Conclusion

En eet

vol(f ψ) = f2vol(ψ) pour toute fonction f par (4.23) d'où vol(ψ′_{) = 2vol(ω).}

Maintenant la variété (N, g, J) est automatiquement de type W1⊕W2⊕W4par construc-

tion :

dω = f−1ψ′+ θω∧ ω

n'a pas de composante dans [[λ2,1 0 ]].

De plus, vue la liberté dans le choix de ω, on peut toujours demander que dθω 6= 0.

Corollaire 6.5.9.  Il existe des variétés presque hermitiennes conformes de type Wc 1⊕

Wc

2 non fermées.

6.6. Conclusion

La théorie des twisteurs rencontre les variétés NK au moins à deux endroits.

Premièrement Hitchin [35] a démontré que les seuls espaces de twisteurs au dessus de variétés de dimension 4, kähleriens sont CP (3) au dessus de S4 _{et F (1, 2), l'espace des}

drapeaux de C3_{, au dessus de CP (2), c'est-à-dire 2 parmi les 4 seules variétés homogènes}

de dimension 6 admettant une structure SNK (voir [13]). On obtient cette dernière à partir de la structure kählerienne en faisant une homothétie et en changeant le signe de la structure presque complexe le long de la bre, isomorphe à CP (1). Or cette méthode est générale pour obtenir des variétés SNK à partir de submersions riemanniennes dont l'espace total est kählerien, comme a démontré Nagy dans [42]. Il prouve ainsi l'existence d'une structure SNK sur l'espace de twisteurs d'une variété Kähler-quaternionique.

Deuxièmement, par le théorème 6.1.2, les seules variétés presque hermitiennes conformes de dimension 6 ayant un espace de twisteurs réduit complexe, correspondent aux 2 types de variétés NK de dimension 6 : les variétés kähleriennes  pourvu qu'elles soient Bochner- plates , et les variété SNK  ici seulement S6 _{munie de la structure conforme standard et}

de la structure presque complexe issue des quaternions. Au regard de la raison (traduire des problèmes sur M dans des propriétés des structures holomorphes d'objets associés à Z, voir [3]) qui fait s'intéresser aux espaces de twisteurs complexes, ce résultat est juste préliminaire.

Par exemple, en ce qui concerne S6_{, étant conformément plate, elle admet aussi un es-}

188 CHAPITRE 6. ESPACE DE TWISTEURS RÉDUIT

Q+ (voir [50]), dont l'espace de twisteurs réduit Z par conséquent est une sous-variété,

qu'il faudra précisement décrire.

En outre, on fait place à une observation de Berard-Bergery, Ochiai [7]. D'une impor- tance cruciale dans la théorie des twisteurs en dimension 4 est la correspondance établie en [3] entre les brés holomorphes de l'espace de twisteurs, holomorphiquement triviaux sur chaque bre, et certains brés appelés  auto-duaux  sur la base. Cela appelle une généralisation si possible, en suivant Slupinski [50] dans le cas riemannien.

Enn, une particularité de S6 _{parmi les variétés SNK de dimension 6 est qu'elle admet}

plusieurs structures presque complexes J compatibles avec une métrique donnée g telles que (S6_{, g, J)est NK. En lien aussi avec la théorie des spineurs de Killing, on peut espérer}

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