3. Tabu-NG et affectation de fréquences
3.1. Affectation de Fréquences Discrètes pour les réseaux tactiques militaires
3.1.5. Définition des classes d’optimisation
Minimiser la somme pondérée des contraintes unaires non satisfaites aux niveaux strictement inférieurs à (l*-1),
0 l..(*1) j c CU c j .3.1.4.9. Pb9 : Optimisation de solutions de compromis avec MinMax
Soit l un niveau de repli pour les contraintes unaires et soit k un niveau de repli pour les contraintes non-unaires. Dans l’ensemble des solutions (l-10)-réalisables, on recherchera à minimiser la non-satisfaction uniforme des contraintes non-unaires de niveau supérieur ou égal à k.
c a CN c W a k l max min 1 0 ,
c est l’évaluation de la non-satisfaction de la contrainte c.
Le MinMax est pris par rapport à un ensemble homogène de contraintes (contraintes d’écart minimal, de sommation de perturbateurs…). Pour réaliser une optimisation de type MinMax sur plusieurs sous-ensembles homogènes de contraintes, le MinMax global s’exprimera comme une somme pondérée des MinMax élémentaires.
3.1.5. Définition des classes d’optimisation
Nous avons réalisé une classification des différents modes d'optimisation sur la base du résultat de la recherche de la réalisabilité et de l’objectif concerné (cf. Figure 17). La position de chaque problème est déterminée par la réponse ou les réponses (cas itératif de la recherche du niveau de relâchement global) à la question de réalisabilité. Sur la base de cette réponse et de la nature du mode d’optimisation un arrêt de la recherche, une optimisation spectrale ou une recherche de compromis est entreprise.
En termes de méthodologie de travail, ceci permet de perfectionner une même approche, éventuellement avec plusieurs variantes, utilisable pour les différents ca s à traiter.
3.1.5.1. Classe A
La problématique consiste uniquement à une recherche de réalisabilité. La recherche s’arrête dès qu’une solution complète consistante est trouvée (cas du mode d’optimisation 1) ou suite à la preuve de l’inconsistance du problème (cas des modes d’optimisation 1 à 6 et 7 à 9) car alors il n’y a plus d’optimisation spectrale.
3.1.5.2. Classe B
L’algorithme de recherche poursuit l’optimisation après l’obtention de la solution réalisable afin d’améliorer l’utilisation spectrale selon l’un des cinq modes 2-6. Cette étape fera suite à un cycle de recherche de réalisabilité suivant la méthode de classe A.
3.1.5.3. Classe C
L’algorithme procède à l’optimisation de la satisfaction des contraintes via une recherche de solutions de compromis (modes 7 à 9). Cette étape fera suite à un cycle de recherche de réalisabilité suivant la méthode de classe A, permettant à la méthode de fixer le niveau de relâchement général sur les contraintes.
Figure 17 : Identification des classes de problèmes correspondant aux 9 modes d'optimisation
C
A
B
Non Pb 2-6 : optimiser le spectre Pb 1,7,8,9 : solution trouvée Problème Niveau (l,k)Réalisable Oui Pb 7-8 : baisser l ou k
Pb 1-9 : pas de solution
Pb 7-9 : rechercher une solution de compromis
3.1.6. Les instances
Deux groupes de jeux de tests ont été utilisés dans notre travail, l’un privé fourni par le CELAR dans le cadre du projet, l’autre public fourni par le CELAR et l’université de Delft et publié dans le cadre du projet européen CALMA [119] [120]. Les détails de ces instances sont présentés dans cette partie. En ce qui concerne les jeux privés, nous ne donnerons que certaines caractéristiques correspondant aux propriétés des instances publiques.
Les instances publiques sont de taille moyenne et ne comportent que des contraintes binaires. Les instances privées sont de très grande taille, elles correspondent à la définition complète du problème et comprennent différents types de contraintes et objectifs à optimiser. Les instances privées sont plus difficiles à résoudre que les instances publiques et ceci a été confirmé par le CELAR qui possède un ensemble d’outils d’affectation utilisant différentes méthodes de résolution.
