Décomposition irréductible des produits tensoriels

2. Représentations

2.3. Décomposition irréductible des produits tensoriels

où λ1,1

0 = [1, 0, . . . , 0,−1] est irréductible. Plus de détails seront donnés au chapitre 3.

Plus généralement, quels que soient p, q ≥ 1, on dénit l'application équivariante L : λp−1,q−1 → λp,q

α 7→ ω ∧ α

Dénition 2.2.12. L'espace des formes primitives de type (p, q), noté λp,q

0 , est l'or-

thogonal de l'image de L dans λp,q_.

Lorsque p + q ≤ n, l'application L est injective, par conséquent λp,q ≃ λp,q0 ⊕ λp−1,q−1

et on peut montrer que λp,q

0 est la représentation irréductible de U(n) de poids dominant

(1, . . . , 1 | {z } p , 0, . . . , 0,−1, . . . , −1_| _{z _} q ) Finalement, pour p + q ≤ n, p ≥ q, λp,q _{≃ λ}p,q₀ _{⊕ λ}p−1,q−1_{⊕ . . . ⊕ λ}p−q,0 En particulier λp,q

0 est la composante primitive la composante irréductible de plus grande

dimension de λp,q_{. Pour p + q > n en revanche λ}p,q

0 ={0}.

On dénit aussi

σp,q =⊙p_λ1,0_{⊗ ⊙}q_λ0,1

par analogie à (3.4). Si p = 0 ou q = 0, σp,q _{est irréductible mais lorsque p, q ≥ 1, on note}

σ₀p,q la composante primitive de σp,q_{, de poids dominant (p, 0, . . . , 0, −q).}

2.3. Décomposition irréductible des produits tensoriels

Désormais on indique entre parenthèse après le nom d'une représentation son poids dominant si elle est irréductible : V (γ), ou même simplement [γ]. Soient donc V (γ) et W (λ) deux représentations irréductibles de G. Le poids γ + λ ∈ Γ est le poids dominant d'une représentation irréductible, appelée produit de Cartan de V et W qu'on peut voir comme un sous-espace de V ⊗ W . Plus généralement, on obtient tous les poids de V ⊗ W en additionnant n'importe quel poids de V à n'importe quel poids de W . Cependant si on cherche la décomposition en composantes irréductibles de V ⊗ W

(2.11) V ⊗ W =X

α∈D

64 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS

où les (V ⊗ W )α _{sont les composantes isotypiques}

(V ⊗ W )α _{≃ m} α[α]

on n'est intéressé, parmi les poids de V ⊗ W , que par les poids dominants des représenta- tions intervenant dans (2.11) c'est-à-dire par le sous-ensemble D de P(V ⊗ W ) ∩ Γ, ainsi que par les multiplicités mα. Ce que dit Salamon ([48], p81, voir les références données

par l'auteur) c'est qu'on peut les obtenir uniquement en manipulant la liste des γ + β, β _{∈ P(W ) i.e. on a besoin de connaître tous les poids d'une représentation sur deux} seulement. La méthode n'est cependant pas directe : non seulement γ + β n'appartient pas généralement à Γ mais il ne sut pas de prendre le poids de l'orbite correspondante W (γ + β) dans la chambre fondamentale Γ. Ce qu'il faut faire est très bien résumé par le schéma à la page 82 de [48]. On le rappelle brièvement.

Avant tout on dénit la quantité utile h = 1

2 X

α∈R+

Elle vérie β ∈ Γ si et seulement si β + h ∈ Γ. D'autre part, on associe à tout élément w de W son signe ε(w) = ±1 selon qu'il est engendré par un nombre pair ou impair de réexions sα, α ∈ R.

