6) Montrer que l’intégrale généralisée I=
Z +∞
0
sin t t dt, est semi-convergente.
7) Le théorème de continuité des intégrales généralisées dépendant d’un paramètre per-met-il de conclure que I=limx→0F(x)?
8.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 8
Corrigé de l’exercice 8.1 1) On remarque que
|f(t,x)| ≤h(t) = 1 1+t2.
Ceci nous montre tout d’abord que F(x)est bien définie puisque Z +∞
0
h(t)dt est conver-gente (théorème de comparaison). D’autre part puisque f(t,x)est continue, et uniformé-ment dominée par la fonction h(t), on peut appliquer le théorème de continuité des inté-grales généralisées dépendant d’un paramètre. La fonction F(x)est donc continue surR. De plus F(x)est bornée par
Z +∞
0 h(t)dt= π 2.
2) Il est immediat que F(x) =F(−x)puisque cos(tx) =cos(−tx). D’autre part, F(0) =
Z +∞ 0
1
1+t2dt= lim
T→+∞arctg(T)−arctg(0) =π/2.
3) En utilisant le changement de variable u=xt, on obtient F(x) =
Z +∞
0
cos u 1+ (u/x)2
du x =x
Z +∞
0
cos u
x2+u2du=xG(x).
4) On calcule tout d’abord
∂g
∂x(u,x) = −
2x cos u (x2+u2)2.
C’est une fonction continue sur]0,+∞[×]0,+∞[. Soit a>0 donné. Pour x≥a, on a
|∂g
∂x(x,u)| ≤ 2x
(x2+u2)2 ≤ 2x
x2(x2+u2) = 2
x(x2+u2) ≤ 2 a(a2+u2). Puisque
Z +∞
0
2
a(a2+u2)du converge, on peut appliquer le théorème de dérivation des intégrales généralisées dépendant d’un paramètre qui nous montre que G est de classe C1 sur[a,+∞[et sa dérivée est donnée par
G′(x) = Z +∞
0
∂g
∂x(u,x)du= Z +∞
0
−2x cos u (x2+u2)2du.
§ 8.6. Corrigé des exercices sur le Chapitre 8 165 De même, on calcule
∂2g
(a2+u2)2du converge, ceci nous permet d’appliquer le théorème de déri-vation des intégrales généralisées dépendant d’un paramètre qui nous montre que G′ est C1sur[a,+∞[, c’est-à-dire que G est de classe C2et que sa dérivée G′′ est donnée par
On effectue deux intégrations par partie successives sur un intervalle[A,B]où B>A>0.
On remarque que les termes tout intégrés tendent vers 0 lorsque A→0 et B→+∞, et on trouve donc :
Toute solution de cette équation sur un intervalle est une combinaison linéaire des solu-tions élémentaires exet e−xd’où la forme de F.
Corrigé de l’exercice 8.2 1) La fonction positive 1
(t2+x4)n est définie et continue sur [0,+∞[×R+
∗. Elle est donc intégrable sur tout intervalle[0,A]⊂[0,+∞[. Pour t→+∞, on a 0≤ 1
(t2+x4)n ≤ 1 t2n qui est intégrable en+∞. On en déduit que cette fonction est intégrable sur[0,+∞[.
2) Soit a>0. Pour t∈[0,+∞[et x∈[a,+∞[, on peut écrire :
et sa dérivée vérifie bien :
h′n(x) =−4nx3hn+1(x).
Comme ceci est vérifié pour tout 0<a<A, on en déduit que hnest dérivable surR+
∗ et que cette relation est également vérifiée pour tout x∈R+
∗. relation trouvée en 3) :
hn+1(x) =− 1
4nx3h′n(x) =− 1
4nx3(2−4n)anx2−4n−1=an4n−2
4n x2−4(n+1).
L’hypothèse de récurrence est bien vérifiée au rang n+1 et an∈Rvérifie la relation de récurrence a1=π Corrigé de l’exercice 8.3
1) En appliquant le résultat du cours sur la fonction Γ, on voit aisément que l’intégrale généralisée
§ 8.6. Corrigé des exercices sur le Chapitre 8 167 supérieure et donc il existe b∈[a,1]tel que f(b) =1. Ceci contredit l’hypothèse sur f et on a donc bien g(x)<1 pour tout x∈]0,1].
3) Supposons que f′(0)>0 et soit 0<ε< f′(0). La formule des accroissement finis nous dit qu’il existeα >0 tel que si 0≤t≤α, alors|f(t)−f(0)−t f′(0)| ≤tε.
On en déduit que, si 0≤t≤α, f(t)≥1+t(f′(0)−ε)>1. Ceci contredit l’hypothèse et donc on a bien f′(0)≤0.
4) On applique la formule des accroissements finis aux 2 fonctions f et e−µt : il existe deux fonctionsε1etε2, tendant vers 0 lorsque t→0 telles que
f(t) =1−λt+tε1(t), eµt=1−µt+tε2(t). On en déduit que
f(t)−e−µt
Ceci contredit l’hypothèse que nous avons faite et donc on a bien l’existence de xµ∈]0,1]
tel que pour tout t ∈[0,xµ], f(t)≥e−µt. en ayant effectué le changement de variable s=nµt.
5)c) Lorsque n→∞, la suite valeur d’adhérence de la suite
est supérieure à cette limite. En particulier, on en déduit bien que pourµ >λ,
lim inf
Ceci implique en particulier que pour tout s∈[0,α], f(s)<e−µs.
