Décomposition de Clebsch-Gordan - Introduction aux groupes de Lie pour la physique

Le produit tensorielρ⊗ρ⁰ de deux représentations irréductiblesρetρ⁰ d’un groupe de Lie matriciel G n’est pas forcément irréductible. S’il est complètement réductible (par exemple si G est compact par la proposition 1.20), alors sa décomposition en somme directe de représentations irréductibles est appelé la décomposition de Clebsch-Gordan de ce produit tensoriel.

Le résultat suivant donne la décomposition de Clebsch-Gordan des produits tensoriels de deux représentations irréductibles de SU(2).

Théorème 2.12. Pour tous les j₁, j₂ ∈ ¹₂N, nous avons D^j¹ ⊗D^j² '

j1+j2

J=|j1−j2|

D^J =D^|j¹^−j²^|⊕D^|j¹^−j²^|+1⊕ · · · ⊕D^j¹^+j²⁻¹⊕D^j¹^+j² .

En particulier, sij1 6= 0etj2 6= 0, alors la représentation D^j¹⊗D^j² deSU(2)n’est pas irréductible.

Les physiciens notent la base(|j₁, m1i ⊗ |j₂, m2i)_m₁_,m₂ de l’espace vectoriel complexe V^j¹⊗V^j², oùm1 ∈ ¹₂Z, −j₁≤m1 ≤j1, j1+m1 ∈Net de mêmem2 ∈ ¹₂Z, −j₂ ≤m2≤ j₂, j₂ +m₂ ∈ N, formée des tenseurs purs des éléments des bases canoniques de V^j¹ et V^j², qu’ils appellent lesétats couplés, de la manière suivante :

|j₁, m₁i ⊗ |j₂, m₂i=|j₁, m₁;j₂, m₂i.

69. Voir la proposition1.22, sachant queSO(3)etSU(2)sont connexes.

70. Voir la partie2.1.

Dans la décomposition de Clebsch-Gordan donnée par le théorème ci-dessus, ces vecteurs s’expriment donc comme combinaisons linéaires (à coefficients a priori complexes) des vecteurs de la base canonique

(|J, Mi)_M∈1

2Z,−J≤M≤J, J+M∈N

de V^J pour |j₁ −j₂| ≤ J ≤ j₁ +j₂, que les physiciens appellent les états découplés. Ils notent aussi |J, Mi =|(j₁, j₂)J, Mi pour préciser de quel produit tensoriel il s’agit. Dans les sommes ci-dessous, les indicesJ etM sont des demi-entiers tels quej₁+j₂+J ∈Net J +M ∈N. Nous avons donc une écriture comme combinaison linéaire

|j1, m1;j2, m2i=

j1+j2

J=|j1−j2| J

M=−J

h(j1, j2)J, M|j1, m1;j2, m2i |(j1, j2)J, Mi,

où les indices variablesJ etM de ces deux sommes sont des éléments de ¹₂Zvariant de 1 en 1 entre les deux bornes indiquées et où les coefficients h(j₁, j₂)J, M|j₁, m₁;j₂, m₂i ∈C sont appelés lescoefficients de Clebsch-Gordan. On considère aussi les symboles3-j définis par

j₁ j₂ j₃ m1 m2 m3

= (−1)^j¹^−j²^−m³

√2j₃+ 1 hj₁, m1;j2, m2|(j₁, j2)j3,−m₃i,

où les coefficentshj₁, m1;j2, m2|(j₁, j2)j3,−m₃isont les coefficients de la matrice de passage de la base des états découplés à la base des états couplés :

|(j1, j2)J, Mi=

m1=−j1

m2=−j2

hj1, m1;j2, m2|(j1, j2)j3,−m3i |j1, m1;j2, m2i, avec la même convention de sommation que ci-dessus.

Démonstration du théorème 2.12. Nous profitons de cette démonstration pour intro-duire un outil important pour étudier les représentations de groupes, la notion de caractère.

