Dénitions et résultats généraux

Commençons par énoncer plusieurs dénitions et propriétés que nous utiliserons tout le temps par la suite.

Dénition 2.2.1 (Dénombrabilité). Un ensemble E est dit dénombrable s'il existe une bijection de E dans N.

Résultats 2.2.2. i) N, Z, Q sont dénombrables. ii) R n'est pas dénombrable, il est dit non dénombrable.

iii) (AC) Une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Dénition 2.2.3 (Partition). Soit A un ensemble. Une partition de A est une suite nie (Ai)1≤i≤n de parties non vides de A deux à deux disjointes telle que ∪n

i=1Ai = A. Chaque Ai s'appelle un morceau de A.

Dénition 2.2.4 (groupe). Un groupe est un ensemble G muni d'une loi ∗ : G × G → G de composition interne telle que :

i) ∗ est associative : pour tous x, y, z ∈ G, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

ii) ∗ possède un élément neutre : Il existe e ∈ G tel que pour tout x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x.

iii) Tout élément de G admet un inverse : Pour tout x ∈ G, il existe y ∈ G tel que x ∗ y = y ∗ x = e.

Dans la suite, si cela ne créer pas d'ambiguïtés, nous noterons ab plutôt que a ∗ b l'image du couple (a, b) par ∗ ; 1 l'élément neutre ; an _désignera a ∗ · · · ∗ a nfois (n ∈ N∗ et a0 = 1) ; a−1 l'inverse de a ; a−n= (an)−1. Dénition 2.2.5 (Indépendance entre éléments d'un groupe). On dit que deux éléments a et b d'un groupe G sont indépendants si les éléments a, b, a−1, b−1 de G sont tous distincts et si pour tout n ≥ 2 et pour toute liste (g1, . . . , gn) de G tous égaux à a, b, a−1 ou b−1, il est impossible d'avoir g1. . . gn= 1 si gigi+16= 1 pour i = 1, . . . , n − 1.

Une liste est une famille (g1, . . . , gn)dont l'ordre des éléments est impor- tant.

Dénition 2.2.6 (Mot). Une telle liste dénie précédemment (g1, . . . gn) d'éléments de G est appelé un mot. L'entier n est appelé la longueur du mot. Si n = 0, on dit que le mot est vide, nous le noterons 1 par commodité et s'il n'y a pas d'ambiguïté avec le neutre de G.

Dénition 2.2.7 (Mot réduit). Un mot est dit réduit s'il n'y a pas dans le mot deux éléments consécutifs qui soient inverses l'un de l'autre.

Dénition 2.2.8 (Groupe libre de rang 2). Si un groupe G est engendré par deux éléments a et b indépendants, on dit que G est librement engendré par a et b. Dans ce cas, tout élément de G sauf le neutre est représenté par un mot réduit. G est alors appelé un groupe libre de rang 2.

La loi de composition est celle qui consiste à écrire deux mots réduits côte à côte, puis à réduire le nouveau mot obtenu. Par exemple (aaab)(b−1_a−1_{b) =} aab.

Remarque 2.2.9. Si G est un groupe libre de rang 2, alors il ne peut pas être abélien(commutatif). En eet, si nous considérons le mot aba−1_b−1_{, alors par} dénition, aba−1_b−1 _{6= 1}_{. Or si G était abélien, nous aurions aba}−1_b−1 ₌ aa−1bb−1= 1. Ce qui est contradictoire.

Dénition 2.2.10 (Action de groupe). Soient E un ensemble et G un groupe. On dit que G opère sur E s'il existe une application · : G × E → E qui à (g, x) associe g · x qui vérie :

i) Pour tout x ∈ E, 1 · x = x.

ii) Pour tous g, g0_{∈ G} _{et x ∈ E, g · (g}0_{· x) = (gg}0_{) · x.} Une telle application · s'appelle une action de groupe.

Résultats 2.2.11. Tout groupe G opère sur lui-même par translation à gauche. En eet, soit ·: G × G → G qui à (g, x) associe g · x = gx (la loi du groupe), alors :

i) Pour tout x ∈ G, 1 · x = 1x = x.

ii) Pour tous g, g0_{, x ∈ G, g · (g}0_{· x) = g · (g}0_{x) = g(g}0_{x) = (gg}0_{)x = (gg}0_{) · x} car la loi d'un groupe est associative.

Dénition 2.2.12. On dit qu'un groupe G opère librement sur un ensemble X si pour tout g 6= 1 de G et pour tout x ∈ X, g · x 6= x.

Proposition 2.2.13. Tout groupe G opère librement lorsqu'il opère sur lui- même par translations à gauche.