Ceci contredit l’hypothèse que nous avons faite et donc on a bien l’existence de xµ∈]0,1]
tel que pour tout t ∈[0,xµ], f(t)≤e−µt.
µ1−α et 0 respectivement car g(xµ)<1. Donc, toute valeur d’adhérence de la suite
est inférieure à la somme de ces 2 limites.
En particulier, on en déduit bien que pour 0<µ <λ,
et puisque cette inégalité est vraie pour toutµ <λ, on a aussi l’inégalité : lim sup 7) On déduit des questions 5) et 6) que la suite
li-mites supérieure et inférieure, elle est donc convergente vers cette valeur commune qui estΓ(1−α)
Corrigé de l’exercice 8.4
1) Soit A>0 fixé. En intégrant par parties sur[0,A], on trouve :
§ 8.6. Corrigé des exercices sur le Chapitre 8 169
reste bornée par 1 et l’intégrale Z +∞
t dt converge absolument.
4) Soit a > 0. L’application g : [0,+∞[×[a,+∞[→ R telle que g(t,x) = e−xtsin t t est continue par rapport au couple (t,x) ainsi que ∂
∂xg(t,x) = −e−xtsin t. De plus, pour intervalle[a,+∞[(avec a>0 quelconque), donc sur]0,+∞[.
5) On a :
t est continue en 0, donc le seul problème de convergence est en +∞. Soit A>0. On a :
Cette dernière intégrale est absolument convergente. On peut prendre la limite quand A→+∞et on trouve :
dt diverge car elle a le même comportement que la série de terme général un= La série est donc divergente et l’intégrale aussi.
7) Soit b>0. L’application g :[0,+∞[×[0,b]→Rtelle que g(t,x) =e−xtsint
t est conti-nue par rapport au couple (t,x) mais il n’existe pas de fonction intégrable ϕ telle que
e−xtsint t
≤ϕ(t)sur[0,+∞[×[0,b]car sinon, pour x=0 on aurait ,
sint t
≤ϕ(t)ce qui implique
Z +∞
0 ϕ(t)dt= +∞. Donc le théorème ne s’applique pas.
Bibliographie
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171
A
Application partielle . . . 138, 139 Approximation numérique des intégrales
59, 60 Changement de variable . 55, 56, 62, 65,
67, 126
Coefficients de Fourier . . . 124–126, 129 Continuité de l’intégrale de Riemann . . .
140, 145
Continuité de l’intégrale généralisée151, 154
Continuité des limites . . . 83, 85 Continuité des sommes 84, 96, 100, 120,
121
Contraposée . . . 2
Convergence absolue . 22–25, 32, 35, 95, 96, 98, 118–123 Convergence commutative . . . 35, 37 Convergence d’une série . . . 124
Convergence normale . . . 82, 83, 96, 118, 120–122 Convergence simple. . . 77–80, 95, 128 Convergence uniforme . . . 79–85, 87, 88, 96, 118, 119, 128 Convergence uniforme des intégrales gé-néralisées . . . 155
Critére de Cauchy uniforme . . . 118
Critère de Cauchy . . . . 15, 21–23, 26, 32 Critère de Cauchy pour les fonctions . 64 Critère de Cauchy pour les intégrales 65, 68, 70 Critère de Cauchy uniforme. . 81, 82, 85, 118 D Deuxième formule de la moyenne 56, 70 Dérivabilité de l’intégrale de Riemann . . 141, 142, 145 Dérivabilité de l’intégrale généralisée . . 152, 155 Dérivabilité des limites . . . 85
Dérivabilité des sommes . . 87, 100, 120, 121 Développement en séries entiéres . . 102,
104, 105 Développement en séries entières . . 102,
109 Développement en séries trigonométri-ques . . . 122
Fonction continûment différentiable 139, 145 Fonction de plusieurs variables 137–140, 144, 151 Fonction en escalier . . 45–48, 50, 51, 57, 124, 125 Fonction Gamma . . . 154
Fonction intégrable . . 47, 48, 50, 51, 57, 58, 124, 125, 151, 152 Fonction inverse . . . 56
Fonction localement intégrable . . 62, 65, 66, 68
Index 173 Intégrale de Riemann . 49, 140, 141, 145
Intégrale des fonctions en escalier . . . 46
Intégrale généralisée . . 63, 151, 154–156 Intégrales de Riemann . . . 67
Limite d’une suite 11, 12, 16, 17, 19–21, 29, 36, 48, 78, 81, 83–85, 87, 88,
Norme de la convergence uniforme . . 80
P Rayon de convergence95–102, 104, 105, 107, 109, 119 Série convergente . 21–26, 32, 34, 35, 37, 67, 104, 117
Série trigonométrique . 34, 117, 119–123 Série à termes positifs . . . 25
Sinus et Cosinus complexes . . . 107
Sommation par paquets . . . 37, 38, 99 Somme d’une série . . . 21, 22, 24, 30, 33–37, 77–81, 83–85, 87, 88, 96, 98–105, 120–123, 125, 129 Somme de Cesaro . . . 17
Suite convergente . 11–16, 18, 32, 48, 53, 81 Théorème d’Abel pour les intégrales . 69 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . 16
Théorème de Dirichlet . . . 126
Transformée de Laplace . . . 155 V
Voisinage d’un point . . . 64, 65, 68