Si V est un espace vectoriel complexe de dimension finie, et si A ∈ GL(V), nous noteronstrA, et appelleronstracedeA, la trace de la matrice deAdans n’importe quelle base de V, ce qui ne dépend pas de la base, puisque tr(P XP⁻¹) = trX pour tous les X, P ∈GL_N(C).

Si G est un groupe de Lie matriciel et si (V, ρ) est une représentation de G, nous appellerons caractèrede (V, ρ)l’applicationχρ:G→Cdéfinie par

∀g∈G, χ_ρ(g) =tr(ρ(g)).

Remarquons que χρ est une application de classe C^∞, par composition de telles applica-tions. Notons que par la propriété ci-dessus de la trace, la valeur de χ_ρ(g) ne dépend que de la classe de conjugaison de g dansG: pour tous les g, h∈G, nous avons

χρ(hgh⁻¹) =χρ(g).

En particulier, si G= SU(2), comme tout élément deSU(2)est diagonalisable, ayant deux valeurs propres de module 1inverses l’une de l’autre, le caractère χρ est déterminé par la valeur de χ_ρ

e^it 0 0 e^−it

pour tout t∈R(modulo 2πZ). De même, si (V, ρ) et(V⁰, ρ⁰) sont deux représentations conjuguées de G, alors

χρ=χ_ρ⁰ .

Nous regroupons dans l’énoncé suivant les propriétés élémentaires des caractères.

Proposition 2.13. Soient(V, ρ),(V⁰, ρ⁰)deux représentations d’un groupe de Lie matriciel G.

(1) La dimension de la représentation ρ est égale à χ_ρ(e).

(2) Le caractère de la représentation somme directe (respectivement produit tensoriel) de ρ etρ⁰ est la somme (respectivement produit) des caractères de ρ et ρ⁰ :

χρ⊕ρ⁰ =χ_ρ+χ_ρ⁰ et χρ⊗ρ⁰ =χ_ρχ_ρ⁰ .

(3) Si Gest compact, deux représentations deGsont conjuguées si et et seulement si elles ont même caractère.

Démonstration. (1) Puisqueρ(e)est l’identité de V, ceci découle du fait que la trace de la matrice identité dansGL_N(C) est égale àN.

(2) La première affirmation découle du fait que la trace d’une matrice diagonale par blocs est la somme des traces de ses blocs.

Montrons la seconde affirmation. Si (e_i)1≤i≤M et (f_k)1≤k≤N sont des bases de V et V⁰, alors(ei⊗fk)1≤i≤M,1≤k≤N est une base deV ⊗V⁰. Soient(aⁱ_j)1≤i,j≤M et(b^k_`)1≤k,`≤N

les matrices de ρ(g) et ρ⁰(g), où g ∈ G, dans les bases (ei)1≤i≤M et (f_k)1≤k≤N. Alors le coefficient de e_j⊗f_` dans

ρ⊗ρ⁰(g)(ei⊗fk) = (ρ(g)(ei))⊗(ρ⁰(g)(fk)) = (a^j_iej)⊗(b^`_kf`) =a^j_ib^`_kej⊗f` . est a^j_i b^k_`. Donc en calculant la trace de ρ⊗ρ⁰ dans la base (ei⊗fk)1≤i≤M,1≤k≤N, nous avons

χρ⊗ρ⁰(g) =aⁱ_ib^k_k =χ_ρ(g)χ_ρ⁰(g).

(3) Nous admettrons cette affirmation, voir par exemple [Kna, §4.2]. L’idée est que la multiplicité mρ⁰(ρ) d’une représentation irrréductible donnée ρ, dans la décomposition d’une représentationρ⁰deGen somme directeρ⁰=L

ρm_ρ⁰(ρ)ρ, oùρparcours un ensemble de représentants des classes d’équivalences de représentations irréductibles deG, s’exprime par une formule explicite uniquement en fonction des caractères de ρ et de ρ⁰ (voir [KS, page 58]. Comme ces multiplicités déterminentρ⁰ à conjugaison près, le résultat en découle.

