Comme il est mentionné précédemment, la couche limite dans le diffuseur d’une turbine bulbe est tridimensionnelle et turbulente. Pour certains points d’opération étudiés, le gradient de pression appliqué est suffisant pour faire décoller la couche limite et provoquer des zones de recirculation proches de la paroi. Les premières observations dans la présente étude du décol- lement, par l’intermédiaire des brins de laine, font apparaître un décollement tridimensionnel et instationnaire. Dans cette section, une revue de littérature spécifique à ce phénomène est proposée.
2.2.1 Décollement tridimensionnel stationnaire
Passage du cas bidimensionnel au cas tridimensionnel
Dans le cas bidimensionnel stationnaire, on peut définir de façon simple un point de décol- lement comme le point où le frottement pariétal s’annule et autour duquel le fluide quitte la paroi. Le fluide s’éjecte de la région de la paroi vers l’extérieur au voisinage de ce point de décollement. Une transposition simple de cette définition pour le décollement tridimensionnel n’est toutefois pas possible. La figure 2.3 montre les lignes de frottement pariétal, vues de dessus, pour un exemple type de décollement tridimensionnel. En extrapolant le raisonnement bidimensionnel, nous serions tentés de dire qu’il existe encore un point de décollement et qu’il est situé au point A. Or, la ligne noire, qui est appelée ligne de décollement ou de séparation, est une meilleure représentation de la limite de la zone décollée que le point A, mais le frot- tement n’est pas nul sur cette ligne. Le problème est que dans une réalité tridimensionnelle, le fluide peut aussi s’écouler dans la direction transversale, et engendrer un frottement dans cette direction. Le décollement tridimensionnel ne peut pas être défini par l’annulation du frottement pariétal. Dans le cas bidimensionnel, le frottement du fluide en paroi est considéré comme un scalaire, mais dans le cas tridimensionnel, le frottement pariétal doit être considéré comme un vecteur à deux composantes, une axiale et l’autre transversale :
τ = τxi + τzj (2.1)
À la paroi, l’ensemble des vecteurs de frottement forment un champ vectoriel et les trajectoires de ce champ sont appelées les lignes de frottement pariétal (lignes grises et noires sur la figure
2.3). Le concept de ligne de courant limite correspond quant à lui, à la position limite des lignes de courant quand la distance à la paroi tend vers zéro. Ce concept est fictif dans le sens où la vitesse à la paroi est nulle. Dans le cas d’un fluide newtonien, la direction limite du vecteur vitesse coïncide avec celle du vecteur de frottement pariétal (Lighthill,1963).
Figure 2.3 – Lignes de frottement pariétal, vues de dessus, pour un type de configuration tridimensionnelle du décollement.
Tel que suggéré par la ligne noire de la figure 2.3, le décollement tridimensionnel est défini par la condition nécessaire de la convergence des lignes de frottement pariétal (Lighthill,
1963). En considérant un tube de courant délimité par deux lignes de courant et deux lignes de frottement à la paroi, si les lignes de frottement convergent l’une vers l’autre, pour conserver le débit, les lignes de courant n’ont pas d’autre solution que de s’éloigner de la surface, comme représenté sur la figure 2.4. Plus récemment, en utilisant des méthodes de la dynamique non-
linéaire des systèmes et une approche lagrangienne,Surana et al.(2006) ont relié l’existence du décollement avec celle d’une variété (terme mathématique ; « manifold » en anglais) issue de la surface de non-glissement. Cette variété est une ligne ou une surface matérielle qui collecte et éjecte du fluide à partir du voisinage de la paroi.