A présent, soit β ∈ P(W ). On associe au poids γ + β un poids α ∈ D si et seulement si il existe w ∈ W tel que w(γ + β + h) ∈ Γ. Alors α = w(γ + β + h) − h ∈ Γ. L'ensemble des β qui le vérient est noté P′_{(W )}_{. Comme W agit eectivement et transitivement sur}

les chambres de Weyl, w lorsqu'il existe est unique. Plusieurs cas se présentent.

1) Si γ + β ∈ Γ, c'est tel quel le poids dominant d'une représentation irréductible de la décomposition de V ⊗ W : α = γ + β ∈ D mais il reste à calculer la multiplicité mα. Dans

ce cas w est l'identité.

2) Si γ+β+h n'appartient pas à Γ, comme en 1), mais à ∂Γ, pour tout w ∈ W, w(γ+β+h) appartiendra au mieux à un autre mur de Γ donc w(γ + β + h) − h /∈ Γ. Par conséquent il faut rejeter ce poids : β /∈ P′_{(W ).}

3) Si γ + β + h /∈ Γ alors il existe un unique w tel que w(γ + β + h) ∈ Γ et de deux choses l'une :

a) si γ + β + h appartenait à un mur, w(γ + β + h) ∈ ∂Γ et on est ramené au cas 2). b) mais s'il appartenait à l'intérieur d'une chambre, w(γ + β + h) ∈ Γ comme on souhaite.

2.3. DÉCOMPOSITION IRRÉDUCTIBLE DES PRODUITS TENSORIELS 65

Finalement on a la formule pour calculer les multiplicités : ∀α ∈ D, mα =

β∈P′_{(W )}

w(γ+β+h)−h=α

ε(w) mult(β)

On va maintenant présenter quelques décompositions calculées par cette méthode. Comme Salamon on abrègera assez clairement β ∈ P′_{(W )}_en √ et β /∈ P′_{(W )} _{en ×.}

Exemples

D'abord on calcule h pour U(n) : h = 1 2 X 1≤j<k≤n (xj− xk) = 1 2 X 1≤j<n X j<k≤n (xj − xk) = 1 2(n− 1, (n − 2) − 1, (n − 3) − 2, . . . , −(n − 1)) = 1 2(n− 1, n − 3, . . . , −n + 1)

Notons que la diérence entre deux coordonnées consécutives de h est 1. Soit un poids α = (d1, . . . , dn) tel qu'il existe j tel que dj+1− dj = 1. Alors les coordonnées de α + h =

(d′

1, . . . , d′n)vérient d′j+1= d′j c'est-à-dire que α +h appartient à un mur. Par conséquent

si ce poids, α apparaît dans la liste de la somme des poids de V et W , il est à rejeter, par 2) ou 3)a) ci-dessus.

On cherche à décomposer Λ1_{⊗ [λ}1,1_] _:

[[λ1,0]]_{⊗ [λ}1,1] = [[λ1,0_{⊗ λ}1,1]] Il existe un sous-espace U2_{, U(n)-invariant tel que}

λ1,0⊗ λ1,1 _{= λ}2,1_{⊕ U}2

Lemme 2.3.1. Soit n ≥ 3. Soit U2

0 la composante primitive de U2. La décomposition

(2.12) Λ1 ⊗ [λ1,1_]_{≃ [[λ}2,1

0 ]]⊕ [[U02]]⊕ 2Λ1

est la décomposition en composantes irréductibles de la représentation de U(n). Pour n = 2, la décomposition reste valable mais [[λ2,1

66 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS

Démonstration. On connaît les poids de la représentation adjointe u(n)C ≃ λ1,1. Ce-

pendant cette représentation n'est pas irréductible. Pour appliquer la méthode de Salamon on doit plutôt regarder λ1,1

0 , de poids dominant (1, 0, . . . , 0, −1). On sait que

λ1,0_{⊗ λ}1,1 _{≃ λ}1,0 _{⊕ λ}1,0_{⊗ λ}1,1₀ Pour plus de clarté on xe n = 4.