Calculons le caractère de la représentation irréductible(V^j,D^j)deSU(2)pourj∈ ¹₂ N. Pour tout t∈R, posons

χj(t) =χ_D^j

e^it 0 0 e^−it

de sorte que pour tout g ∈ SU(2), nous avons χ_Dj(g) = χ_j(arcsin^trg₂ ). Dans la base (z₁^j+mz₂^j−m)_m∈¹

2Z:−j≤m≤j, j+m∈N de Vj, la matrice D^j e^it 0

0 e^−it

est diagonale, de coefficients diagonaux(e^2imt)_m∈¹

2Z:−j≤m≤j, j+m∈N. Donc (dans les sommes ci-dessous, les indices sont des demi-entiers variant de1 en 1entre les deux bornes indiquées)

χj(t) =

m=−j

e^2imt.

Montrons que pour tous lesj1, j2 ∈ ¹₂ Nett∈R, nous avons

Ceci démontre que pour toutg∈SU(2), nous avons χ_D^j1(g)χ_D^j2(g) =

ont les mêmes caractères. Par la proposition 2.13(3), ces deux représentations sont donc conjuguées, ce qui démontre le théorème 2.12.

Pour démontrer la formule (40), nous pouvons par symétrie supposer quej₂ ≤j₁. Po-sonsz=e^2it, et supposons quez6= 1. Alors un argument élémentaire de série géométrique montre que

χ_j(t) = z^j+1−z^−j z−1 .

Donc, en posant m = j2 −k dans la première somme de la seconde ligne et m = k−j2

dans la seconde somme de la seconde ligne pour obtenir la troisième égalité, et en utilisant le fait quej₁+j₂−k≥0sij₂ ≤j₁ etk≤2j₂ pour obtenir la dernière égalité, nous avons

Ceci démontre la formule (40) si t /∈πZ. Par continuité, cette formule (40) est vraie pour

tout t∈R, ce qui démontre le résultat.

Application physique

Comme évoqué en préambule, le groupeSU(2)apparaît aussi en physique des particules par une symétrie appelée la symétrie d’isospin,⁷¹ à ne pas confondre avec la notion de spin de ces particules. Comme initialement remarqué par Heisenberg, certaines particules soumises aux interactions fortes présentent des propriétés semblables tout en ayant des charges électriques différentes. C’est le cas par exemple

71. La terminologie dérive de la terminologie “isotopic spin” (spin isotopique) introduite par E. Wigner en 1936, voir [Wig]

• du doublet de nucléons (le proton p de masse environ 938,27 MeV /c² et de charge +|e|= 1,602176565 10⁻¹⁹C, et le neutronnde masse environ939,56MeV /c²et de charge nulle),

• du triplet de pions (le pion π⁰ de masse environ134,97 MeV /c² et de charge nulle, et les pionsπ^± de masse environ 139,57MeV /c² et de charge±|e|), et

• du quadruplet de baryons Delta, tous de masse environ1232MeV /c², et de charges 2|e|,|e|,0−|e|pour ∆⁺⁺,∆⁺,∆⁰,∆⁻.

Les physiciens expliquent cela par le fait que l’hamiltonien de l’interaction forte admet une symétrie par le groupe SU(2), brisée par l’interaction électromagnétique, et que les particules sujettes à l’interaction forte peuvent être décrites par les vecteurs de base |jmi des divers espaces de représentations irréductibles de spin j de SU(2). Ils introduisent deux nombres quantiques, l’isospin total I si la représentation est (V^I,D^J) et l’isospin projection I3 (aussi noté Iz) si la particule corrrespond au vecteur de base |II₃i, c’est-à-dire si la fonction d’onde de la particule est un vecteur propre de valeur propre I₃ pour l’opérateur J₃.

Voici un tableau d’isospins :

famille particule I I3

nucl´eon proton p=uud ¹₂ +¹₂ nucl´eon neutronn=udd ¹₂ −¹₂

pion π⁻=d u 1 −1

pion π⁰ 1 0

pion π⁺=u d 1 1

baryon Delta ∆⁻ =ddd ³₂ −³₂ baryon Delta ∆⁰=udd ³₂ −¹₂ baryon Delta ∆⁺ =uud ³₂ ¹₂ baryon Delta ∆⁺⁺=uuu ³₂ ³₂

L’isospin projectionI3 est relié aux nombres de quarks composant les particules par la formule suivante :

I₃ = 1

2 (n_u−n_u)−(n_d−n_d)

où n_u,n_d,n_u etn_dsont respectivement le nombres de quarks haut, quarks bas, antiquark haut et antiquark bas composant la particule.

