Cumul de l’endommagement

Nous venons d’étudier les courbes donnant l’évolution de la densité de fissures en fonction du nombre de cycles pour des essais à plusieurs niveaux de chargement (chargement faible puis chargement fort et chargement fort puis chargement faible). Ces essais mettent en évidence l’influence de la chronologie des évènements sur l’évo- lution de l’endommagement. Dans chacun des cas nous avons fixé plusieurs valeurs du nombre de cycles_{N du premier niveau puis le nombre de cycles du second niveau} N2est conditionné par l’atteinte de l’état de saturation. Une manière d’illustrer le cu-

mul de l’endommagement consiste à tracer les courbes_Nf/Ns

f en fonction deNF/NFs.

Nf décrivantN1 lorsque le chargement faible est appliqué en premier et NF décri-

vant_N1 lorsque le chargement fort est appliqué en premier.N_fsetN_Fs représentent le

nombre de cycles nécessaires pour atteindre la saturation respectivement sous char- gement faible et fort.

Il apparait clairement (FIG. 3.74) que le cumul n’est pas linéaire . Toutefois, on constate que la non linéarité est plus importante dans le cas où le chargement fort est appliqué en premier. La connaissance du mode de cumul de l’endommagement est né- cessaire dans la mesure où nous souhaitons, dans la suite de cette étude donner une modélisation de l’endommagement. Il est important de comprendre que la façon dont se fait le cumul de l’endommagement impose une formulation de la loi d’évolution de l’endommagement dans où les variables représentatives de l’endommagement et du nombre de cyclesN ne sont pas séparables.

3.8 Comportement du stratifié et analyse de l’endommagement en fatigue 100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 0 0.1 0.2 0.3 N d (mm − 1) N1 = 500 N1 = 1000 N1 = 2000 100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 0.8 0.85 0.9 0.95 1 N E11 /E 0 11 N1= 500 N1= 1000 N1= 2000

FIGURE3.73 - Cas 3 : Évolution de la densité de fissures dans la couche à 90˚en fonction du nombre de cycles pour la séquence (0◦

3/90◦6/0◦3) avec R=0.1, f=1Hz soumise à 2 niveaux de charge-

ments (chargement fort suivi d’un chargement faible)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Nf/Nfs NF /N s F

Chargement faible puis Fort Chargement Fort puis faible

Cumul linéaire

FIGURE 3.74 - Cumul de l’endommagement lors d’essais de traction cyclique à deux niveaux

3.9 Conclusion

3.9

Conclusion

Les résultats des essais expérimentaux présentés dans ce chapitre ont pour ob- jectif de dégager des renseignements importants relatifs à l’endommagement par fis- suration dû aussi bien à des sollicitations quasi-statiques que cycliques. Il est im- portant de garder à l’esprit que ces résultats nous serviront de base pour l’écriture et l’identification d’un modèle d’endommagement. Ils nous ont permis de dégager les principales caractéristiques de la fissuration suivant les deux aspects qualitatif puis quantitatif.

Le premier point important dégagé de ces essais concerne la similitude que l’on peut observer entre l’endommagement créé par une chargement quasi-statique et celui créé par un chargement de fatigue.

D’abord, d’un point de vue géométrique, les fissures sont identiques dans les deux cas et se présentent sous la forme d’un réseau quasi-périodique de fissures qui se pro- pagent dans la direction des fibres qui leur servent de guide. La principale différence réside dans la propagation. En effet, si dans le cas d’un chargement quasi-statique il est clair que les fissures apparaissent et se propagent quasi- instantanément dans l’épaisseur et la largeur de l’éprouvette la propagation semble plus lente dans le cas de la fatigue. Ces observations nous ont conduit à nous intéresser à la multiplication des fissures plus qu’à leur propagation.

Concernant, l’évolution de l’endommagement, dans notre cas nous avons consi- déré l’évolution de la densité de fissures, là encore on constate de forte similitude dans le comportement. La différence résidant dans le fait que l’évolution de la densité de fissures est pilotée par l’augmentation de la contrainte (ou déformation) appliquée dans le cas d’un chargement quasi-statique alors qu’elle est pilotée par l’accumula- tion du nombre de cycles de sollicitations à contrainte (ou déformation) constante en fatigue.