β γ + β γ + β + h α (1, 0, 0, 0) (2, 0, 0,₋₁₎√ (2, 0, 0,₋₁₎ (0, 1, 0, 0) (1, 1, 0,₋₁₎√ (1, 1, 0,₋₁₎ (0, 0, 1, 0) (1, 0, 1,₋₁₎ (5 2, 1 2, 1 2,− 5 2)× (0, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 0)√ (1, 0, 0, 0) On a bien [1, 0, 0, 0]⊕ [1, 0, 0, −1] = [2, 0, 0, −1] ⊕ [1, 1, 0, −1] ⊕ [1, 0, 0, 0] = U2 0 ⊕ λ 2,1 0 ⊕ λ1,0 La représentation U2

0 est par dénition la représentation irréductible de U(n) de poids

dominant (2, 0, . . . , 0, −1) c'est-à-dire σ2,1

0 et [[U2]]≃ [[σ2,1]].

L'espace abstrait des tenseurs de courbure hermitienne est Λ2_⊗[λ1,1_]_{(l'endomorphisme}

RX,Y commute à J quels que soient les vecteurs X et Y ). On le décompose en composantes

irréductibles. On a premièrement

Λ2_{⊗ [λ}1,1] = [[λ2,0]]_{⊗ [λ}1,1] _{⊕ [λ}1,1]_{⊗ [λ}1,1] Puis

Proposition 2.3.2. Soient V1 _{la représentation irréductible de U(n) de poids domi-}

nant (2, 0, . . . , 0, −1, −1) et V2 _{= [2, 1, 0, . . . , 0, 1]}_{. Pour n ≥ 4, les décompositions}

[[λ2,0]]_{⊗ [λ}1,1] = [[λ2,0_{⊗ λ}1,1]] ≃ [[λ3,10 ]]⊕ [[V2]]⊕ 2[[λ2,0]]⊕ [[σ2,0]] (2.13) et [λ1,1]_{⊗ [λ}1,1] = [λ1,1_{⊗ λ}1,1] ≃ [λ2,20 ]⊕ [[V1]]⊕ [σ 2,2 0 ]⊕ 4[λ 1,1 0 ]⊕ 2R (2.14)

2.3. DÉCOMPOSITION IRRÉDUCTIBLE DES PRODUITS TENSORIELS 67

sont les décompositions en composantes irréductibles des représentations de U(n). Pour n = 3 ces décompositions deviennent

(2.15) [[λ2,0]]_{⊗ [λ}1,1]_{≃ [[V}2]]_{⊕ 2[[λ}2,0]]_{⊕ [[σ}2,0]] et

(2.16) [λ1,1]_{⊗ [λ}1,1]_{≃ [[V}1]]_{⊕ [σ}2,2₀ ]_{⊕ 4[λ}1,1₀ ]_{⊕ 2R} Enn pour n = 2, [[V1_]] _{et [[V}2_]] _{sont en outre réduits à 0.}

Démonstration. On doit démontrer, au niveau des représentations complexes, λ2,0⊗ λ1,10 ≃ λ3,10 ⊕ V2⊕ λ2,0⊕ σ2,0

λ1,10 ⊗ λ1,10 ≃ λ2,20 ⊕ V1⊕ V 1

⊕ σ02,2⊕ 2λ1,10 ⊕ R

On prend n = 4 (pour n > 4 les démonstrations sont similaires). On connaît tous les poids de λ1,1

0 et le poids dominant de λ2,0 : (1, 1, 0, 0). On peut donc

appliquer l'algorithme de décomposition des produits tensoriels :