Description par points critiques à la paroi
Comme la section précédente le suggère, l’investigation du décollement tridimensionnel est possible par l’analyse du champ de frottement pariétal. Dans ce cadre, la description par points critiques, ou analyse topologique, est un outil précieux. Initié par l’étude des systèmes d’équations différentielles de Poincaré, l’application en mécanique des fluides est due, entre autres, aux travaux conjoints théorique et expérimental de Legendre et Werlé (Werlé,1973;
Délery,2001). Il est toutefois important de noter que l’analyse par points critiques ne permet pas de prédire le décollement tridimensionnel turbulent, pour cela la résolution complète des équations de Navier-Stokes est nécessaire (Délery,2013). L’analyse topologique est un outil de description rationnelle des propriétés d’un champ vectoriel donné. La figure 2.5 présente un exemple de visualisation par bulle d’air d’un écoulement transversal sur une aile delta, ainsi que l’interprétation topologique qui en est faite. En certains points, les deux composantes du
Figure 2.5 – a) Visualisation par bulle d’air et b) interprétation topologique d’un écoulement transversal sur une aile delta. S représente les points col, F les points foyer (Délery,2001). frottement s’annulent. Ce point est alors nommé point singulier ou point critique (le point A sur la figure 2.3). Même si le décollement tridimensionnel ne se réduit pas aux points critiques, la présence d’un point critique est un bon indicateur de la présence de décollement. L’analyse topologique se concentre plus particulièrement sur les lignes de frottement pariétal autour des points critiques à la paroi. Les lignes de frottement pariétal peuvent être synthétisées en un nombre limité d’organisations. Pour déterminer l’organisation autour d’un point critique, les valeurs propres de la matrice jacobienne du frottement pariétal sont calculées par :
S1,2=
−p ±pp2− 4q
où p est la trace de cette matrice multipliée par -1 et q son déterminant. Les différents points critiques sont présentés à la figure 2.6 en fonction des valeurs de p et q.
Figure 2.6 – Classification des points critiques du champ de frottement pariétal dans le plan (p,q) avec S1 et S2 les valeurs propres.Les indicateurs P BI, Γ1 et K1 réfèrent au chapitre 3.
Un point critique de type nœud est un point par où passent une infinité de lignes de frottement pariétal. On l’appelle nœud impropre si toutes les lignes de frottement pariétal ont une tangente commune au point critique, à part une. Le terme nœud propre ou nœud isotrope est réservé pour le cas où toutes les lignes de frottement pariétal passent par le point critique avec des directions différentes. Le nœud est dit de décollement s’il a tendance à attirer les lignes, et d’attachement si les lignes de frottement pariétal s’éloignent du nœud.
Pour un point critique de type col, seulement deux lignes de frottement pariétal passent par le point critique ; les autres sont déviées et adoptent une forme hyperbolique. Les deux lignes de frottement passant par le point critique sont appelées séparatrices. Il y a forcément une ligne séparatrice vers le point critique et qui en sort.
Pour un point critique de type foyer, les lignes de frottement pariétal s’enroulent autour du point critique et sont attirées ou repoussées par ce point. Un centre correspond à un
enroulement avec des trajectoires fermées sous forme d’ellipses. Écoulement à proximité des points critiques
Une généralisation du concept de point critique est possible pour l’ensemble de l’écoulement et donc pour le champ de vitesse tridimensionnel. Dans ce cas, le point singulier est défini comme un point où les trois composantes de vitesse sont nulles, et la matrice jacobienne, cette fois 3x3, est le tenseur du gradient de vitesse. Il devient alors possible d’analyser aussi l’écoulement au voisinage des points singuliers à la paroi. Sans toutefois calculer la matrice jacobienne, on peut qualitativement apprécier l’écoulement autour des principaux points critiques, avec un raisonnement analogue à celui schématisé dans la figure 2.4 :
— La présence d’un foyer dans le champ de frottement pariétal implique une structure tourbillonnaire dans l’écoulement au voisinage de la paroi (figure 2.7). Si les lignes de frottement pariétal convergent en spirale vers un point (foyer attractif), le fluide n’a d’autre solution que de quitter la paroi (conservation de la masse) sous la forme d’un tourbillon, la convergence des lignes de frottement pariétal étant de plus en plus intense en s’approchant du centre. Le tourbillon tourne autour d’un axe qui émane du point critique à la paroi.
Figure 2.7 – Tourbillon dans l’écoulement issu d’un foyer du champ de frottement pariétal (Délery,2013).
