4. Tabu-NG et coloration de graphe
4.5. Comparaison des résultats obtenus avec la littérature
Dans cette section, nous présentons les derniers résultats en cours de Tabu-NG pour toutes les instances difficiles de coloration DIMACS que nous avons traitées dans cette thèse [166].
A noter que tous les tests sont faits avec le même paramétrage (durée Tabou notamment). Le Tableau 35 compare Tabu-NG avec les 8 méthodes présentées en section 4.1.5. Certaines de ces méthodes sont dédiées à la coloration (AMACOL, MACOL et RCTS) et certaines sont basées sur l’utilisation de classes de couleurs (AMACOL). MACOL 2010 présente actuellement les meilleurs scores connus dans la littérature sur toutes les instances.
Recherche locale Algorithmes Hybrides PPC
Nom χ Best Tabu -NG 2009 RCTS 2008 ALS 2002 ILS GL S 2005 1996 DCNS A MAC ol 2008 MAC O L 2010 FC N S 2002 DSJC125.1 5 5 5 5 5 5 5 - 5 5 DSJC125.5 - 17 17 17 17 17 18 - 17 17 18 DSJC125.9 - 44 44 44 44 44 44 - 44 44 DSJC250.1 - 8 8 8 8 8 8 - 8 8 DSJC250.5 - 28 28 28 28 28 29 - 28 28 32 DSJC250.9 - 72 72 72 72 72 72 - 72 72 DSJC500.1 - 12 12 12 13 13 13 - 12 12 DSJC500.5 - 48 50 48 49 50 52 49 48 48 54 DSJC500.9 - 126 128 126 127 127 129 - 126 126 DSJC1000.1 - 20 21 21 21 21 21 - 20 20 DSJC1000.5 - 84 90 87 89 90 93 89 84 83 97 DSJC1000.9 - 223 231 224 226 227 233 226 224 223 flat300_20_0 20 20 20 20 20 20 20 - 20 20 20 flat300_26_0 26 26 26 26 26 26 33 - 26 26 35 flat300_28_0 28 28 28 30 31 31 33 31 31 29 35 flat1000_50_0 50 50 50 50 88 88 50 - 50 50 95 flat1000_60_0 60 60 60 60 87 89 90 - 60 60 97 flat1000_76_0 76 82 88 87 88 89 92 86 84 82 98 le450_15a 15 15 15 15 15 15 15 - 15 15 15 le450_15b 15 15 15 15 15 15 15 - 15 15 15 le450_15c 15 15 15 16 15 15 15 15 15 15 21 le450_15d 15 15 15 16 15 15 15 15 15 15 21 le450_25a 25 25 25 25 25 - 25 25 le450_25b 25 25 25 25 25 - 25 25 le450_25c 25 25 27 25 26 26 26 26 26 25 le450_25d 25 25 27 25 26 26 26 26 26 25 le450_5a 5 5 5 5 5 5 5 - 5 - le450_5b 5 5 5 5 5 5 5 - 5 - le450_5c 5 5 5 5 5 - 5 - le450_5d 5 5 5 5 5 5 5 - 5 - Latin_sqr_10 98 98 104 100 106 98 104 99 106 TNG Mieux - 3 5 5 11 1 1 1 12 TNG Pareil - 19 19 18 14 2 21 17 3 TNG Pire - 8 6 4 2 7 8 8 0 Total - 30 30 27 27 10 30 26 15
Tableau 35 : Comparaison des résultats de Tabu-NG avec la littérature pour les instances DIMACS
Tabu-NG est moins efficace que les trois méthodes hybrides pour 8 instances contre 1 et
de trop grand écart par rapport au meilleur score connu (8 couleurs de plus au maximum).
Tabu-NG qui appartient à la même classe de méthodes que FCNS (hybridation de PPC et
recherche locale) dépasse cette dernière sur toutes les instances. Notons enfin que Tabu-NG améliore flat300_28_0 par rapport à MACOL en étant la seule parmi les méthodes présentées à résoudre cette instance à l’optimalité.
En colonne le Tableau 35 présente les informations suivantes : Colonne 2, le nombre chromatique lorsque celui-ci est connu.
Colonne 3, le meilleur résultat connu dans la littérature (plus petit k).
Colonne 4, le meilleur score de Tabu-NG sur 10 exécutions avec 1000 minutes maximum.
4 colonnes pour des algorithmes de recherche locale.
3 colonnes pour des algorithmes hybrides (évolutionnaires et Recherche Tabou). La dernière colonne pour une approche PPC (la meilleure parmi celles référencées
en k-coloration).
En ligne le Tableau 35 présente les informations suivantes par rapport à chaque méthode mentionnée :
Ligne Mieux, le nombre d’instance où Tabu-NG a un plus petit k. Ligne Pareil, le nombre d’instance où Tabu-NG a le même k. Ligne Pire, le nombre d’instance où Tabu-NG a un plus grand k. Ligne Total, le nombre total d’instance traité par cette méthode.