(1, 0, 0,_{−1) (2, 1, 0, −1)}√ (2, 1, 0,₋₁₎ (1, 0,−1, 0) (2, 1, −1, 0) (7₂,3₂,−3 2,− 3 2)× (1,−1, 0, 0) (2, 0, 0, 0)√ (2, 0, 0, 0) (0, 1, 0,−1) (1, 2, 0, −1) (5₂,5₂,−1 2,− 5 2)× (0, 1,−1, 0) (1, 2, −1, 0) (5₂,5₂,−3 2,− 3 2)× (_{−1, 1, 0, 0)} (0, 2, 0, 0) (3₂,₂5,₋1₂,₋3₂) ₋₍5₂,3₂,₋1₂,₋3₂) _{−(1, 1, 0, 0)} (0, 0, 1,_{−1) (1, 1, 1, −1)}√ (1, 1, 1,₋₁₎ (0,_{−1, 1, 0)} (1, 0, 1, 0) (5 2, 1 2, 1 2,− 3 2)× (_{−1, 0, 1, 0)} (0, 1, 1, 0) (3 2, 3 2, 1 2,− 3 2)× (0, 0,_{−1, 1) (1, 1, −1, 1)} (5 2, 3 2,− 3 2,− 1 2) −( 5 2, 3 2,− 1 2,− 3 2) −(1, 1, 0, 0) (0,_{−1, 0, 1)} (1, 0, 0, 1) (5 2, 1 2,− 1 2,− 1 2)× (−1, 0, 0, 1) (0, 1, 0, 1) (3₂,3₂,−1 2,− 1 2)× 3(0, 0, 0, 0) 3(1, 1, 0, 0)√ 3(1, 1, 0, 0)

En particulier la multiplicité de λ2,0 _{= [1, 1, 0, 0]}_{est 3−1−1 = 1. Les autres composantes}

sont V2 _{= [2, 1, 0,}_{−1], le produit de Cartan de λ}1,1 _{et λ}2,0_{, σ}2,0 _{= [2, 0, 0, 0]} _{et λ}3,1 0 =

[1, 1, 1,_{−1]. Le facteur 3 à la dernière ligne correspond à la multiplicité du poids 0 dans la} représentation λ1,1

68 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATIONS

de U(n) est de dimension n donc u(n)0est de dimension complexe n mais λ1,10 ≃ u(n)C⊕C

donc mult(0) = n − 1.

En ce qui concerne la deuxième décomposition,

(1, 0, 0,₋₁₎ (2, 0, 0,₋₂₎√ (2, 0, 0,₋₂₎ (1, 0,_{−1, 0) (2, 0, −1, −1)}√ (2, 0,_{−1, −1)} (1,_{−1, 0, 0) (2, −1, 0, −1)} (7 2,− 1 2,− 1 2,− 3 2)× (0, 1, 0,₋₁₎ (1, 1, 0,₋₂₎√ (1, 1, 0,₋₂₎ (0, 1,_{−1, 0) (1, 1, −1, −1)}√ (1, 1,_{−1, −1)} (−1, 1, 0, 0) (0, 1, 0,−1) (3₂,3₂,−1 2,− 5 2)× (0, 0, 1,−1) (1, 0, 1,−2) (5₂,1₂,1₂,−7 2)× (0,−1, 1, 0) (1, −1, 1, −1) (5₂,−1 2, 1 2,− 5 2) −( 5 2, 1 2,− 1 2,− 5 2) −(1, 0, 0, −1) (−1, 0, 1, 0) (0, 0, 1,−1) (3₂,1₂,1₂,−5 2)× (0, 0,_{−1, 1)} (1, 0,_{−1, 0)} (5₂,1₂,₋3₂,₋3₂)_× (0,_{−1, 0, 1)} (1,_{−1, 0, 0)} (5₂,₋₂1,₋1₂,₋3₂)_× (_{−1, 0, 0, 1)} (0, 0, 0, 0)√ (0, 0, 0, 0) 3(0, 0, 0, 0) 3(1, 0, 0,₋₁₎√ 3(1, 0, 0,₋₁₎ On identie : λ1,1 0 est de multiplicité 3 − 1 = 2, σ 2,2 0 = [2, 0, 0,−2], V1 = [2, 0,−1, −1]

par dénition et V1 = [1, 1, 0,−2]. En eet le représentant de l'orbite de (−2, 0, 1, 1) = −(2, 0, −1, −1) dans la chambre fondamentale Γ est (1, 1, 0, −2). Enn λ2,20 = [1, 1,−1, −1]

n'est pas déni lorsque n = 3 et [0, 0, 0, 0] est isomorphe à R.