Les essais nous permettent également d’identifier les paramètres qui ont une in- fluence sur l’évolution de la fissuration. D’abord il est clair que l’orientation des plis par rapport à la direction de chargement à une influence sur la cinétique de fissu- ration. Ensuite nous avons montré que la la densité de fissure est inversement pro- portionnelle à l’épaisseur du pli fissuré. La principale conséquence de cette propriété est que la densité de fissures n’est pas une propriété intrinsèque au matériau mais qu’elle dépend de la géométrie de la structure. Cette observation nous a conduit à introduire une autre variable alpha qui est le produit de la densité de fissures par l’épaisseur du pli fissuré et nous avons montré que cette variable permet de s’affran- chir des effets d’épaisseur. Enfin, dans le cas de chargement de fatigue, le niveau de contrainte maximal influence la cinétique de fissuration.

L’autre propriété importante mise en évidence est le phénomène de saturation de la densité de fissures c’est-à-dire que la densité de fissures croît de façon monotone jusqu’à atteindre une valeur critique à partir de laquelle plus aucune fissure ne peut être créée. Nous avons montré que cette valeur est une propriété qui dépend de la structure et du matériau mais qui est totalement indépendante du type de charge- ment.

En suivant l’évolution de la rigidité du stratifié parallèlement à celle de l’endom- magement nous avons pu déterminer l’influence de la fissuration sur les propriétés mécaniques des différents stratifiés testés. On montre que la chute de rigidité est proportionnelle à l’épaisseur du pli fissuré. Ensuite la comparaison des chutes de ri- gidité dues à un endommagement quasi-statique aux chutes de rigidité dues à un endommagement de fatigue, montre que pour une densité de fissures donnée et une stratification donnée, la chute de rigidité ne dépend pas de l’histoire du chargement. En d’autres termes, pour une stratification donnée, la chute de rigidité dépend de la densité de fissure et non de la façon dont ont été créées les fissures.

Les tableaux TAB. 3.18 TAB. 3.19 présentent une synthèse des caractéristiques

principales de l’endommagement qui ont été identifiés par les essais présentés précé- demment. séquence ep90◦ dstatique sat d f atigue sat 1− E11sat/E110 (mm) (mm−1) (mm−1) (%) (0◦₃/90◦₃/0◦₃) 0.9 0.477 0.6 2.12 (0◦₃/90◦₆/0◦₃) 1.8 0.300 0.307 3.84 (0◦ 3/90◦12/0◦3) 3.6 0.169 0.169 8.01

TABLE 3.18 - Synthèse des données caractéristiques obte-

nues par les essais sous sollicitations cycliques sur les sé- quences(0◦

3/90◦n=3,6,12/0◦3) avec ep90◦l’épaisseur de la couche fis- surée,dstatique_sat etdf atigue_sat les densités de fissures à saturation et Esat

11 /R011la chute de rigidité à saturation

séquence dint

sat dextsat 1− E11sat/E110

(mm−1) (mm−1) (%)

(0◦

3/ + 45◦3/− 45◦3)s 0.289 0.505 27.1

(0◦₃/ + 55◦₃/− 55◦

3)s 0.297 0.525 22.0

TABLE3.19 - Synthèse des données caractéristiques obtenues

par les essais sous sollicitations cycliques sur les séquences (0◦₃/+45◦₃/₋₄₅◦₃)set(03◦/+55◦3/−55◦3)savecdstatiquesat etd

f atigue

sat les

densités de fissures à saturation etEsat

11 /R011la chute de rigidité

à saturation

Nous avons vu que la fissuration, bien qu’elle ne soit pas catastrophique pour l’in- tégrité d’une structure peut être à l’origine d’autres types d’endommagement beau- coup plus néfastes tels que le délaminage ou les ruptures de fibres. Il est donc im- portant de prévoir son évolution. Dans la mesure où la fissuration ne conduit pas à la rupture, nous considèrerons que la durée de vie correspond au nombre de cycles nécessaires pour atteindre la saturation. On propose donc de construire des courbes que nous pouvons comparer à des courbes S-N qui représentent le nombre de cycles nécessaires pour atteindre l’état de saturation en fonction du niveau de contrainte

3.9 Conclusion

maximal (FIG. 3.75). Cependant, il est important de souligner que la réalisation de

ce type de courbe nécessite en grand nombre d’essais afin de disposer d’un nombre signficatif de points permettant de construire les courbes. Aussi, ces courbes ne sont données qu’à titre d’information.