Les physiciens notent parfois directement par le spinj la représentation D^j de spinj deSU(2). Ainsi les décompositions de Clebsch-Gordan des produits tensoriels de

représen-tation de petits spins de SU(2) sont les suivantes :

On dit que la représentation ¹₂⊗1 contient les représentations de spin ¹₂ et ³₂. La matrice de passage de la base des états couplés

|1 de l’espace vectoriel de la représentation ¹₂⊗1à la base des états découplés

de l’espace vectoriel de la représentation ¹₂ ⊕ ³₂, fournie par les coefficients de Clebsch-Gordan, est (voir par exemple [Zub1, page 18])



Les processus de transformation virtuels d’un nucléon en un nucléon plus un pion et réciproquement se comprennent par le fait que la représentation ¹₂⊗1contient la représen-tation de spin ¹₂, et ainsi les phénomènes de cohésion des noyaux par échange de pions entre nucléons, dont est responsable l’interaction forte, se comprend par des passages continuels entre états couplés et états découplés.

3 Les groupes de Lorentz et de Poincaré

Dans ce chapitre (pour lequel nous renvoyons aux références [Nab, Del, Gou], nous noterons

e₀= (1,0,0,0), e₁= (0,1,0,0), e₂ = (0,0,1,0), e₃ = (0,0,0,1) la base canonique de R⁴ et (toujours avec la convention de sommation d’Einstein)

x= (x⁰, x¹, x², x³) =x^µeµ

un élément générique de R⁴, appelé par les physiciens un quadrivecteur⁷² (ou parfois 4-vecteur). Les indices en lettres grecquesµetν varient entre0et3. Les physiciens appellent x⁰lacoordonnée de tempsetx¹, x², x³ lescoordonnées d’espace. C’est en effet pour pouvoir manipuler des grandeurs ayant même dimensionalité qu’ils posent

x⁰ = c t

où t est le temps (en secondes) et c≈2.99792458 10⁸ ms⁻¹ la vitesse de la lumière dans le vide, et sorte que les quatre quantitésx⁰, x¹, x², x³ sont mesurées en mètres.

3.1 L’espace-temps de la relativité restreinte

Nous appelleronsespace-temps de Minkowski,⁷³ et noteronsR^1,3, l’espace vectorielR⁴ ou son espace affine associé, muni de la forme bilinéaire g:R⁴×R⁴ →R dont la matrice (g_µ,ν)0≤µ,ν≤3 dans la base canonique est lamatrice de Minkowski⁷⁴

I1,3=







−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







−1 0 0 I3

la seconde écriture étant une matrice par blocs 1-3 dans la décomposition R⁴ =R×R³, avec I₃ la matrice 3×3 identité. Ainsi g est symétrique (c’est-à-dire que sa matrice est symétrique), non dégénérée (c’est-à-dire que sa matrice est inversible), de signature (1,3) ou (−,+,+,+) (c’est-à-dire que les valeurs propres de sa matrice (qui sont réelles non nulles car cette matrice est diagonalisable surRet inversible) sont, à permutation près, de signes−,+,+,+). Cette forme bilinéaire est appelée laforme lorentzienne standard⁷⁵sur R⁴, ou letenseur métriquede l’espace-temps de Minkowski. Pour tous lesx, y∈R^1,3, nous noterons

x·y =g(x, y) (parfois appelé un scalaire de Lorentz). Ainsi

x·y=−x⁰y⁰+x¹y¹+x²y²+x³y³

72. terminologie sans doute introduite par Sommerfeld [Som]

73. Il est appelé espace pseudo-euclidien standard de signature(1,3)dans la partie1.1.

74. En fait, Minkowski considérait la matrice opposée, voir [Min], et il introduisit comme postulat que la quantitéc dt²−dx12−dx22−dx32 devait rester positive lors du mouvement dans l’espace-temps : la vitesse d’un objet ne peut dépasser la vitesse de la lumière.

