2.2 Une autre approche de la croissance sélective
2.2.1 Croissance sur une surface perturbée
2.2.1.1 La croissance par dépôt aléatoire
Initialement les travaux dans le domaine de la croissance de matériaux se sont fondés sur l’ajout discret de particules à une interface de manière aléatoire (RD random deposition) [86, 87]. L’intérêt de ce type de modèle est sa simplicité. Des solutions exactes peuvent être déterminées à partir de probabilités. Cependant afin de pouvoir étudier analytiquement ce genre de modèle, la description du dépôt aléatoire avec une équation différentielle est préférable. Cela a été introduit sous la forme suivante [88] :
∂h(x, t)
∂t =F +η(x, t) (2.11)
où F est le flux moyen de particules arrivant à la surface et où η(x, t) va représenter les fluctuations aléatoires de la croissance. Par contre ce sont des modèles décorrélés, c’est-à-dire que chaque particule adhère indépendamment de l’état de la surface.
D’autres types de modèles ont vu le jour pour pallier à cela, utilisant le dépôt aléatoire et la relaxation de surface [89, 90]. Cependant ces modèles sont discrets et ils n’ont pas de solutions exactes. Il est donc nécessaire de revenir en mécanique des milieux continus et de construire des équations continues qui prennent en compte ces phénomènes. Des principes
de symétrie sont donc utilisés à cette fin.
2.2.1.2 Les principes de symétrie
Les principes de symétrie sont utilisés afin de simplifier l’expression générale d’une équation différentielle décrivant un phénomène physique. Ce qui va être intéressant pour nous est la description de l’évolution de la hauteur h(x, t) en fonction du temps. Une équation différentielle générale qui permet cela est de la forme :
∂h(x, t)
∂t =f(h, x, t), (2.12)
oùf(h, x, t) peut s’écrire comme la combinaison linéaire de fonctions dehet de ses dérivés :
f(h, x, t) =a0+a1h(x, t) +b1∂h
Cette expression peut se simplifier en utilisant les invariances ou symétries du problème. Il existe plusieurs principes de symétrie dans le cas d’une croissance. Nous allons énoncer ceux qui nous intéressent :
1. Invariance par translation du temps. L’équation décrivant la croissance ne doit pas dépendre du moment où on définit l’origine des temps, ce qui veut dire que l’équation est invariante avec la transformation t→t+δt. La fonction f ne dépend donc pas du temps. On peut noter que ∂h/∂(t+δt) = ∂h/∂t.
2. Invariance de translation le long de la direction de croissance, la modélisation de la croissance ne doit pas dépendre d’où nous fixonsh = 0 et doit rester invariante selon la translation h→h+δh. Cette translation élimine tout dépendance explicite enh. La fonction f est donc une combinaison linéaire des dérivées de h.
3. Invariance de translation dans la direction perpendiculaire à la direction de croissance, la modélisation ne doit pas dépendre de la valeur réelle de x, c’est-à-dire de la translation x→x+δx ce qui exclut de une dépendance explicite de f en x. Cette translation élimine tout dépendance explicite en x.
4. Invariance par symétrie d’inversion ou de rotation autour de la direction de croissance, cela élimine les ordres impairs de dérivée.
5. Invariance de h par rapport à l’interface, c’est-à-dire que les fluctuations sont similaires par rapport à la valeur moyenne de h. Cela exclue les termes du type h2,
∂h
∂x
2
, ∂h∂x4... Cette symétrie est valable dans le cas de problème à l’équilibre.
Ces règles de symétrie permettent de trouver la forme de la fonctionf qui permet de décrire le problème de l’équation 2.12. Ainsi Edwards et Wilkinson [91] ont montré qu’il était possible de décrire les fluctuations d’une interface à l’équilibre par l’équation :
∂h(x, t)
∂t =ρ∇2h+η(x, t), (2.13)
2.2. Une autre approche de la croissance sélective qui porte leur nom. Le coefficient ρ est appelé tension de surface et le terme η(x, t) est un terme de bruit. Cette équation a l’avantage d’être linéaire et présente des solutions exactes.
Pour plus de détails sur l’obtention des termes de l’équation décrivant la modification d’une interface, le chapitre 5 du livre de Barabasi et Stanley est très pertinent [88].
L’équation Edwards-Wilkinson (EW) a été la première équation continue utilisée qui a permis d’étudier la croissance d’interface. Cependant elle est limitée car elle ne permet pas de décrire certains phénomènes de croissance plus complexes. La première extension de l’équation EW a été proposée par Kardar, Parisi et Zhang (KPZ) [92]. Elle utilise à la fois les principes de symétrie comme l’équation EW et des principes physiques qui vont ajouter des termes non-linéaires à l’équation. Le principe de cette équation est fondée sur le dépôt balistique (BD pour balistic deposition) de particules sur une surface perturbée. L’idée est d’arriver au même résultat issus des modèles utilisant le dépôt aléatoire (RD pour random deposition) avec la relaxation de surface tout en utilisant une équation continue.