102 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 30 40 50 60 70 N σM AX (0◦₃/90◦₃/0◦₃) (a) 102 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 30 40 50 60 70 N σM A X (0◦₃/90◦₆/0◦₃) (b) 102 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 30 40 50 60 70 N σM AX (0◦₃/90◦₁₂/0◦₃) (c)

FIGURE 3.75 - Courbes S-N représentant le nombre de cycles

à saturation en fonction de σM AX (exprimée en pourcen-

tage de la contrainte à rupture) appliquée pour les séquences (0◦₃/90◦_n=3,6,12/0◦₃)

L’ensemble des résultats présenté dans ce chapitre vont servir de base à l’écriture d’un modèle d’endommagement et à son identification qui sont développés dans les chapitre qui suivent.

Chapitre 4

Une modélisation du

comportement du matériau

unidirectionnel

Sommaire

4.1 De l’expérience à la loi de comportement . . . 122 4.2 Description du modèle de comportement retenu . . . 126

4.2.1 Analyse physique de la fissuration . . . 126 4.2.2 Cadre et hypothèses du modèle . . . 129 4.2.3 Choix des variables d’état et description des fissures . . . 131 4.2.4 Potentiel thermodynamique et Théorie des Invariants . . . 137 4.2.4.1 Loi de comportement et Théorie des Invariants . . . 137 4.2.4.2 Écriture du potentiel thermodynamique . . . 139 4.2.4.3 Explicitation des tenseurs de chute de rigidité . . . . 141 4.2.4.4 Explicitation de la fonctionf (α) . . . 142 4.2.4.5 Explicitation des fonctionsm et r . . . 142 4.2.4.6 Explicitation des sauts de déplacementsUN etUT . . 144 4.2.5 Écriture des lois d’état . . . 145 4.2.6 Lois complémentaires et évolution de l’endommagement . . . 146

4.3 Conclusion . . . 149

4.1

De l’expérience à la loi de comportement

La rédaction de la section suivante s’appuie sur l’ouvrage de THIONNETet MARTIN

[Thionnet et al., 2004].

Dès lors que l’on souhaite donner un sens physique à une loi de comportement, il est important que son écriture s’appuie sur des constatations expérimentales. Elle doit ensuite obéir à un certain nombre de concepts généraux.

L’objectif que l’on se fixe ici est de proposer un modèle de comportement prenant en compte la fissuration intra-laminaire. Généralement, la compréhension des méca- nismes de fissuration est abordée de deux manières distinctes :

– par la Mécanique de la Rupture, quand les fissures ont une taille de l’ordre de celle de la structure dans laquelle elles se développent. Dans ce cas, on s’in- téresse à leur amorçage et leur propagation ;

– par la Mécanique de l’Endommagement, quand les fissures ont une taille de l’ordre de l’élément de volume du matériau dans lequel elles se développent. On s’intéresse alors à l’influence de la fissuration sur les propriétés mécaniques du matériau.

Il est clair que le choix de la façon d’aborder le problème ne résulte pas d’une déci- sion arbitraire mais doit se faire en cohérence avec les constatations expérimentales. Ainsi, on se place dans le cadre de la Mécanique de l’Endommagement. Ce choix est motivé, d’une part du fait de la taille et du nombre de fissures constatées, d’autre part parce que l’on fait l’hypothèse que l’amorçage et la propagation complète des fissures sont quasi-simultanés. Dans ce cadre, on choisit de baser l’écriture de la loi de com- portement sur la Thermodynamique des Milieux Continus qui fournit un cadre pour le développement de modèles mécaniques. Ce choix impose de se placer à une échelle suffisamment grande de façon à ce qu’il soit possible de faire l’hypothèse de conti- nuité de la matière. Nous nous placerons dans ce cadre jusqu’à la fin de ce chapitre. La finalité de cette partie est de définir le cadre thermodynamique classiquement uti- lisé pour décrire les phénomènes physiques qui apparaissent au sein d’un matériau. Le second objectif est de présenter la démarche à suivre pour l’établissement d’une loi de comportement.