75. D’autres références choisissent la signature(+,−,−,−), mais ce choix n’a pas grande importance.

et en particulier eµ·eν =gµ,ν.

La forme quadratiquex7→g(x, x) associée à gest

x·x=−(x⁰)²+ (x¹)²+ (x²)²+ (x³)².

Avec une terminologie introduite a priori par Minkowski (voir par exemple [Min]), un vecteurx∈R^1,3 est dit

(1) de type tempssi x·x <0,

(2) de type espacesi x·x >0, et nous noterons alors kxk_1,3 =√

x·x ,

(3) de type lumière(ou tout simplement lumière⁷⁶) six·x= 0.

Un vecteur x de R^1,3 de type lumière non nul ou de type temps est dit orienté vers le futursi sa coordonnée de tempsx⁰ est strictement positive, et orienté vers le passésinon.

Remarquons que les vecteurs orthogonaux à eux-même dans l’espace-temps de Minkowski (qui n’est pas un espace euclidien !) sont exactement les vecteurs lumières.

nappe

x⁰ vecteur de type temps

vecteur lumière 0

vecteur de type espace (orienté vers le futur)

(orienté vers le futur) du futur

du passé

Le cône de lumière⁷⁷ (vectoriel) de R^1,3 est l’ensemble des vecteurs de type lumière.

Privé du vecteur nul, il est réunion de la nappe du passé {x∈R^1,3 : x·x= 0, x⁰<0}

et de la nappe du futur

{x∈R^1,3 : x·x= 0, x⁰ >0}.

L’espace R^1,3 privé du cône de lumière possède exactement trois composantes connexes, celle des vecteurs de type espace, celle des vecteurs de type temps orientés vers le futur (à l’intérieur de la nappe du futur) et celle des vecteurs de type temps orientés vers le passé (à l’intérieur de la nappe du passé).

76. Les mathématiciens disent aussiisotropes.

77. Les mathématiciens disent aussicône isotrope.

Exercice E.3. (1) Montrer que tout multiple strictement positif d’un vecteur de type temps orienté vers le futur et toute somme de vecteurs de type temps orientés vers le futur est encore un vecteur de type temps orienté vers le futur. Montrer que tout multiple strictement positif d’un vecteur de type lumière orienté vers le futur est encore un vecteur de type lumière orienté vers le futur.

(2) Montrer que deux vecteurs non colinéaires x et y de type lumière (respectivement deux vecteurs x ety de type temps) sont dans la même nappe (respectivement à l’intérieur de la même nappe) si et seulement si x·y <0.

Un vecteur deR^1,3 est ditunitaire si |x·x|= 1. L’ensemble des vecteurs unitaires de R^1,3 est la réunion de l’hyperboloïde à une nappe

{x∈R^1,3 : x·x= 1}

(formé des vecteurs unitaires de type espace), et de l’hyperboloïde à deux nappes {x∈R^1,3 : x·x=−1}

(formé des vecteurs unitaires de type temps). Ces hyperboloïdes sont des sous-variétés de dimension 3 de R⁴, en utilisant le critère des fonctions implicites (proposition 1.4).

L’hyperboloïde à deux nappes possède deux composantes connexes. Celle constituée des vecteurs unitaires de type temps orientés vers le futur est appelée l’espace hyperboliqueréel de dimension 3, et notée

H³_R={x∈R^1,3 : x·x=−1, x⁰>0}.

Les traits gras du dessin ci-dessous représentent l’intersection des hyperboloïdes et du cône de lumière avec n’importe quel hyperplan vectoriel de R⁴ contenant l’axe des coordonnées de temps x⁰.

