Cylindres sous pression externe

Apr`es le cylindre sous compression axiale, on consid`ere le cas du cylindre sous pres- sion externe, qui induit ´egalement des contraintes de compression (non pas axiales mais circonf´erentielles) et pose donc des probl`emes d’instabilit´e. Contrairement aux applica- tions pr´ec´edentes, tr`es acad´emiques, on s’int´eresse ici particuli`erement au comportement d’enceintes sous-marines soumises `a la pression hydrostatique, c’est-`a-dire `a des tubes cy- lindriques sollicit´es `a la fois par une pression externe et une compression axiale (due `a l’effet de fond, mais qui sera n´eglig´ee en pratique), dans le cadre d’une collaboration avec l’IFRE- MER [P10 ,C14 ]. Devant les ´ecarts relev´es entre les pressions limites exp´erimentales et les valeurs critiques calcul´ees par ´el´ements finis de mani`ere lin´earis´ee en ´elasticit´e, l’objec- tif de ce travail est d’am´eliorer les pr´edictions effectu´ees en tenant compte `a la fois de la plasticit´e, des imperfections g´eom´etriques et des contraintes r´esiduelles. Ces trois aspects, individuellement les uns des autres, ont d´ej`a fait l’objet de bon nombre d’´etudes relatives au flambement. L’effet des contraintes r´esiduelles sur la charge critique d’un cylindre sous com- pression axiale a ´et´e par exemple mis en ´evidence par des essais de flambement sous poids propre (ce qui permet de lib´erer les d´eplacements longitudinaux `a l’extr´emit´e sup´erieure du cylindre et donc les contraintes axiales internes) [MAN, 2000] [LAN, 2000]. Concernant les cylindres sous pression externe, l’´etude de diff´erentes imperfections g´eom´etriques a montr´e que l’eccentricit´e ou les variations d’´epaisseur ont une influence secondaire par rapport `a l’ovalit´e [YEH, 1986] [YEH, 1988]. Peu de travaux `a ce jour consid`erent l’influence de ces diff´erents aspects combin´es dans une seule et mˆeme mod´elisation. On peut citer l’ouvrage de Kyriakides et Corona [KYR, 2007] sur le flambement de pipelines offshore sous divers chargements, en pr´esence d’imperfections incluant les contraintes r´esiduelles.

Cylindres Bords simplemen t Bords Bords appuy ´es encastr ´es libres Mo de axisym ´etrique sin uso ¨ıdal Mo de axisym ´etrique sin uso ¨ıd al Mo de axisym ´etrique ´ Epais P ost-bifurcation : lo calisation P ost-bifurcation : l´eg `ere lo calisation sin uso ¨ıdal amorti Mo d ´er ´emen t (R ´esultats Mo de axisym ´etrique (+ lo c ali sation ) (R ´esultats ´epais in term ´ediaires) Mo de secondaire ”patte d’ ´el ´ephan t” in term ´ediaires) Mo de Mo de Mo de non-axisym ´etrique Mince ”diaman t” ”diaman t” sin uso ¨ıdal amorti

Tableau 11 – Modes de bifurcation et comportements post-critiques d’un cylindre sous compression axiale en fonction de l’´epaisseur et des conditions aux limites

Compte tenu des non-lin´earit´es mat´erielles et g´eom´etriques interagissant dans ce probl`eme, une analyse par ´el´ements finis s’av`ere indispensable pour bien cerner le com- portement complet de telles structures, en plasticit´e, avec tous les d´efauts envisag´es, et pr´edire les points de bifurcation ´eventuels (en l’absence de d´efauts) et surtout les pressions limites menant `a la ruine. Dans ce cas de figure (pour un cylindre sous pression externe),

le choix de la th´eorie de plasticit´e n’influence pas les r´esultats : la th´eorie incr´ementale retenue est donc cens´ee donner des r´esultats en accord avec les valeurs exp´erimentales, d`es lors que les conditions exp´erimentales sont bien repr´esent´ees.

On consid`ere le cas particulier d’un tube cylindrique dont les dimensions et les pro- pri´et´es mat´erielles (aluminium) ont ´et´e mesur´ees et sont list´ees dans les tableaux 12 et 13, encastr´e aux extr´emit´es (pour tenir compte de la pr´esence des fonds) et soumis `a une pression externe uniforme.