Afin de fixer clairement quel est le problème physique à résoudre, on décrit dans les lignes qui suivent ce qui constitue ce que l’on appelle un problème de calcul de structure. En fait, un problème de calcul de structure n’est finalement qu’un pro- blème de Mécanique des Milieux Continus posé sur toute ou partie d’une structure industrielle et pour lequel on a l’objectif de le résoudre par une technique numérique adéquate, ici celle des éléments finis. Ce que l’on rappelle dans les lignes qui suivent est donc tout à fait classique.

Le système matériel étudié_{S est en mouvement dans l’espace physique rapporté} au référentiel ζ = (R, H), R désignant le repère d’espace dont b = (x1, x2, x3) est

la base cartésienne orthonormée directe, O son origine et H le repère de temps. A chaque instantt, la position du point matériel M est notée x, son déplacement u, sa

4.1 De l’expérience à la loi de comportement

vitesse v et son accélérationγ. Le système coïncide au cours du temps avec le domaine D représenté dans l’espace par un ensemble continu (connexe par arc), fermé et borné de l’espace physique. SoitΩ⊂ D une partie de D formant un sous-système fermé de D. On note ∂Ω sa frontière de normale unitaire sortante n et Ω le sous ensemble complémentaire tels queΩ, ∂Ω et Ω forment une partition deD. Plus précisément, D coïncide avec_{D(t) = Ω(t) ∪ ∂Ω(t) ∪ Ω(t) à l’instant t et avec D}0= Ω(t0)∪ ∂Ω(t0)∪ Ω(t0)

à l’instantt0. Un élément de volume deΩ est noté dV et un élément d’aire de ∂Ω est

notédA.

L’évolution du domaine est étudiée entre les instantst0ettM AX.

On se place sous l’Hypothèse des Petites Perturbations (HPP). On estime que la masse volumique du milieu étudié est constante au cours du temps et qu’elle ne dépend éventuellement que des variables d’espace, indiquant ainsi que le milieu n’est pas homogène. On la noteρ(M ).

Les sollicitations appliquées au domaine peuvent être : des actions à distance agissant dansΩ(t) et des actions de contact agissant sur ∂Ω(t). Ainsi, en tout point M deΩ(t) le système est soumis à une densité volumique d’efforts notée ρ(M )f(M, t) (celle induite par la Pesanteur par exemple) et reçoit une densité volumique de cha- leurr(M, t). Á la frontière ∂Ω, un vecteur contrainte T = σ

≈· n schématise les actions

mécaniques deΩ sur Ω et un flux de chaleur q est échangé.

n

dA

Ω

Ω _∂Ω

dV

FIGURE4.1 - Représentation du système matériel_{S considéré.} Ω, ∂Ω et Ω forment une partition de_S.

Pour construire un cadre général à ses actions de contact, on découpe la frontière du domaine en trois parties distinctes∂ΩU,∂ΩF,∂ΩF U. On suppose que ce découpage

est indépendant du temps et qu’il forme une partition de ∂Ω(t), c’est-à-dire notam- ment que la réunion de ces différentes parties redonne la totalité de∂Ω(t) et que leur intersection deux à deux est égale à l’ensemble vide. Soit :

∂Ω(t) = ∂ΩU ∪ ∂ΩF ∪ ∂ΩF U      ∂ΩU∩ ∂ΩF = ∅ ∂ΩF ∩ ∂ΩF U = ∅ ∂ΩU∩ ∂ΩF U = ∅ (4.1)