La différence entre le RD et le BD est que pour le premier, la particule arrive à la surface et relaxe alors que pour le second elle arrive et adhère directement. Dans l’équation KPZ, la croissance latérale a été inclue afin de prendre en compte ces effets de relaxation.
∂h
∂t =ρ∇2h+ α
2(∇h)2+η(x, t). (2.14) Le premier terme a toujours le rôle de terme de relaxation et le second terme va permettre de décrire la croissance latérale. On remarque que ce terme ne respecte pas la dernière symétrie et est la source de la croissance latérale. C’est un des modèles les plus répandus pour décrire la croissance de matériaux.
Dans le cadre de l’épitaxie sélective, nous avons développé une équation inspirée de ces travaux.
2.2.1.3 L’évolution de l’interface dans le cadre de l’épitaxie sélective
Nous nous plaçons dans un régime où les angles à l’interface sont faibles et où la variation de hauteur du profil est petite. Nous supposons qu’il n’y a pas de nucléation sur le masque. L’annexe A présente le développement qui permet d’obtenir l’équation finale.
Elle est donnée par la formule suivante :
∂h
On peut remarquer que certains termes de l’équation 2.15 rompent les principes de symétrie. Tout d’abord notre problème n’est pas symétrique par rapport àx. Ensuite nous ne décrivons pas un phénomène à l’équilibre. Les termes et leur influence sont explicités par la suite. Tous les résultats de simulation ont été obtenues grâce à l’utilisation de la plate-forme de modélisation Basilisk développée par l’Institut Jean le Rond ∂’Alembert [93]. C’est un logiciel open source de méthodes numériques utilisant les volumes finis.
Figure 2.5 – Schéma de principe de la croissance telle qu’elle est simulée.
Pour réaliser une simulation complète d’une croissance SAG, il faudrait utiliser une fenêtre de calcul complète comme celle présentée sur la figure 2.2. Dans une démarche de simplification de la modélisation, nous nous restreignons à utiliser la moitié d’un masque SAG (figure 2.5). En utilisant les symétries adéquates, il est possible de remonter à la fenêtre complète. La croissance SAG simulée est présentée sur la figure 2.5. Nous allons présenter par la suite l’influence de ces termes ainsi que celle de termes de surface morceaux par morceaux.
2.2.1.4 Des modèles complexes de modélisation SAG
Il existe des modélisations complexes de phénomènes de croissance [94, 95, 96]. Malheu-reusement ces modèles présentent un grand nombre de paramètres ajustables, ce qui les rend difficilement applicables dans le cadre de nos travaux. Il existe quand même deux modélisations qui traitent de la croissance sélective. Le modèle de Shioda et al.[72] permet de décrire le plan de blocage (111)B au niveau de la frontière entre le masque et le cristal.
Le second modèle intéressant est celui de Khenneret al.[97]. La modélisation permet de prendre en compte des phénomènes de croissance anisotropes. Les hypothèses initiales sont que les mécanismes majeurs de la croissance sont le flux en phase vapeur et la diffusion de surface. De plus trois paramètres de surface supplémentaires sont pris en compte : l’énergie de surface, la mobilité de l’interface2 et la diffusivité des atomes. L’inconvénient de ce modèle réside dans les différents paramètres ajustables où plus de quinze valeurs sont à déterminer afin de réaliser la modélisation. L’équation de base de leur modèle est donnée par la formule suivante :
où Vn est la vitesse normale à la surface. Les coefficients J, δ et D ont été choisis par les auteurs afin d’avoir une équation sans dimension. Les fonctions ˆM, ˆD et ˆγ sont
2. La mobilité de l’interface est définie comme le produit de la vitesse de déplacement de l’interface et du potentiel chimique.
2.2. Une autre approche de la croissance sélective respectivement la mobilité, la diffusivité qui prend une valeur différente sur le masque ou sur le cristal et l’énergie de surface. Le premier terme à droite de l’égalité va être le terme de flux issu de la phase vapeur. Le second terme va être caractéristique de la courbure et de l’état de surface. Enfin le dernier terme va être le terme responsable de la diffusion de surface dans la modélisation.
Figure 2.6 – Exemples de différents profils de croissance modélisables avec un modèle complexe. D’après Khenner et al.[97]
La figure 2.6 donne quelques exemples de profils issus de la modélisation de Khenner et al. On voit l’intérêt de ce modèle qui permet d’obtenir plusieurs types de croissance
anisotropes.