Cylindre ”infini” : validation de la programmation

Le premier cas-test ´etudi´e ici est le cylindre ”infini” sous pression interne. Une solu-tion analytique existe pour ce probl`eme. Le cylindre est suppos´e suffisamment long pour

III.3. Pr´esentation des ´el´ements finis de membrane classiques et cas-tests 69

θ¹ θ²

2 3 4 5 6

7 8

1

1 2

3 4 5 6 7

8

Fig. III.3 – Param´etrage de l’´el´ement fini membrane Q8.

pouvoir ´etudier seulement une section de longueur L en appliquant des conditions aux limites de type bord appuy´e sur les extr´emit´es. Les conditions aux limites du probl`eme sont repr´esent´ees sur la figure III.4. Le reste de la g´eom´etrie est d´efini par l’´epaisseur initiale et le rayon non d´eform´e suppos´es uniformes, et not´esH etR0 respectivement. Les

L

R₀ H

Fig. III.4 – Conditions aux limites sur le cylindre infini.

r´esultats sont pr´esent´es pour un mat´eriau de type Mooney-Rivlin (II.104) de param`etres mat´eriels C1 et C2. On note α le rapportC1/C2.

Solution analytique

Sous une pressionple rayon du cylindre augmente et devientR, son ´epaisseur devient h, et il n’y pas d’´elongation selon l’axe du cylindre. On noteλl’extension circonf´erentielle d´efinie parR/R0.

La position xd’un point sur la membrane d´eform´ee ´ecrite sur une base orthonorm´ee e1,e2,e3 s’´ecrit :

x=ze₁+Rcosθe₂+Rsinθe₃ (III.55) o`ue₁ a pour direction l’axe du cylindre. z etθ constituent un param´etrage des points du plan moyen du cylindre. On peut alors calculer la base naturelle d´eform´ee :

g₁ =e₁ (III.56)

g2 =−Rsinθe2+Rcosθe3 (III.57) g3 = 1

Rg1∧g2 (III.58)

et ses d´eriv´ees :

g1,1 =0 (III.59)

g1,2 =0 (III.60)

g2,1 =0 (III.61)

g_2,2 =−Rg₃ (III.62)

La base naturelle initiale G1,G2,G3 et ses d´eriv´ees s’obtiennent en rempla¸cant dans les expressions pr´ec´edentes R par R0. La masse de la membrane ´etant faible, on n´eglige les effets d’inertie et on consid`ere le probl`eme quasi-statique. L’´equation d’´equilibre local des membranes (II.171) se r´esume alors `a :

hdivσ =−pg3 (III.63)

Compte tenu de la g´eom´etrie et des conditions aux limites, seule la contrainteσ²²est non nulle et est ind´ependante de θ etz:

σ =σ²²g2⊗g2 (III.64)

En utilisant l’´equation (II.66), les consid´erations pr´ec´edentes sur les contraintes (III.64) et les valeurs des bases naturelles et de leurs d´eriv´ees (III.59-III.62), on obtient l’expression suivante pour la divergence de σ:

divσ=−R σ²²g3 (III.65)

Finalement, l’´equilibre de la membrane s’´ecrit : σ²² = p

Rh (III.66)

Remarque. Commekg₂k=R, en exprimantσ sur une base orthonorm´ee dont les vecteurs ont les mˆemes directions que g1, g2 etg3, on peut retrouver le r´esultat classique : σ²² = pR/h [ALE71a].

III.3. Pr´esentation des ´el´ements finis de membrane classiques et cas-tests 71

On rappelle que, conform´ement `a l’´equation (II.63), on a :

σ^αβ =JS^αβ =S^αβ (III.67)

o`u S =S^ijGⁱ⊗G^j et J = 1 pour un mat´eriau incompressible. Dans cette ´equation, les variablesα etβ prennent seulement les valeurs 1 et 2. En revanche, S³³ 6=σ³³, le vecteur de baseg3 n’´etant pas convectif comme on l’a vu dans le chapitre g´en´eral sur la mise en

´equations des probl`emes de membranes. On calcule maintenant S<sup>22</sup> en utilisant la loi de comportement. `A partir des expressions suivantes des m´etriques :

[Gαβ] = et de la condition d’incompressibilit´eI3 = 1, les invariants s’´ecrivent sous la forme sui-vante :

La loi de comportement de Mooney-Rivlin nous donne alors l’expression deS²²: S²² = 2 ∂W o`u C22=R². On obtient finalement l’expression de p en fonction de l’´elongation λ:

p= 2C1H

Pour valider notre code, la solution analytique pr´ec´edente est compar´ee avec la so-lution ´el´ements finis, pour diff´erentes valeurs du param`etre α. La g´eom´etrie du cylindre initial est d´ecrite par les valeurs R0 = 1, H = 0,01 et le premier param`etre de la loi de comportement C1 est fix´e `a 1. Le cylindre est mod´elis´e en trois dimensions par des

´el´ements finis de type membrane. Pour cet exemple, nous avons utilis´e les ´el´ements Q₄ pr´esent´es pr´ec´edemment. La d´eformation ´etant nulle et le rayon de courbure infini selon la hauteur du cylindre, un seul ´el´ement est n´ecessaire dans la direction de la hauteur.

Dans la direction circonf´erentielle, il faut suffisamment d’´el´ements pour d´ecrire la section

circulaire du cylindre. Un mod`ele contenant 32 ´el´ements le long de la circonf´erence s’av`ere suffisant (en fait on mod´elise seulement un quart du cylindre en tirant partie des sym´etries du probl`eme et on consid`ere 8 ´el´ements sur le quart de la circonf´erence). Les d´etails du sch´ema de r´esolution adopt´e sont pr´esent´es dans le chapitre suivant.

Les courbes pr´esent´ees sur la figure III.5 fournissent la pression en fonction du rayon de la membrane pour trois valeurs du param`etre α d´ecrivant le mat´eriau. Les courbes pleines repr´esentent les solutions analytiques. Les carr´es sur ces courbes d´esignent les points d’´equilibre calcul´es avec le mod`ele ´el´ements finis. La pression augmente de fa¸con

Rayon

Pression

2 4 6 8 10

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

α=0.

α=0.1 α=0.25

Solution analytique Solution numérique

Fig. III.5 – Pression en fonction du rayon du cylindre pour diff´erentes valeurs de α.

monotone avec le rayon jusqu’`a atteindre une asymptote enp= 2C<sub>1</sub>H(1+α)/R<sub>0</sub>. L’erreur relative entre la pression calcul´ee et la pression analytique, pour un rayon donn´e, ne d´epasse pas 1% pour ce maillage de 8 ´el´ements, soit un angle entre les arˆetes des ´el´ements inf´erieur `aπ/32. Les ´el´ementsQ8 repr´esentent mieux les surfaces gauches et des r´esultats

´equivalents sont obtenus avec seulement 4 ´el´ements sur le quart de cercle. Cependant, le plan tangent `a la surface n’est toujours pas continu et il faut multiplier les ´el´ements d`es que le rayon de courbure est faible, pour avoir une bonne repr´esentation de la surface, et donc des d´eformations et contraintes. Toutefois cet exemple valide la formulation ´el´ements finis utilis´ee puisque celle-ci converge avec succ`es vers la solution analytique.

III.3.2.2 Cylindre encastr´e : mise en ´evidence des probl`emes dus aux