Chaque partie peut se réduire à l’ensemble vide. En revanche, dès lors qu’une partie n’est pas réduite à l’ensemble vide, sa mesure est strictement positive. Sur la base de ce découpage, on définit les conditions aux limites suivantes :

– sur∂ΩF, on donne la densité surfacique d’efforts F(M, t) ;

– sur∂ΩU, on donne le déplacement U(M, t) en chaque point ;

– sur∂ΩF U, on donne un vecteur D(M, t) de renseignements locaux dont les com-

posantes sont celles, soit d’un déplacement, soit d’une densité surfacique d’ef- forts, par exemple :

D(M, t) =    F₁0(M, t) U₂0(M, t) F0 3(M, t)    (4.2)

Sans plus de précisions sur la forme que peuvent prendre l’ensemble des sollicita- tions, ces conditions aux limites sont celles d’un problème dit standard.

Le problème consiste à trouver, en tout point du domaine, les inconnues sui- vantes :

– le vecteur déplacement u(M, t) ; – le tenseur des contraintes σ

≈(M, t) ;

– les variables d’état internes (et leur variable associée) incluses dans la modéli- sation du comportement. Ici, ces variables sont :

. na scalaires notés(am(M, t))m=1,...,na dont les variables associées sont notées (Am_{(M, t))}

m=1,...,na;

. nb vecteurs notés (bn(M, t))n=1,...,nb dont les variables associées sont notées (Bn_{(M, t))}

m=1,...,nb; . nc 2-tenseurs notés(c

≈

p_{(M, t))}

p=1,...,ncdont les variables associées sont notées (Cp_{(M, t))}

m=1,...,na.

Les équations (EQPB) locales données en tout pointM (t) de Ω(t) sont : – l’équation d’équilibre (EQL) :

div σ

≈(M, t) + ρ(M )f(M, t) = ρ(M )

∂2_{u(M, t)}

∂t2 (4.3)

– le loi de comportement constituée par :

. les lois d’état (EQETAT) (ψ(M, t) étant une fonction d’état donnée) :                          ∂ψ(M, t) ∂ ε ≈ = 1 ρ(M )σ≈(M, t) ∂ψ(M, t) ∂am = A m_{(M, t)} ∂ψ(M, t) ∂bm = B n_{(M, t)} ∂ψ(M, t) ∂ c ≈ m = C p_{(M, t)} (4.4)

4.1 De l’expérience à la loi de comportement

. les lois d’évolutions (EQEVOL) :              dam_{(M, t)} dt = . . . dbn(M, t) dt = . . . dc ≈ p_{(M, t)} dt = . . . (4.5)

– les conditions aux limites (CL) :

                         sur∂ΩF : σ_≈(M ∈ ∂ΩF, t)× n(M ∈ ∂ΩF, t) sur∂ΩU : u(M ∈ ∂ΩU, t) = U(M, t) sur∂ΩF U :        {σ_≈(M ∈ ∂ΩF U, t)× n(M ∈ ∂ΩF U, t)}1 = F10(M, t) {u(M ∈ ∂ΩF U, t)}2 = U20(M, t) {σ_≈(M ∈ ∂ΩF U, t)× n(M ∈ ∂ΩF U, t)}3 = F30(M, t) (4.6)

Lorsque le comportement du milieu constituant le domaine est élastique linéaire (non-homogène, anisotrope), ces problèmes types sont qualifiés de problèmes stan- dards d’élasticité linéaire. Dans ce cas, des théorèmes portant sur l’existence et l’uni- cité des solutions sont connus, ces problèmes répondent au Théorème de Superposi- tion, en raison de la linéarité de tous les opérateurs qui entrent dans leur formulation et de ce fait, leurs solutions sont linéaires par rapport aux données.

Le problème à résoudre est maintenant clairement posé. Nous présentons dans la suite de ce chapitre les bases d’une approche thermodynamique qui nous permettront de déterminer les différentes variables du problème et d’aboutir à une formulation des différentes équations (EQL, EQETAT, EQEVOL) et des conditions aux limites (CL) évoquées jusque là.

4.2

Description du modèle de comportement retenu