Cylindre encastr´e : mise en ´evidence des probl`emes dus

On ´etudie ici le cas d’un cylindre encastr´e `a chacune de ses extr´emit´es. La g´eom´etrie initiale est la mˆeme que dans le cas du cylindre infini. On ´etudie ce cas pour des dimensions initiales R0 = 1, H = 0,01 et L = 10. On ne dispose pas dans ce cas de solution analytique du probl`eme, mˆeme si ce cas a ´et´e d´ej`a trait´e dans la litt´erature et est connu

III.3. Pr´esentation des ´el´ements finis de membrane classiques et cas-tests 73

pour ˆetre fortement instable et difficile `a r´esoudre [KHA92], surtout si le mat´eriau est n´eo-hook´een (α = 0). C’est ce type de mat´eriau que nous consid´erons ici. Nous comparons ici nos r´esultats avec ceux propos´es par Verron et Marckmann [VER01a] et reproduits sur la figure III.6. Ces r´esultats ont ´et´e obtenus avec une mod´elisation axisym´etrique. Les

Rayon maximum

Fig. III.6 – Pression en fonction du rayon et d´eform´ees de la membrane dans le cas du cylindre encastr´e. Approche axisym´etrique [VER01a].

m´eridiens y sont approch´es `a l’aide d’une fonction spline. `A gauche de la figure III.6, est repr´esent´ee la courbe donnant la pression en fonction du rayon `a mi-hauteur du cylindre d´eform´e. Dans une premi`ere ´etape, la pression augmente avec ce rayon jusqu’`a atteindre un point critique o`u la pression atteint un maximum. Puis la pression diminue alors que le rayon continue d’augmenter. Comme nous le verrons par la suite, la branche descendante est consid´er´ee comme instable [KHA92].

Remarque. On peut se poser la question de l’int´erˆet de calculer les positions d’´equilibre sur la branche instable si on ne peut pas les obtenir dans la pratique. Pour une pression interne donn´ee, on obtient deux positions d’´equilibre : l’une sur la branche montante et l’autre sur la branche descendante. La position d’´equilibre sur la branche descendante correspond `a une ´energie de d´eformation de la membrane plus grande que celle de la branche montante et on peut donc penser que seule la premi`ere position d’´equilibre `a une existence physique.

Pourtant, dans les exp´eriences r´eelles de gonflage de membranes, on observe effectivement des chemins d’´equilibre stables pour lesquels la pression diminue alors que la d´eformation augmente ce qui correspond bien `a la branche descendante de la courbe [KYR91]. En fait, le gonflage se fait plutˆot par ouverture d’une vanne reliant la membrane `a un r´eservoir sous pression. `A la fermeture de la vanne, le gaz `a l’int´erieur de la membrane a une quantit´e d’´energie cin´etique nRT (n est le nombre de moles de gaz contenues dans la membrane, R la constante des gaz et T la temp´erature absolue), imposant, dans le cas

d’un gaz parfait et une fois la position d’´equilibre atteinte, une ´energie potentielle pV o`u V est le volume de gaz contenu par la membrane. Ce qui est r´eellement impos´e lorsqu’on gonfle ainsi une membrane, c’est donc la quantit´e d’´energie pV qu’elle renferme et non la pression. Ainsi, au-del`a du point critique, la pression diminue alors que pV continue d’augmenter. La branche descendante de la courbe pression en fonction du rayon est donc bien observ´ee physiquement avec des positions d’´equilibre qui sont stables. Son calcul est donc essentiel.

A droite de la figure III.6, une section du cylindre dans la direction de sa longueur` est repr´esent´ee pour diff´erentes positions d’´equilibre. Seule une moiti´e de la section est reproduite ici pour des raisons de sym´etrie. Au d´ebut du gonflage, le cylindre gonfle uniform´ement. Au-del`a du point limite, une ”bulle” se forme `a mi-hauteur alors que des boucles commencent `a se former au niveau des points d’attache. Entre la bulle et les boucles apparaˆıt une zone o`u le rayon de courbure s’inverse et la section d´eform´ee pr´esente un point d’inflexion. En poursuivant le gonflage, la bulle grandit en se propageant dans la direction axiale alors que les boucles sont de plus en plus prononc´ees. Nous avons tent´e de reproduire ces r´esultats `a l’aide de notre code de calcul ´el´ement finis en utilisant des

´el´ements Q4 (donc en trois dimensions). Le rayon de courbure dans la direction axiale au niveau des boucles devenant tr`es faible dans une zone r´eduite, il faut beaucoup d’´el´ements finis dans cette zone pour reproduire la courbure, alors qu’il suffit de tr`es peu d’´el´ements finis pour d´ecrire la g´eom´etrie de la configuration initiale. Dans ce contexte, des probl`emes num´eriques apparaissent au niveau de la zone o`u la courbure est invers´ee. La figure III.7 pr´esente un quart de la d´eform´ee du cylindre maill´e avec des ´el´ements Q4 pour trois configurations autour de celle o`u apparaˆıt le point d’inflexion. Dans le voisinage du point d’inflexion, un pli rentrant vers l’int´erieur du cylindre prend naissance. Ce pli se referme de plus en plus avec ce mod`ele, conduisant `a des r´esultats n’ayant pas de signification physique. En effet, la g´eom´etrie d’une membrane r´eelle soumise uniquement `a des efforts de pression r´epartis sur sa surface ne fait ´evidemment pas apparaˆıtre de point anguleux.

Pour mod´eliser correctement une zone o`u le rayon de courbure est faible, il faut donc beaucoup d’´el´ements classiques. On arrive toutefois `a converger vers la courbe de r´ef´erence avec une erreur inf´erieure `a 1% sur la pression, en utilisant un maillage beaucoup plus fin.

En ne maillant qu’un huiti`eme du cylindre, 8 ´el´ements sur la circonf´erence et 32 sur la demi-hauteur sont n´ecessaires, soit 891 degr´es de libert´e. Toutefois la g´eom´etrie au niveau des boucles est toujours mal repr´esent´ee, comme on peut le voir sur la figure III.8.

A priori, pour les probl`emes de membranes en grandes d´eformations, on ne connaˆıt pas l’allure de la d´eform´ee (donc pas les zones de forte courbure), c’est-`a-dire les zones qui doivent ˆetre finement maill´ees initialement. Pour ´eviter de raffiner compl`etement un maillage donn´e, ce qui aboutit `a des mod`eles trop riches, on utilise en g´en´eral des

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X Y

Z

Fig.III.7 –Un quart de la d´eform´ee du cylindre pour trois ´etapes de soufflage au voisinage du point d’inflexion.

Y Z

X

Fig. III.8 – Zoom sur une des boucles avec un maillage fin.

proc´edures de maillage adaptatif comme d´ecrit dans la partie sur la dynamique rapide du chapitre III. L’alternative que nous proposons ici est d’utiliser des ´el´ements finis diff´erents, rendant r´eguli`ere (ou sans point anguleux) la mod´elisation de la g´eom´etrie ; c’est-`a-dire des ´el´ements finis pour lesquels la direction normale au plan tangent du mod`ele de mem-brane est continue. On se propose donc de construire un ´el´ement capable de repr´esenter des g´eom´etries plus complexes et plus gauchies que celles que peuvent repr´esenter un Q4

ou unQ8. Pour cela, nous allons d´efinir dans la suite un nouvel ´el´ement fini de membrane tel que la g´eom´etrie maill´ee assure la continuit´e des tangentes `a la surface et ainsi la continuit´e du vecteur normal `a la surface.

III.4 D´ eveloppement d’un nouvel ´ el´ ement fini