— La présence d’un nœud attractif à la paroi implique une surface de décollement de révolution non tourbillonnaire (figure 2.8). L’éjection de l’écoulement est proportionnelle à la convergence des lignes de frottement pariétal. L’axe de révolution de la surface de décollement émane du point critique à la paroi.
Figure 2.8 – Surface de décollement dans l’écoulement issue d’un nœud du champ de frotte- ment pariétal (Délery,2013).
— La présence d’un col implique une surface séparatrice définie par deux lignes séparatrices ((S1) et (S2) figure 2.9). La première ligne séparatrice (S1) sépare les lignes de frottement
pariétal de l’amont et de l’aval. Les lignes de frottement convergent vers cette ligne, imposant une éjection du fluide le long de la surface. La seconde ligne de décollement (S2) sépare les lignes de frottement pariétal qui sont déviées d’un côté ou de l’autre du
point singulier S. À ce point, l’écoulement s’éloigne de la paroi et la séparatrice (S2) se
prolonge dans l’écoulement : le point col tridimensionnel revient en fait à l’addition d’un point col et d’un nœud dans deux plans différents.
Figure 2.9 – Surface de décollement définie par un col issu d’un point col (S) et un point nœud (N) équivalent à un point col tridimensionnel (Délery,2013).
Les précédentes explications et les figures 2.7, 2.8 et 2.9 sont pour des points critiques éjectant du fluide de la paroi (décollement). Un raisonnement analogue peut être fait pour l’attraction du fluide vers la paroi (attachement). Il suffit d’inverser le sens des trajectoires des exemples précédents.
Assemblage topologique
L’analyse de l’écoulement proche des points critiques fait ressortir que les nœuds et les foyers sont des terminaisons des lignes de frottement, ce sont des puits ou des sources de ligne de frottement. Les cols sont particuliers car ils ne représentent pas une terminaison des lignes de frottement. La présence d’un col entraîne la présence de foyers ou de nœuds. Le nombre de chaque type de points critiques à la paroi d’une surface n’est donc pas aléatoire et doit respecter la formule de Poincaré (Poincaré et al.,1916) :
X
N −XS = 2 − 2p (2.3)
avec N représentant le nombre de nœuds et de foyers, S le nombre de cols et le terme p représentant la complexité de la surface. Une surface est de complexité zéro si toute courbe fermée tracée sur la surface peut être réduite à un point en une déformation continue sans quitter la surface. Une surface sans trou est de complexité zéro (p = 0, une sphère par exemple), avec un trou, elle sera de complexité un (p = 1, un tore par exemple), avec deux trous, elle sera de complexité deux (p = 2) et ainsi de suite. Les règles suivantes sont les plus couramment utilisées dans l’étude du décollement tridimensionnel (Tobak et Peake,1982). Pour les lignes de frottement sur un corps tridimensionnel simple :
X
N −XS = 2 (2.4)
Pour les lignes de frottement sur un corps tridimensionnel simple (B) relié (sans espace) à un plan paroi infini (P ) :
X
N −XS
P +B = 0 (2.5)
Notons que la règle (2.5) correspond à l’ajout à la règle précédente (2.4) d’un nœud amont et un nœud aval à l’infini pour représenter l’origine et la terminaison des lignes de frottement. Pour les lignes de courant sur un plan coupant un corps tridimensionnel :
X N + 1 2 X N0 − X S + 1 2 X S0 = −1 (2.6)
Ici, N0 et S0 représentent respectivement les demi-nœuds, ou les foyers et les demi-cols à la
paroi.
Surana et al.(2006) ont proposé une vision différente en utilisant la théorie de la dynamique non-linéaire des systèmes. Ils définissent tout d’abord quatre propriétés pour les lignes et les surfaces de décollement stationnaire afin d’exclure tout cas non physique :
1. Unicité : il n’y a qu’une seule ligne ou une seule surface de décollement qui émerge d’un même ensemble de points à la paroi. Les points à la paroi environnants n’admettent pas de ligne ou de surface de décollement.
3. Lisse : la ligne ou la surface de décollement est continuellement dérivable.
4. Robuste : de petites perturbations du champ de vitesse déforment la ligne ou la surface de décollement mais ne la font pas disparaître.