4.6. Synthèse
L’application d’une méthode de recherche sur un problème très référencé et largement étudié dans la littérature constitue une bonne plateforme de mise au point. Le problème de k-coloration de graphe est un des problèmes les plus étudiés dans la littérature avec toutes sortes de méthodes. Dans ce chapitre, nous avons présenté les travaux sur les instances DIMACS qui sont utilisées par la plupart des articles publiés sur la k-coloration, elles ont la réputation d’être difficiles à résoudre. Ces jeux sont toujours d’actualité avec une publication des meilleurs scores connus en 2010. Le travail est présenté volontairement de manière progressive pour associer les solutions proposées aux analyses successives que nous avons faites.
La première partie de ce chapitre présente le problème de k-coloration de graphe et la similitude entre ce problème et le CSP. Elle présente aussi l’ensemble des instances utilisées qui regroupe des instances faciles et des instances difficiles. Nous donnons aussi dans cette partie une vue globale sur les méthodes de résolution et nous présentons les meilleures réparties en trois classes, les méthodes de recherche locale, les méthodes à base de programmation par contraintes et les méthodes hybrides.
La deuxième partie de ce chapitre se concentre sur les évolutions de certaines implémentations de la méthode Tabu-NG pour traiter la coloration. Les différences avec le FAP sont assez importantes sur la nature des contraintes et des domaines. Nous avons donc proposé de nouvelles structures de données propres aux problèmes de coloration (contrainte,
domaine, solution, nogood, deadend), et nous avons montré l’importance de ces structures en termes de rapidité d’exécution (nombre de configurations visitées pour un temps donné). Ces structures nous ont permis de maintenir plus facilement la consistance dans un graphe de contraintes suite à l’extension d’une configuration partielle consistante ou suite à la réparation d’une configuration partielle inconsistante.
Un deuxième travail a été fait sur l’utilité du stockage des nogoods dans une liste Tabou par rapport au temps de calcul engendré pour maintenir et parcourir cette liste. Les nogoods sont utilisés pour prendre les décisions sur les réparations lors de conflit. La liste établit en plus un apprentissage sur les coupes de l’espace de recherche. Ne traitant pas les problèmes de symétrie de la coloration, les coupes s’avèrent trop locales pour être efficaces. Nous avons alors estimé que le stockage des nogoods pour la coloration n’était pas forcément nécessaire et que les nogoods pouvaient être calculés en ligne. Nous avons donc éliminé la liste Tabou perdant ainsi la notion d’apprentissage au bénéfice d’un accroissement du nombre de configurations visité.
La troisième partie porte sur l’application de la méthode Tabu-NG à la coloration. Le schéma général de Tabu-NG est expliqué puis nous présentons les adaptations des procédures d’extension et de réparation et l’adaptation de la durée Tabou. L’extension est faite selon les mêmes principes que pour le FAP avec une intensification autour des variables de plus petit domaine restant ; la diversification utilise le nogood calculé pour désaffecter toutes les variables explicatives du deadend ; enfin la durée Tabou utilisée est une modification de celle de TabuCol basée sur la taille de la configuration partielle courante. Toutes les instances faciles de DIMACS sont résolues à l’optimalité mais les instances difficiles sont hors de portée. Notre analyse a montré que les heuristiques d’extension et de réparation sont trop agressives dans leur démarche, l’une trop intensive et l’autre trop diversifiée.
Dans la quatrième partie de ce chapitre, nous corrigeons les effets de ces heuristiques et proposons de nouveaux résultats. L’extension est plus diversifiée en permettant un choix de variables parmi toutes celles non affectées et non taboues au lieu de Minimum Remaining
Values. Suite à un deadend, la réparation est plus intensive en désaffectant les variables
explicatives de la même couleur au lieu de désaffecter toutes les variables explicatives quelle que soit leur couleur. Enfin le choix des couleurs pour l’extension a été diversifié. Le choix de couleur limité aux valeurs valides (taboues ou non) conduisait l’algorithme à reconduire systématiquement les mêmes décisions pour des domaines singletons et empêchait l’exploration de configurations partielles nouvelles. Nous avons donc introduit la possibilité de choisir une valeur inconsistante sous certaines conditions.
Nous avons présenté et comparé avec la littérature les derniers résultats de Tabu-NG sur les instances difficiles DIMACS en fin de 4ème partie. Tabu-NG est très compétitive par rapport à des méthodes dédiées à ce problème. Elle se classe derrière les 3 meilleures méthodes hybrides et 3ème sur les 5 recherches locales référencées. L’écart maximum sur toutes les instances est seulement de 8 couleurs supplémentaires. A noter que Tabu-NG améliore une instance difficile en étant la seule parmi les méthodes présentées à résoudre cette instance à l’optimalité (flat300_28_0).
Au vu des premiers résultats de Tabu-NG sur ce problème, nous sommes convaincus que la méthode présente encore du potentiel. Nous sommes conscient qu’un travail supplémentaire d’analyse comportementale est nécessaire afin d’améliorer les performances. Il est par exemple important de reconsidérer le stockage des nogoods en fixant peut être la taille du nombre de nogoods stockés comme compromis entre rapidité et apprentissage. Les paramètres de la méthode méritent aussi d’être étudiés d’une manière approfondie ; la méthode est sensible aux heuristiques d’extension et de réparation, mais elle est aussi sensible
à la durée Tabou. Pour l’instant Tabu-NG a été appliquée sur toutes les instances avec les mêmes paramètres, nous devons faire des tests avec des paramètres différents sur les problèmes les plus difficiles.