Longueur l Rayon R Epaisseur h´ 970 mm 53.375 mm 6.75 mm

Tableau 12 – Param`etres g´eom´etriques du tube cylindrique sous pression externe

Module Coefficient Limite Module d’´ecrouissage d’Young E de Poisson ν ´elastique σ0 isotrope H

71000 M P a 0.32 365 M P a 625 M P a

Tableau 13 – Propri´et´es mat´erielles du tube cylindrique sous pression externe

Un tel tube a ´et´e test´e exp´erimentalement jusqu’`a la ruine par implosion, observ´ee `

a une pression de 366 bars. Les d´eformations locales ont ´et´e mesur´ees tout au long du chargement au moyen de jauges extensom´etriques axiales et circonf´erentielles plac´ees dans la partie centrale du tube, susceptible de se d´eplacer davantage. Les r´eponses des jauges sont toutes identiques et lin´eaires jusqu’`a environ 250 − 300 bars, puis elles divergent les unes des autres, caract´erisant ainsi l’ovalisation progressive de la section centrale, bien avant le flambement `a proprement parler. Cette ovalisation pr´ecoce est le signe d’une ovalit´e initiale de la section id´ealement circulaire, qui devra ˆetre prise en compte dans la mod´elisation num´erique.

Les contraintes r´esiduelles (axiales et circonf´erentielles) issues du proc´ed´e de fabrication ont ´et´e mesur´ees par une d´emarche exp´erimentale sp´ecifique. Celles-ci sont suppos´ees ne d´ependre que de la position dans l’´epaisseur. Les mesures sont donc effectu´ees sur un ´echantillon (anneau circulaire) par enl`evement de mati`ere successif. L’enl`evement d’une couche de mati`ere `a l’ext´erieur de l’anneau relˆache les contraintes r´esiduelles et conduit `a des d´eformations qui sont mesur´ees `a l’int´erieur de l’anneau au moyen de jauges axiales et circonf´erentielles. Dans l’hypoth`ese de contraintes planes et d’un cylindre qui reste toujours circulaire (sans ovalisation ni flexion), les contraintes dans le tube sont simplement d´eduites des d´eformations mesur´ees par la loi lin´eaire ´elastique de Hooke. Les contraintes initiales sont ainsi calcul´ees de mani`ere s´equentielle et liss´ees pour une implantation num´erique plus ais´ee (figure 52).

Les r´esultats sont conformes `a ceux de la litt´erature obtenus dans des conditions simi- laires. Les contraintes r´esiduelles dans les deux directions sont n´egatives (en compression) sur la partie interne et positives (en traction) sur la partie externe du cylindre. L’´evolution n’est pas lin´eaire dans l’´epaisseur, du fait en particulier d’une l´eg`ere diminution au niveau des rayons interne et externe, due au proc´ed´e d’extrusion des tubes. L’amplitude maxi- male des contraintes r´esiduelles est suffisamment large pour modifier significativement la charge limite admissible du cylindre. Les contraintes les plus nocives sont bien entendu les contraintes circonf´erentielles n´egatives, dans la moiti´e int´erieure du cylindre, qui s’ajoute- ront aux contraintes de compression dues au chargement ext´erieur.

(a) Contraintes r´esiduelles longitudinales (b) Contraintes r´esiduelles circonf´erentielles

Figure 52 – Variations des contraintes r´esiduelles dans l’´epaisseur du cylindre sous pres- sion externe

Plusieurs calculs sont effectu´es `a l’aide de notre programme, en ´elasticit´e et en plasticit´e, tout d’abord pour un cylindre parfait, puis en incluant les diff´erents d´efauts, `a savoir les imperfections g´eom´etriques (en faisant varier le degr´e d’ovalisation initial qui n’a pu ˆetre mesur´e avec pr´ecision) et les contraintes r´esiduelles. En ´elasticit´e, sans aucun d´efaut, un point de bifurcation super-critique est obtenu `a la pression critique Pc = 39.55 M P a. Le

comportement post-critique stable, `a charge croissante, corrobore la faible sensibilit´e aux imperfections de ce probl`eme en ´elasticit´e. Si la plasticit´e est prise en compte, elle ne se manifeste, pour un cylindre parfait, que lors du post-flambement, dans la partie centrale, l`a o`u les contraintes sont major´ees du fait des encastrements aux extr´emit´es qui jouent le rˆole de d´efauts intrins`eques (les contraintes ne sont pas parfaitement homog`enes durant le comportement pr´e-critique). La bifurcation est donc toujours ´elastique mais la r´eponse post-bifurqu´ee fait apparaˆıtre un point limite `a la pression Pmax= 39.9 M P a qui constitue

le chargement limite admissible et m`ene `a la ruine plastique du cylindre.