Surana et al. (2006) démontrent ensuite qu’une ligne de frottement pariétal est une ligne de décollement si et seulement si elle satisfait un des quatre critères suivants :
— La ligne de frottement pariétal émane d’un col et finit à un foyer de détachement (figure 2.10a)
— La ligne de frottement pariétal émane d’un col et finit à un nœud de détachement (figure 2.10b)
— La ligne de frottement pariétal émane d’un col et spirale autour d’un cycle limite stable (figure 2.10c)
— La ligne de frottement pariétal est un cycle limite stable (figure 2.10d)
Figure 2.10 – Les quatre configurations de base des points critiques permettent une éjection du fluide de la paroi par une surface (Surana, Grunberg, et Haller, 2006). a) Col-foyer b) col-nœud c) col-cycle limite d) cycle limite stable
Types de décollement
Les quatre modèles précédents permettent de classer les zones de décollement en trois catégo- ries :
— Décollement avec ligne de décollement bornée aux deux extrémités (« closed separation » en anglais).
Dans ce cas, il existe une unique ligne de décollement en paroi vers laquelle les lignes de frottement convergent. Cette ligne de décollement est bornée à chaque extrémité par des points critiques. Les particules de fluide éjectées de la paroi s’accumulent le long d’une unique surface. Cette catégorie correspond aux modèles col-foyer et col-nœud
(figure 2.10a et b). Ce type de décollement est celui qui est le plus souvent rencontré dans la littérature. Un exemple de décollement avec un modèle col-foyer est illustré à la figure 2.11. Cette situation correspond à celle d’un bulbe de décollement. Les lignes de frottement pariétal sont déviées au col amont S1 alors que les lignes plus proches de
la séparatrice (S1) s’enroulent de chaque côté autour des deux foyers contre rotatif, F1
et F2. Les enroulements sont délimités par des séparatrices (S2) qui se rejoignent au col
aval S2. Les foyers alimentent une composante à contre-courant entre les cols S1 et S2.
Les lignes les plus éloignées sont déviées de l’axe axial par le col S1 et remises dans l’axe
en étant attirées par le col S2. Dans l’écoulement, cet assemblage se traduit par une
déviation des lignes de courant autour de la surface de décollement Σ1 bornée par deux
enroulements tourbillonnaires. Les particules de fluide s’agglutinent le long de la surface de décollement Σ1. Cet assemblage répond à la règle topologique : deux cols, deux foyers
et en considérant un nœud amont et un nœud aval à l’infini, la règle (2.4) est respectée. L’assemblage en fer à cheval présenté à la figure 2.12 est une situation de décollement
Figure 2.11 – Modélisation topologique pour un bulbe de décollement. a) Vue tridimension- nelle, col S2 masqué par la surface de décollement Σ1 b) lignes de frottement pariétal vues du
dessus (Délery,2013).
issu d’une combinaison col-nœud. Les lignes de frottement pariétal se séparent le long de la ligne séparatrice (S1) issue du col S1 et du nœud N2. Les lignes de courant sont
déviées vers le haut à proximité de la ligne séparatrice (S1) et s’enroulent pour alimenter
le col S1 et le nœud N2 à la paroi. Cet assemblage répond à la règle topologique : un
col, deux nœuds et en considérant un nœud aval à l’infini, la règle (2.4) est respectée. Il faut toutefois faire attention de ne pas compter les deux foyers, le nœud N1 et le col S2
qui appartiennent à l’écoulement et non à la paroi.
— Décollement n’émanant pas d’un col (« open separation » en anglais).
Pour ce type de décollement, il y a convergence des lignes de frottement, mais soit il n’existe pas de point critique, soit la ligne de décollement ne passe pas par les points critiques, comme dans le modèle cycle limite (figure 2.10d). En conséquence, aucun point
Figure 2.12 – a) Modélisation topologique du décollement en fer à cheval b) visualisation devant un cylindre (Délery,2013).
