t∈[a,b], α≤ f′′(t)≤β, alors, pour tout n∈N∗, on a :
α(b−a)3
12n2 ≤Sn− Z b
a
f(t)dt≤ β(b−a)3 12n2 , avec
Sn= (b−a) 2n
"
f(a) + f(b) +2
n−1 k=1
∑
f(a+kb−a n )
# .
On peut remarquer que l’erreur dans la méthode des trapèzes tend vers 0 comme 1 n2 lorsqu’on découpe l’intervalle[a,b]en sous-intervalles de plus en plus petits, ce qui est meilleur que pour la méthode des rectangles.
3.6.4 Exemple. Calcul appoché de
Z 1
0
et2dt, par la méthode des trapèzes.
On a f′′(x) = (2+4x2)ex2, d’où pour x∈[0,1]: 2≤ f′′(x)≤6e<17.
Il suffit donc de prendre n≥12 pour obtenir une valeur approchée de cette intégrale à 1/100 près.
La méthode des trapèzes est donc plus efficace que la méthode des rectangles.
3.7 Définition des intégrales généralisées
Dans ce paragraphe, on considérera un intervalle semi-ouvert[a,b[deRet une fonction f , définie sur [a,b[, à valeurs dansRouC, tels que :
ou bien b= +∞
ou bien b<+∞et f n’est pas définie en b.
On obtient des résultats analogues lorsque f est définie sur un intervalle semi-ouvert]a,b]
tel que ou bien a =−∞ ou bien a>−∞ et f n’est pas définie en a. Il suffit pour les démontrer de faire un changement de variable t→ −t.
Lorsque f est définie sur un intervalle ouvert ]a,b[, on fixera un point c ∈]a,b[ et on considérera séparément l’existence des intégrales généralisées de f sur les deux inter-valles semi-ouverts]a,c]et[c,b[.
Remarque. On notera que les résultats de ce chapitre présentent de nombreuses analogies avec ceux du chapitre 2 sur les séries numériques. Cela provient du fait que ce sont deux types particuliers de sommation, l’une discrète pour les séries et l’autre continue pour les intégrales généralisées. En revanche, certains résultats peuvent être spécifiques au type de sommation envisagé (par exemple la proposition 2.3.6 dans le cas des séries qui n’a pas d’analogue dans le cas des intégrales généralisées, comme on le verra plus loin).
3.7.1 Définition. On dira qu’une fonction f est localement intégrable sur l’intervalle semi-ouvert[a,b[si elle est intégrable, au sens de Riemann, sur tout sous-intervalle fermé [a,c]⊂[a,b[
3.7.2 Définition. 1) Soit f une fonction définie sur l’intervalle semi-ouvert[a,b[, à valeurs dans Rou C, localement intégrable sur[a,b[. On dit que f est intégrable sur [a,b[si la limite lorsque x→b de l’intégrale
Z x a
f(t)dt existe.
2) Si f est intégrable sur l’intervalle semi-ouvert [a,b[, on appellera intégrale généralisée de f sur[a,b[et on notera
Z b a
f(t)dt la limite ci-dessus, c’est-à-dire : Z b
a
f(t)dt=lim
x→b
Z x a
f(t)dt.
3.7.3 Notations. Lorsqu’une fonction localement intégrable f est intégrable sur un inter-valle semi-ouvert[a,b[au sens des intégrales généralisées définies ci-dessus, on dit que l’intégrale généralisée
Z b
a
f(t)dt, converge.
3.7.4 Exemple. 1) Soit f(t) = 1
1+t2 sur[0,+∞[. Alors f est intégrable sur l’in-tervalle[0,+∞[. En effet :
x→lim+∞
Z x 0
f(t)dt= lim
x→+∞arctgx= π 2. 2) Soit f(t) = 1
1+t sur[0,+∞[. Alors f n’est pas intégrable sur[0,+∞[. En effet :
x→lim+∞
Z x
0
f(t)dt= lim
x→+∞ln(1+x) = +∞.
3) Soit f(t) = 1
√t sur]0,1]. Alors f est intégrable sur]0,1]. En effet :
xlim→0
Z 1 x
f(t)dt=lim
x→02(1−√
x) =2.
4) Soit f(t) = 1
t sur]0,1]. Alors f n’est pas intégrable sur]0,1]. En effet :
xlim→0
Z 1
x
f(t)dt=lim
x→0(−ln x) = +∞.