On consid`ere ensuite un cylindre de section elliptique dont l’ovalit´e est caract´eris´ee par la diff´erence de rayon des deux axes principaux de l’ellipse, qui varie arbitrairement de ∆R = 0 `a 0.4 mm, en respectant les tol´erances dimensionnelles des tubes extrud´es de la sorte. Lorsque le d´efaut consid´er´e est suffisamment important, le probl`eme est d´eg´en´er´e et ne fait plus apparaˆıtre la premi`ere singularit´e, `a savoir le point de bifurcation. Les r´esultats suivants concernent donc uniquement la plasticit´e, qui seule fait apparaˆıtre un comportement post-critique instable (au-del`a de la pression limite). La figure 53 montre l’´evolution de cette charge limite en fonction de la taille du d´efaut consid´er´e (la pression critique ´elastique de r´ef´erence et la valeur exp´erimentale ont ´et´e ajout´ees, `a des fins de comparaison). L’effet des contraintes r´esiduelles est enfin pris en compte. Dans le cas pr´esent, ces contraintes initiales agissent uniquement par l’augmentation de la taille de la zone plastique qu’elles induisent (elles n’ont en particulier aucune influence en ´elasticit´e), ce qui a pour effet de diminuer la pression limite admissible, d’autant plus que les d´efauts g´eom´etriques sont importants. Les r´esultats associ´es sont ´egalement trac´es dans la figure 53.

`

A titre de comparaison, la figure 54 confronte la d´eform´ee post-critique avanc´ee du cy- lindre sous pression externe calcul´ee en plasticit´e `a l’allure du tube test´e exp´erimentalement en fin d’essai. Si le mode de flambement en plasticit´e est classiquement le mˆeme qu’en ´elasticit´e, les d´eformations post-critiques sont plus localis´ees en plasticit´e : elles s’accen- tuent sp´ecialement dans la partie centrale du tube, en charge plastique, ce qui concorde avec les r´esultats exp´erimentaux.

Figure 53 – Pression externe limite d’un cylindre ´elastoplastique en fonction de l’ampli- tude des imperfections g´eom´etriques, avec ou sans contraintes r´esiduelles

(a) Solution num´erique en plasticit´e (b) Allure exp´erimentale

Figure 54 – D´eform´ees post-critiques du tube cylindrique sous pression externe

Par l’ensemble de ces calculs, on a montr´e que chacun de ces aspects (plasticit´e, d´efauts g´eom´etriques, contraintes r´esiduelles) pris s´epar´ement ne porte pas tellement pr´ejudice `a la structure dans le cas pr´esent. Compte tenu des param`etres g´eom´etriques et mat´eriels,

en l’absence de d´efauts, le comportement est ´elastique (et donc peu sensible aux imper- fections). Les contraintes r´esiduelles n’affectent pas non plus le comportement du cylindre en ´elasticit´e. L’´etude effectu´ee a permis inversement de montrer le rˆole combin´e significatif de la plasticit´e, des d´efauts de forme et des contraintes initiales dans la r´eponse du cy- lindre sous pression externe. La pr´esence de d´efauts (g´eom´etriques) et/ou de contraintes r´esiduelles donne lieu `a des concentrations de contraintes qui entraˆınent un comportement plastique tout au moins local (compte tenu des grandeurs mat´erielles et g´eom´etriques consid´er´ees) avec du coup une plus grande sensibilit´e aux imperfections et un effet av´er´e des contraintes r´esiduelles, plus important en pr´esence de d´efauts g´eom´etriques. Aucun de ces aspects ne peut donc ˆetre n´eglig´e dans la mod´elisation puisqu’avec les trois cu- mul´es, la pression limite n’exc`ede pas 75% de la charge critique ´elastique si on choisit la plus forte amplitude de d´efaut consid´er´ee dans cette ´etude, qui repr´esente seulement 0.75% du rayon moyen. Inversement, avec la plus faible amplitude de d´efaut consid´er´ee (∆R = 0.05 mm), in´evitable en pratique, la pression limite calcul´ee co¨ıncide parfaitement avec la valeur exp´erimentale relev´ee.

Cette ´etude est sur le point d’ˆetre poursuivie dans le cadre de tubes composites.

