

x∈X

B_x. (3.2)

La dilatation morphologique correspond donc à l’union des translations de l’élément structurantBpar chacun des pointsxdeX(Figure 3.1).

Définition d’une zone d’exclusivité comme une dilatation morphologique de l’entité associée

Une zone d’exclusivité Z(E_i) est définie par une dilatation morphologique de E_i. Dans le cadre de cette thèse, les éléments structurants considérés sont limités aux objets convexes symétriques² : disques, boules, domaines intérieurs à une ellipse ou à un el-lipsoïde, parallélogrammes,etc. Pour définir une zone d’exclusivitéZ(E_i)associée à une entitéE_i, un élément structurant localement variable est utilisé. Pour une entité donnée, cet élément structurant conserve toujours le même patron de base (objet convexe centré sur l’origine) mais sa taille peut varier pour chaque point de l’entité.

Ainsi la zone d’exclusivitéZ(E_i)associée à une entitéE_iest définie par :

Z(E_i) = ^[

x∈Ei

B_x(x), (3.3)

1. Pour une revue récente des applications de la morphologie mathématique en géosciences (et en géo-matique – SIG), le lecteur est référé à [Sagar,2018].

2. Ici, un objetBest symétrique si et seulement si∀x∈B,−x∈B. En conséquence, un objet symétrique estde factocentré sur l’origine. De plus, si cet objet est convexe, alors il contient l’origine (la réciproque est fausse).

= X B O y x ^O y x X ⊕ B O y x ⊕

FIGURE3.1 –DILATATION MORPHOLOGIQUE L’élément structurant B (bleu) est utilisé pour la dilatation morphologique de X (jaune). Le résultat X⊕B (vert) est l’union des translatés de B pour tout point de X. On peut noter la translation selonxmais pas selon ydue au décalage de B selon cet axe.

oùB_x(x)est l’élément structurant, dont la taille est définie au pointx, et translaté parx. Techniquement, l’élément structurant pour les Lignes et pour les Surfaces (en 3D) est lan-boule. La valeur du diamètre de l’élément structurant est définie en chaque sommet du maillage de la Ligne ou de la Surface. Le diamètre de l’élément structurant est défini par interpolation linéaire pour chaque point au sein d’un élément du maillage de l’entité (Figure 3.2).

Remarque : comme l’origine est contenue dans les éléments structurants utilisés pour définir les zones d’exclusivité, une entité topologique est obligatoirement incluse dans sa zone d’exclusivité associée.

3.1.2 Utilisation des zones d’exclusivité dans la détection d’éléments

inva-lides

Pour être valide géométriquement, une entité doit avoir une zone d’exclusivité qui n’intersecte et n’inclut pas d’autres zones d’exclusivité, exception faite de celles asso-ciées aux entités qui la bordent. L’intersection et l’inclusion, même locales, entre deux zones d’exclusivité impliquent que les deux entités sont invalides au moins localement (Figure 3.3). La validité géométrique d’un modèle peut être traduite formellement par :

∀{E_i,E_j ∈ M2

Diamètre de l'élément structurant Élément structurant au niveau d'un sommet Élément structurant interpolé

Zone d'exclusion

- +

FIGURE3.2 –ZONE D’EXCLUSIVITÉ ASSOCIÉE À UNELIGNE AVEC UNE ÉPAISSEUR VA

-RIABLE LE LONG DE LA LIGNE. L’élément structurant est un disque dont le diamètre est déterminé par la valeur de la propriété correspondante (couleurs). Cette propriété est stockée sur les sommets de la Ligne et est interpolée linéairement le long de chaque segment.

(b) (a) Configurations invalides α_min tS α_min Configurations valides tS

FIGURE3.3 –UTILISATION DES ZONES D’EXCLUSIVITÉ POUR LA DÉTECTION DES ZONES INVALIDES D’UN MODÈLE. (a) Critère de taille locale minimale d’une Surface. (b) Critère d’angle minimal entre Lignes adjacentes. Modifié d’aprèsAnquezet al.[2019].

oùM_Eest l’ensemble des entités topologiques associées à des zones d’exclusivité,Z(E_i) est la zone d’exclusivité d’une entité E_i, et B(E_i)est l’ensemble des bords au sens large d’une entitéE_i.