Démonstration. Soit ·: G × G → G qui à (g, x) associe g · x = gx l'action de translations à gauche. Soient g ∈ G et x ∈ G. Alors,

gx = x ⇐⇒ gxx−1 = xx−1 ⇐⇒ g = 1

Dénition 2.2.14 (Orbite). Soit · une action du groupe G sur l'ensemble non vide X. Pour tout x ∈ X, l'orbite de x est le sous-ensemble suivant de X :

G · x = {g · x ; g ∈ G}

Résultats 2.2.15. La relation ∼ sur X dénie par x ∼ y ⇐⇒ y ∈ G · x est une relation d'équivalence.

Nous en déduisons que deux orbites sont toujours identiques ou disjointes. Plus précisément, pour tous x, y ∈ X,

- ou bien y ∈ G · x et dans ce cas G · x = G · y. - ou bien y /∈ G · x et dans ce cas G · x ∩ G · y = ∅.

Ainsi, les orbites forment une partition de X et, si X est ni, card(X) est la somme des nombres d'éléments des diérentes orbites.

Maintenant, précisions des dénitions de géométrie euclidienne que nous aurons également besoin dans ce chapitre. Les dénitions sont issues du livre de [LAD].

Dénition 2.2.16 (Espace préhilbertien réel). Soit E un R-espace vectoriel, on appelle produit scalaire euclidien sur E une application < ·, · > de E2_dans R telle que :

i) < ·, · > est bilinéaire.

ii) Pour tout (x, y) ∈ E2_{, < x, y >=< y, x >.} iii) Pour tout x 6= 0, < x, x > > 0.

On appelle espace préhilbertien réel un R-espace vectoriel munit d'un produit scalaire euclidien.

Dénition 2.2.17 (Espace euclidien). On appelle espace euclidien un espace préhilbertien réel de dimension nie non nulle.

Par exemple, pour tout n ≥ 1, Rn _{est un espace euclidien.}

Dénition 2.2.18 (Isométrie). Soient E et F deux espaces euclidiens et soient dE et dF les distances issues des produits scalaires respectivement de E et F . Une application f de E dans F est une isométrie si pour tout couple (x, y) de E2_{, d}

F(f (x), f (y)) = dE(x, y).

L'ensemble des isométries de E dans E est un groupe pour la loi de composition ◦ des applications, que l'on note Is(E). Nous noterons Is(3) au lieu de Is(R3₎_.

Dénition 2.2.19 (Automorphisme orthogonal). Soit E un espace euclidien. Soit f une application de E dans E. On dit que f est un automorphisme orthogonal si f est un automorphisme (application linéaire bijective de E dans E) et si f conserve le produit scalaire :

∀(x, y) ∈ E2 < f (x), f (y) >=< x, y >

Proposition Dénition 2.2.20 (Groupe orthogonal). On appelle groupe orthogonal d'un espace euclidien E l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E munit de la composition ◦. On le note O(E).

C'est un sous-groupe de (Is(E), ◦).

Proposition Dénition 2.2.21 (Groupe spécial-orthogonal). On appelle groupe spécial-orthogonal d'un espace euclidien E l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E de déterminant +1 muni de la composition ◦. On le note SO(E).

C'est un sous-groupe de (O(E), ◦). Nous noterons, pour n ≥ 1, SO(n) pour SO(Rn₎_{le groupe spécial-orthogonal de R}n_.

Dénition 2.2.22 (Angle). Soit E un espace euclidien. L'angle entre deux vecteurs non nuls x et y de E est le réel θ de R tel que cos(θ) = <x,y>

kxkkyk [2π]. Dénition 2.2.23 (Rotation). Dans le plan euclidien P orienté, la rotation RI,θ de centre I et d'angle θ (I ∈ P, θ ∈ R), est l'application qui à tout M ∈ P\{I} associe le points M0de P tel que k−IM k = k−→ −−→IM0ket (−IM ,−→ −−→IM0) = θ [2π]. RI,θ laisse xe I. RI,θ s'appelle une rotation plane.

Dans l'espace euclidien orienté R3_{, si θ est un réel et ∆ un axe (droite} orientée), la rotation R∆,θ d'axe ∆ et d'angle θ est l'application qui à tout point M de R3_\∆_{associe le point M}0 _{de R}3 _{transformé de M par la rotation} plane de centre H, où ∆ ∩ PM = {H}, et d'angle θ dans le plan PM passant par M et orthogonal ∆, orienté par sa normale ∆. R∆,θ laisse xe ∆. Résultats 2.2.24. La composée de rotations diérentes de l'identité d'axes concourants en un point I est une rotation diérente de l'identité d'axe passant par I.

La matrice M d'une rotation d'axe ∆ engendré par le premier vecteur de la base et d'angle θ est de la forme :

M =   1 0 0 0 cos(θ) − sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ)  

Enn terminées les dénitions et les propriétés. Attaquons alors le coeur du problème. Dans la suite, nous noterons B3 la boule unité fermée de R3 et S2 la sphère unité de R3.

Dans le document Quelques pathologies mathématiques et contre-exemples en analyse. (Page 31-34)

Dénitions et résultats généraux