Remarque. Soit f une fonction définie sur un intervalle semi-ouvert[a,b[, à valeurs dans RouC, localement intégrable sur[a,b[. Pour que f soit intégrable sur[a,b[il suffit qu’il existeα ∈[a,b]tel que
xlim→b
Z x
α f(t)dt existe.
Il est clair que, puisque pour tout x∈[a,b[, Z x
a
f(t)dt= Z α
a
f(t)dt+ Z x
α f(t)dt,
§ 3.7. Définition des intégrales généralisées 67 on a la formule :
Z b a
f(t)dt= Z α
a
f(t)dt+ Z b
α f(t)dt,
où la première intégrale est l’intégrale de Riemann de f sur[a,α]et la deuxième intégrale est l’intégrale généralisée de f sur l’intervalle semi-ouvert[α,b[.
La proposition suivante est une conséquence immédiate des propriétés de l’intégrale de Riemann, figurant dans la proposition 3.2.4 :
3.7.5 Proposition. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert [a,b[, intégrables sur[a,b[.
1) Pour tous scalaires λ et µ, la fonction λf+µg est intégrable sur [a,b[et de plus :
Z b
a (λf+µg)(t)dt=λZ b
a
f(t)dt+µZ b
a g(t)dt.
2) Si|f|est intégrable sur[a,b[,
Z b
a
f(t)dt ≤
Z b
a |f(t)|dt.
3) Si∀t∈[a,b[, f(t)≤g(t), alors : Z b
a
f(t)dt≤ Z b
a g(t)dt.
4) Si c∈]a,b[, alors : Z b
a
f(t)dt= Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt.
Comme pour les suites ou les séries numériques, on a un théorème de Cauchy pour les intégrales généralisées qui donne un moyen de décider si une fonction est intégrable sur un intervalle[a,b[sans connaître la valeur de son intégrale généralisée sur cet intervalle.
3.7.6 Notations. On considère un intervalle semi-ouvert[a,b[. On convient de noter V(b) un voisinage du point b dans[a,b[, c’est-à-dire un intervalle du type[A,+∞[si b= +∞et un intervalle du type[b−η,b[, 0<η≤b−a, si b est fini.
Rappelons d’abord un lemme de Cauchy pour les fonctions : 3.7.7 Lemme. Critère de Cauchy
Soit F une fonction définie sur un intervalle semi-ouvert [a,b[, à valeurs dans R ou C. Alors la limite quand x tend vers b de F(x) existe si et seulement si pour toutε >0, il existe un voisinage V(b)du point b tel que :
x,x′∈V(b)⇒
F(x)−F(x′) ≤ε.
Démonstration. Supposons que limx→bF(x) =l et soit ε>0. Par définition, il existe un Donc F vérifie bien le critère de Cauchy.
Réciproquement, soitε >0 fixé et supposons que F vérifie le critère de Cauchy c’est-à-dire qu’il existe V(b)tel que
x,x′∈V(b)⇒
n∈Nest de Cauchy. Elle converge donc vers une limite l et de plus, n≥N0⇒ |F(xn)−l| ≤ε La fonction F admet donc l comme limite quand x→b.
En appliquant cette propiété à la fonction F(x) = Z x
a
f(t)dt, on obtient le résultat suivant : 3.7.8 Corollaire. Soit f une fonction localement intégrable sur l’intervalle semi-ouvert [a,b[. Alors f est intégrable sur [a,b[ si et seulement si pour tout ε >0, il existe un
Contrairement au cas des séries numériques dont le terme général tend vers 0 lorsqu’elles convergent, voir la proposition 2.3.6, l’intégrabilité d’une fonction sur[a,+∞[n’implique pas la convergence vers 0 de cette fonction lorsque t→+∞:
3.7.9 Exemple. La fonction cos t2est intégrable sur[1,+∞[et ne tend pas vers 0 lorsque t→+∞.
Soit x∈[1,+∞[, alors, par un changement de variables et une intégration par parties, on peut écrire :
Le terme tout intégré tend vers 0 quand x→+∞et on verra plus loin (voir exemple 3.9.3 2)) que l’intégrale généralisée
Z +∞ 1
sin s s√
sds existe. On en déduit bien que la fonction cos t2 est intégrable sur[1,+∞[alors qu’elle ne tend pas vers 0 à l’infini.