3.4 Bilan et perspectives

L’ensemble de mes travaux de recherche sur le flambement s’appuient sur le d´eveloppement de deux outils bien distincts : une m´ethode de r´esolution analytique et un programme ´el´ement fini. La d´emarche employ´ee pour r´esoudre analytiquement un probl`eme de flambement s’appuie sur la th´eorie 3D de la bifurcation plastique et exploite l’´equation de bifurcation ´ecrite sous forme variationnelle. Dans l’hypoth`ese de faibles d´eformations pr´e-critiques (pour pouvoir lin´eariser certains termes), on aboutit `a des expressions simples de la charge critique et du mode de flambement pour bon nombre d’applications qui reposent sur l’utilisation ´eventuelle de modules r´eduits adapt´es `a la formulation choisie (poutre, coque) et sur la d´efinition d’´etats de pr´e-contraintes issus du chargement ap- pliqu´e. L’obtention de formules explicites d´epend de l’expression de la loi de comporte- ment. Quelques hypoth`eses et d´eveloppements suppl´ementaires permettent d’identifier la pente de la branche bifurqu´ee et d’´evaluer ainsi la stabilit´e imm´ediate de la bifurcation. La g´en´eralit´e de la m´ethode et la souplesse de l’approche variationnelle utilis´ee ont permis de traiter avec succ`es des probl`emes de poutres, de plaques et de cylindres, avec diff´erentes cin´ematiques et sous diff´erentes sollicitations et conditions aux limites, mais aussi des cas de mat´eriaux composites. Si l’utilisation de la m´ethode peut s’´etendre encore `a de nouvelles g´eom´etries, les premi`eres perspectives concernent les deux applications composites. Le probl`eme de poutre mixte avec connexion partielle a ´et´e pour l’instant trait´e en ´elasticit´e. La g´en´eralisation en plasticit´e (que ce soit avec les th´eories de Bernoulli ou de Timoshenko) ne devrait pas poser de difficult´es suppl´ementaires. Le probl`eme du sandwich Napcora ´et´e pour l’instant trait´e avec la cin´ematique de Bernoulli pour les renforts. Il serait int´eressant de quantifier `a quel point la cin´ematique de Timoshenko permet de se rapprocher de la solution num´erique (et donc exp´erimentale) o`u les renforts sont repr´esent´es en 3D.

Dans le cas le plus simple d’une poutre ´elastoplastique de Bernoulli comprim´ee, un traitement particulier a permis de poursuivre le d´eveloppement asymptotique de la solution bifurqu´ee. Les calculs effectu´es ont mis en ´evidence un nouveau terme (`a l’ordre 9/5) vis- `

a-vis des travaux ant´erieurs, mais ont montr´e que la validit´e d’un tel d´eveloppement se limitait aux tr`es faibles d´eflexions, avant que la zone de d´echarge n’ait atteint les extr´emit´es de la poutre. Une description plus compl`ete du post-flambement (pas seulement imm´ediat) n´ecessite un outil de calcul num´erique qui puisse int´egrer dans sa formulation l’influence des non-lin´earit´es g´eom´etriques sur la r´eponse post-critique lointaine.

Un programme de calcul incr´emental en grandes transformations ´elastoplastiques a ´et´e r´ealis´e dans l’optique de s’int´eresser `a des g´eom´etries ou chargements plus complexes et d’analyser le probl`eme d’instabilit´e jusqu’`a un stade avanc´e de d´eformation. Il est bas´e sur une formulation ´el´ement fini coque, qui s’av`ere un bon compromis pour repr´esenter la plupart des structures (minces ou ´elanc´ees) sujettes au flambement. Le d´eveloppement d’un programme ”maison” a ´et´e motiv´e par la n´ecessit´e de disposer de m´ethodes num´eriques performantes pour faire face aux singularit´es les plus s´ev`eres. Une m´ethode de longueur d’arc mixte avec contrˆole en force ou d´eplacement a ´et´e implant´ee dans le programme, ainsi qu’une m´ethode de branchement pour la d´etermination syst´ematique de l’ensemble du squelette des courbes d’´equilibre sans utiliser de d´efauts arbitraires. La formulation num´erique propos´ee, bas´ee sur la th´eorie incr´ementale de la plasticit´e, permet de d´ecrire de nombreux r´esultats de r´ef´erence, mettant en jeu des modes de bifurcation primaires mais aussi secondaires (`a partir de points critiques sur les branches post-bifurqu´ees primaires) ainsi que des points limites et le ph´enom`ene de localisation ´eventuelle des d´eform´ees post- critiques.