An de caractériser V1_{on remarque que λ}2,2_{, σ}2,2_{sont inclus dans le produit symétrique.}

En fait (2.17) J2 [λ1,1_{] = λ}2,2_{⊕ σ}2,2 Or λ2,2_{≃ λ}2,2₀ _{⊕ λ}1,1₀ _{⊕ R} σ2,2_{≃ σ}₀2,2_{⊕ λ}1,1₀ _{⊕ R} car σ1,1 0 = λ 1,1 0 = [1, 0, . . . , 0,−1]. On en déduit V2 λ1,1 _{≃ [[V}1_]]_{⊕ 2[λ}1,1 0 ]

2.3. DÉCOMPOSITION IRRÉDUCTIBLE DES PRODUITS TENSORIELS 69

D'autre part on déduit de (2.17) :

Lemme 2.3.3. L'espace abstrait des tenseurs de courbure kähleriens se décompose en composantes irréductibles pour U(n) en

(2.18) K(u(n)) ≃ [σ2,2_]_{≃ [σ}2,2 0 ]⊕ [λ

1,1 0 ]⊕ R

De plus, l'espace des tenseurs de courbure riemannienne des variétés à holonomie contenue dans SU(n) (les variétés de Calabi-Yau) est isomorphe en tout point à

(2.19) K(su(n)) ≃ [σ02,2]

Démonstration. En eet,

K(u(n)) ⊂J2(Λ2) ∩ Λ2_{⊗ u(n) =}J2

[λ1,1_]

Maintenant l'intersection de Λ4 _avecJ2

[λ1,1_] _{est évidemment [λ}2,2_]_{et par la proposition}

1.2.31 on a (2.18).

Pour la deuxième partie du lemme, su(n) ≃ [λ1,1 0 ] d'où

CHAPITRE 3

VARIÉTÉS PRESQUE HERMITIENNES

3.1. Variétés complexes, variétés presque complexes

Le groupe GL(n, C) est le groupe des endomorphismes complexes de Cn_{, soit des ma-}

trices carrées de taille n × n à coecients complexes. Mais Cn _{peut-être vu aussi comme}

R2n _par

(3.1) (z1, . . . , zn)7→ (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn), ∀j = 1, . . . , n, zj = xj + iyj

Alors la multiplication par i est l'endomorphisme de carré −1

(3.2) J : (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)7→ (−y1, . . . ,−yn, x1, . . . , xn)

et le groupe GL(n, C) est l'ensemble des endomorphismes R-linéaires de R2n_{qui préservent}

J. Le plongement est donné au niveau des matrices par A + iB →

A −B B A

Soit M une variété réelle de dimension paire m = 2n. Par le lemme 1.1.6, une réduction du bré des repères à GL(n, C), notée GL(M, C), est la donnée (diérentiable) d'un endomorphisme Jx de carré −1 de chaque espace tangent TxM. Le champ de tenseurs J

est appelé structure presque complexe de M. Les repères appartenant à GL(M, C) sont ceux de la forme {X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Yn} avec, ∀j = 1, . . . , n, Yj = JXj.

La représentation complexe usuelle de GL(n, C) sur Cn _{engendre le bré vectoriel com-}

plexe associé T1,0_{. Quant à la représentation conjuguée elle est associée à T}0,1_{. On peut}

voir T1,0 _{et T}0,1 _{comme des sous-brés de T}C

M = T M ⊗R C. Pour cela, on étend J à

M par C-linéarité. Alors T1,0

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