3.1.6.1. Les instances publiques
Pour améliorer notre analyse des performances de la solution algorithmique proposée dans le cadre du projet avec le CELAR, il est nécessaire de se baser sur des instances publiques connues dans la littérature et proches du problème défini dans le projet. Les instances du projet européen CALMA (Combinatory ALgorithms for Military
Applications) [119] [120] répondent exactement à ces besoins. Plusieurs équipes de
chercheurs ont travaillé sur les mêmes instances de problème : 11 instances CELAR fournies par le CELAR et 14 instances GRAPH fournies par l'Université de Technologie de Delft [121]. Les instances CELAR sont toutes déclinées à partir d’un seul et même problème contenant 916 liaisons et 5744 contraintes binaires, de type contraintes d’écart en fréquences minimal ou contraintes d’égalité (cf. section 3.1.3.4), réparties dans 11 composantes connexes. Elles avaient été conçues, à l’origine, pour évaluer différents outils de programmation par contraintes. Les instances GRAPH ( Generating
Radio link frequency Assignment Problems Heuristically) ont été générées aléatoirement
par van Benthem [121] et possèdent les mêmes caractéristiques que les instances CELAR.
Chacune des variables des problèmes CELAR et GRAPH prend ses val eurs de fréquences dans l’un des sept domaines possibles définis dans un même fichier commun à tous les problèmes. Selon le problème, une variable est définie par un numéro de domaine de 1 à 7. Le plus grand domaine contient 44 valeurs, le plus petit 6.
Dans un premier temps, nous nous sommes concentrés sur la réalisabilité. Par conséquent, nous ne présentons ici que les instances qui possèdent une solution réalisable. Le reste des instances a pour objectif la minimisation du nombre de contraintes violées.
Le Tableau 2 détaille les caractéristiques de chaque instance : Le nombre de variables ou trajets
Le nombre de contraintes binaires
Le nombre de trajets pré-affectés (interdit de les changer)
L’objectif visé : MinFreq pour minimiser le nombre de fréquences et MinSpec pour minimiser la largeur du spectre (lignes grises)
Les meilleurs résultats connus selon les deux objectifs (incertitude sur le graph08)
Les valeurs sont suivies d’une étoile lorsqu’elles sont prouvées optimales. Pour plus de détails sur le projet CALMA, les instances, les méthodes et leurs résultats, le lecteur pourra se référer au lien web suivant : http://fap.zib.de/problems/CALMA/.
Problème nb var nb val nb ctr nb aff objectif MinFreq MinSpec
CELAR01 916 36200 5548 0 MinFreq 16∗ 680 CELAR02 200 80004 1235 0 MinFreq 14∗ 394 CELAR03 400 15892 2760 0 MinFreq 14∗ 666 CELAR04 680 26856 3967 280 MinFreq 46∗ - CELAR05 400 15768 2598 0 MinSpec - 792∗ CELAR11 680 26856 4103 0 MinFreq 22∗ - graph01 200 6920 1134 0 MinFreq 18∗ 408 graph02 400 14624 2245 0 MinFreq 14∗ 394 graph03 200 7820 1134 0 MinSpec - 380 graph04 400 15592 2244 0 MinSpec - 394∗ graph08 680 25628 3757 0 MinFreq 16 ou 18 652 graph09 916 36092 5246 0 MinFreq 18∗ 666 graph10 680 26980 3907 0 MinSpec - 394∗ graph14 916 36716 4638 0 MinFreq 8 352
Tableau 2 : Caractéristiques et objectifs des instances CELAR et GRAPH
3.1.6.2. Les instances privées
Les 30 instances privées seront notées SCENx avec x une valeur entière comprise entre 1 et 30. Le Tableau 3 détaille les caractéristiques de chaque instance :
Le nombre de variables ou trajets
Le nombre de valeurs, ou canaux, correspondant à la taille du domaine global représentant l’union de tous les domaines des variables. Il n’y a pas un seul domaine par problème, il s’agit plutôt de plusieurs ensembles de spectre de fréquences. Un domaine d’une variable pourra être l’union de plusieurs ensembles. Nous rappelons que chaque fréquence peut-être polarisée donnant lieu à deux valeurs possibles verticale et horizontale.