0 x⁰

H³_R

à une nappe hyperboloïde à deux nappeshyperboloïde

x¹, x², x³

Lecône de lumière(affine) d’un pointxde R^1,3 est l’ensemble des pointsy deR^1,3 tels que le vecteur ^−→xy=y−x appartienne au cône de lumière vectoriel deR^1,3.

x⁰

Deux vecteurs x, y ∈ R^1,3 sont dit orthogonaux si x·y = 0. Le lecteur prendra bien garde à ne pas confondre les notions d’orthogonalité dans l’espace euclidien R⁴ et celle dans l’espace-temps de Minkowski R^1,3. L’orthogonald’un sous-espace vectorielE deR^1,3 est le sous-espace vectoriel

E^⊥^1,3 ={x∈R^1,3 : ∀y∈E, x·y= 0}

formé des vecteurs de R^1,3 orthogonaux à tous les vecteurs deE.

Un sous-espace vectorielE deR^1,3 propre (c’est-à-dire différent de {0} etR^1,3) est dit (1) de type espace si la restriction de g à E est définie positive (donc de signature (+), (+,+) ou (+,+,+) si E est de dimension 1,2,3), ou de manière équivalente si tous ses vecteurs non nuls sont de type espace,

(2) de type lumière si la restriction degàEest dégénérée⁷⁸(donc de signature(0),(0,+) ou (0,+,+) si E est de dimension 1,2,3), ou de manière équivalente s’il est tangent au cône de lumière,⁷⁹

(3) de type tempssi la restriction de gàE est non dégénérée et non définie positive (donc de signature (−), (−,+) ou (−,+,+) si E est de dimension 1,2,3), ou de manière équivalente s’il contient au moins un vecteur de type temps.

En particulier, une droite vectorielle de R^1,3 est de type espace, lumière ou temps si et seulement si n’importe lequel de ses vecteurs directeurs est de type espace, lumière ou temps. Par exemple, l’intersection d’un plan de type temps avec le cône de lumière est la réunion de deux droites distinctes de type lumière.

78. c’est-à-dire s’il existe un vecteur non nul deEqui est orthogonal à tous les vecteurs deE

79. En effet, siv ∈E non nul est orthogonal à tous les éléments deE, alorsvest un vecteur lumière non nul, doncE n’est pas contenu dans l’hyperplan horizontalRe1+Re2+Re3, donc l’intersectionE∩ (Re1+Re2+Re3), qui est un sous-espace vectoriel de type espace, est un supplémentaire dans E de la droite vectorielleRv, qui peut être de dimension0,1ou2.

plan de type lumière x⁰

plan de type temps

plan de type espace

Proposition 3.1. SoitE un sous-espace vectoriel de R^1,3. (1) Nous avons dimE^⊥^1,3 = 4−dimE.

(2) L’espace vectoriel R^1,3 est somme directe de E et de E^⊥^1,3 si et seulement si E n’est pas de type lumière.

Démonstration. (1) L’application⁸⁰ de l’espace vectoriel R⁴ dans son espace vectoriel dual(R⁴)^∗ =L(R⁴;R) (dont les éléments sont les formes linéaires surR⁴) définie par

x7→ { b

x:y7→x·y}

est un isomorphisme linéaire, car elle est clairement linéaire, les espaces vectoriels de départ et d’arrivée ont même dimension, et elle est injective (car la forme lorentzienne g est non dégénérée). Donc si(f_i)_1≤i≤k est une base deE, alors les formes linéaires

f_i pour1≤i≤k sont linéairement indépendantes, donc l’intersection des hyperplans ker

f_i pour 1≤i≤k est de dimension égale à 4−k = 4−dimE. Or cette intersection est exactement E^⊥^1,3, par linéarité.

(2) La somme des dimensions de E et de E^⊥^1,3 est égale à la dimension de R^1,3 par l’asertion précédente, et E est de type lumière si et seulement si l’intersection E∩E^⊥^1,3

n’est pas réduite à {0}.

Exercice E.4. Montrer que tout vecteur non nul de R^1,3 orthogonal à un vecteur de type temps est un vecteur de type espace.

Par l’exercice précédent, l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel de type temps est un sous-espace vectoriel supplémentaire de type espace.

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