à frottement pariétal nul ne se trouve sur la ligne de décollement. Le cas le plus connu de ce type de décollement est le cas d’un ellipsoïde conique émoussé à un angle d’attaque relativement élevé. Les lignes de frottement pariétal de ce cas sont schématisées à la figure 2.13. Les lignes de frottement convergent et il y a éjection du fluide vers l’extérieur. Deux enroulements tourbillonnaires contre rotatifs sont présents dans l’écoulement en aval de cette zone de convergence des lignes de frottement pariétal. Bien qu’il y ait convergence des lignes de frottement pariétal, il est impossible de définir une ligne de décollement unique, c’est pourquoi ce type de décollement n’est pas inclus dans la théorie de Surana et al.(2006). Le segment en pointillé peut être choisi comme ligne de décollement attirant les autres lignes de frottement pariétal, mais un segment voisin aussi. Ce décollement ne comporte aucun point critique.
Figure 2.13 – Lignes de frottement pariétal sur un ellipsoïde conique émoussé à angle d’at- taque, décollement non borné (Surana et al.,2006).
Le modèle cycle limite (figure 2.10d) entre aussi dans cette catégorie car la ligne de décollement est un cycle limite qui ne passe pas par le point critique, en l’occurence, un centre ou un foyer. Il est différent des autres observations de décollement n’émanant pas d’un col car il admet une ligne et une surface de décollement unique. Il est à noter que cette configuration n’a actuellement jamais été rapportée par la communauté scientifique. — Décollement avec ligne de décollement bornée à une seule extrémité (« open-closed se-
paration » en anglais)
extrémité par un point critique, l’autre extrémité étant un cycle limite autour d’un foyer ou d’un centre. Ce cas correspond au modèle col-cycle limite (figure 2.10c). Une unique observation a été rapportée pour un cylindre à bout hémisphérique à un angle d’attaque de 30° (Hsieh et Wang,1996).
2.2.2 Décollement instationnaire
Jusqu’à présent, la surface et le profil de décollement ont été considérés stables dans le temps, mais dans la majorité des cas, la zone de décollement a un caractère instationnaire. La surface et le profil de décollement peuvent fluctuer, par exemple dans un écoulement turbulent. La position de la séparatrice ou du point de décollement peut elle aussi évoluer dans le temps, par exemple si la zone de décollement est dans un écoulement en accélération. Dans le cas stationnaire, les trajectoires des particules sont confondues avec les lignes de courant. Dans le cas de l’écoulement instationnaire, il n’est pas équivalent de suivre une particule au cours du temps (vision Lagrangienne) que de déterminer les lignes de courant dans l’espace à un mo- ment donné (vision Eulérienne). La trajectoire d’une particule ne suit pas la ligne de courant. Les premières études s’intéressant au décollement instationnaire, dans les années 1970, consi- déraient une paroi bidimensionnelle en mouvement longitudinal. Par changement de repère, ce cas peut être ramené à celui d’un décollement instationnaire mobile à la surface d’un solide fixe. Cette configuration a permis de mettre en évidence l’une des principales caractéristiques du décollement instationnaire : la non-coïncidence du décollement avec un frottement nul à la paroi ou la présence d’un écoulement de retour. La figure 2.14 schématise cette situation pour un cas où le décollement mobile remonte l’écoulement. Le frottement pariétal s’annule en amont de la position où l’éjection de fluide de la paroi se produit. On peut avoir un écoulement de retour sans éjection de fluide de la paroi, dans ce cas l’écoulement de retour avant le point de décollement reste attaché à la paroi. Le point de décollement est toujours dans la couche limite, mais il n’est plus fixé à la paroi.
En se basant sur les observations faites, Sears et Telionis (1975) proposent le critère de décollement MRS (pour Moore-Rott-Sears). Le point de décollement instationnaire (x0,y0), à
l’instant t, correspond à :
∂u(x0,y0,t)
∂y = 0 et u(x0,y0,t) = Us (2.7) où Us est la vitesse de la structure de décollement. Ce point correspond donc au point dans
la couche limite, pas nécessairement à la paroi, où le cisaillement s’annule et où la vitesse de