Le nombre de contrainte unaire
Le nombre de contrainte binaire avec tous les types de contraintes présentées dans la section 3.1.3.4
Le nombre de contraintes n-aires qui sont les contraintes d’intermodulation et de sommation de perturbateurs, cf. section 3.1.3.5
Le nombre total de contraintes
Problème nb var nb val Ctr unaires Ctr binaires Ctr n-aires nb ctr
SCEN1 50 92 0 444 0 444 SCEN2 41 196 0 555 0 555 SCEN3 40 100 0 1252 139 1391 SCEN4 16 662 47 56 0 103 SCEN5 50 514 32 1229 0 1261 SCEN6 50 75 0 6562 270 6832 SCEN7 50 49 0 483 0 483 SCEN8 50 49 0 507 0 507 SCEN9 48 55 48 1238 155 1441 SCEN10 50 49 0 536 0 536 SCEN11 770 125 0 33909 3060 36969 SCEN12 702 72 0 39123 0 39123 SCEN13 182 700 0 24756 1036 25792 SCEN14 300 506 192 4121 0 4313 SCEN15 1500 155 0 143186 0 143186 SCEN16 115 1921 0 1814 90 1904 SCEN17 568 71 0 46554 0 46554 SCEN18 2000 95 0 146184 0 146184 SCEN19 154 100 0 16298 1414 17712 SCEN20 221 1720 0 6108 598 6706 SCEN21 1088 500 0 273060 14934 287994 SCEN22 1466 71 0 93516 0 93516 SCEN23 1930 125 0 74419 4410 78829 SCEN24 1314 91 0 76875 0 76875 SCEN25 364 841 0 9834 198 10032 SCEN26 2166 460 0 74070 7820 81890 SCEN27 144 801 0 17837 410 18247 SCEN28 894 91 2936 42003 0 44939 SCEN29 2454 400 0 66629 8474 75103 SCEN30 3000 91 0 182739 0 182739
Tableau 3 : Caractéristiques des instances privées
Les scénarios privés sont très différents les uns des autres, on peut néanmoins les ranger en 2 classes. Les scénarios 1 à 10 sont des petits scénarios avec 50 variables et 7000 contraintes au plus. Les scénarios 11 à 30 sont des scénarios de taille très importante avec 115 à 3000 variables et jusqu’à 300 000 contraintes.
14 scénarios, parmi les 30, contiennent des contraintes n-aires mettant en jeu plus de 2 variables (lignes grises). Une contrainte n-aire de type sommation de perturbateurs peut porter sur un nombre important de variables ; par exemple pour le SCEN9, nous avons des contraintes qui portent sur 15 variables, soit 1/3 du nombre total de variables du problème.
3.1.7. Complexité
Un problème d’affectation de fréquences peut être représenté par un graphe de contraintes, également appelé graphe d’interférences. Les sommets correspondent aux trajets du réseau. Un arc reliant deux trajets désigne une contrainte entre les deux variables. Cependant cette représentation est incomplète par rapport aux problèmes que nous traités car elle n’exprime pas les contraintes unaires et n-aires ainsi que les données relatives à chaque contrainte comme l’écart demandé, le poids ou la priorité, le niveau de relâchement...
Prenons un cas particulier pour étudier la complexité des problèmes évoqués ci -dessus. Supposons qu’il n’y ait que des contraintes d’écart minimum, que les écarts demandés égalent 1, et que les domaines fréquentiels des trajets soient tous identiq ues et égaux à l’ensemble des entiers entre 1 et k, la question de savoir s’il existe une solution qui satisfasse toutes les contraintes revient à rechercher une k-coloration valide d’un graphe G, ce qui est un problème NP-complet pour k > 2. Les problèmes que nous avons à traiter sont donc particulièrement difficiles.