Les m´ethodes num´eriques d´evelopp´ees pour ce programme ont ´et´e parall`element int´egr´ees aux autres modules de NLFEAS pour permettre de nouvelles applications. En particulier, un mod`ele ´el´ement fini membrane a ´et´e d´eduit de l’´el´ement coque, et de nou- velles lois de comportement hyper´elastiques ont ´et´e introduites, de fa¸con `a ´elargir notre champ d’application aux structures gonflables. Dans ce contexte, on a obtenu quelques r´esultats o`u l’instabilit´e g´eom´etrique se traduit par la formation de plis en pr´esence d’ef- fets de compression localis´ee.

Dans le prolongement de tous ces travaux, le d´emarrage d’une th`ese est pr´evu sur l’´etude analytique, num´erique et exp´erimentale du flambement global et local de structures sandwich simples (le cas du sandwich Napcor pourra ˆetre consid´er´e ult´erieurement) sous diff´erents types de chargement comme la compression plane ou la flexion. Outre la recherche de solutions analytiques et la d´etermination de r´esultats num´eriques 2D ou 3D avec les outils pr´ec´edemment d´evelopp´es, l’id´ee serait de mettre en œuvre un mod`ele num´erique de coque enrichi, int´egrant dans l’´epaisseur les modes de d´eformation dus aux instabilit´es locales.

Conclusions et perspectives

Les travaux pr´esent´es dans ce m´emoire sont vou´es majoritairement `a l’´etude de l’in- stabilit´e des structures m´ecaniques qui constitue la derni`ere et principale partie de ce rapport. Les mat´eriaux concern´es sont successivement les mat´eriaux m´etalliques et les mat´eriaux composites, ce qui m’a amen´e `a m’int´eresser respectivement `a la plasticit´e et `

a l’homog´en´eisation. Les deux premi`eres parties de ce rapport traitent donc des travaux men´es en plasticit´e et autour de l’homog´en´eisation, qui ont donn´e lieu `a des r´esultats origi- naux dans diff´erents cadres d’application (sur diff´erents mat´eriaux sp´ecifiques) et soul`event de nombreuses questions qui repr´esentent autant de perspectives. Ils permettent aussi et surtout, en tant qu’outils de mod´elisation, de s’int´eresser au flambement plastique (des structures m´etalliques) et au flambement de structures h´et´erog`enes.

Ces trois notions sont donc intimement li´ees, comme le prouvent les nombreux pro- grammes informatiques d´evelopp´es, combinant ces composantes les unes avec les autres. Parmi les programmes mis en œuvre au cours de ces ann´ees, on a d´ej`a mis l’accent sur les solveurs (programmes de calcul par ´el´ements finis ou routines d’int´egration) d´evelopp´es `

a des fins scientifiques. D’autres outils informatiques ont ´et´e r´ealis´es pour faciliter les pr´e- et post-traitements dans diff´erents types d’analyse. Il s’agit de programmes script de mod´elisation g´eom´etrique et de maillage cens´es remplacer l’utilisation fastidieuse d’une interface graphique lorsque la g´eom´etrie est trop complexe (et ´eventuellement ´evolutive au cours du calcul) ou lorsque plusieurs calculs s’enchaˆınent et doivent ˆetre post-trait´es de mani`ere group´ee. Ce type d’outil r´epond `a la demande des industriels en leur proposant une mod´elisation automatique, simple et efficace, qui demande uniquement des param`etres d’entr´ee et fournit des r´esultats directement exploitables.

Rappelons, en conclusion, les r´ealisations et r´esultats principaux correspondant `a cha- cune des trois composantes de mon activit´e de recherche. En plasticit´e, l’apport fonda- mental de mon travail consiste en la formulation g´en´erale de l’int´egration locale pour un mod`ele de plasticit´e standard avec un crit`ere de plasticit´e et un mod`ele d’´ecrouissage ar- bitraires. De cette formulation ont d´ecoul´e plusieurs programmes de calcul par ´el´ements finis qui se distinguent par le choix de la ”dimension” (3D, 2D) et donc du type d’´el´ement fini implant´e et par la prise en compte ou non des grandes transformations. Outre le flambement, ces programmes ont permis de mod´eliser de nombreux comportements et de mettre en ´evidence certains ph´enom`enes comme la striction ou le ph´enom`ene de rochet sur des exemples acad´emiques. Le travail le plus complet et le plus r´ecent dans ce domaine porte sur la mod´elisation des films polym`eres. L’apport principal dans ce contexte est la construction d’un mod`ele original qui fait intervenir plusieurs phases avec de la plas- ticit´e mais aussi de l’´elasticit´e non-lin´eaire. Si la difficult´e principale consiste encore en l’int´egration locale des ´equations de comportement du mod`ele, cette ´etude s’inscrit dans