II. 3 ´ Etude ant´erieures de la fracturation sur des analogues de roche
I.1 Les crit`eres de similarit´e physique
I.1.2 Crit`eres de similarit´e pour le comportement non-´elastique . . . 71 I.2 Le nouveau mat´eriau analogue d´evelopp´e pour cette ´etude : CRACK1 73 I.2.1 Fabrication d’un ´echantillon de CRACK1 . . . 74 I.2.2 Les propri´et´es m´ecaniques de CRACK1 . . . 74 I.2.3 Rapport d’´echelle g´eom´etrique et dynamique entre l’objet naturel
et le mod`ele . . . 81 I.3 Technique de la mod´elisation . . . 82 I.3.1 Les dispositifs exp´erimentaux . . . 82 I.3.2 Les chemins de chargement appliqu´es au mod`ele . . . 87 I.3.3 Techniques d’observations et d’´etude de l’´echantillon fractur´e `a
la fin d’une exp´erience . . . 88 I.4 La r´eduction de la friction entre le dispositif et l’´echantillon . . . 89 I.4.1 Tests num´eriques . . . 89 I.4.2 Les m´ethodes de r´eduction de la friction . . . 91
I.1
Les crit`eres de similarit´e physique
Nous avons vu que la cr´eation d’un mod`ele physique afin d’´etudier la fracturation des roches, ne se r´eduit pas `a la fabrication d’un mod`ele au comportement globalement cassant (§ II.3). Le comportement m´ecanique de la roche doit ˆetre reproduit `a l’´echelle r´eduite. Pour assurer l’analogie il faut satisfaire les crit`eres de similarit´e physique (Hubbert, 1937; Ramberg, 1967; Shemenda, 1994). Il s’agit d’´equations qui relient les param`etres de l’ob- jet naturel `a ceux de son mod`ele. Il existe deux fa¸cons, en principe ´equivalentes, de d´e- duire les crit`eres de similarit´es : ils peuvent ˆetre d´eduits des ´equations d´ecrivant le ph´e- nom`ene en question (si ces ´equations sont connues) ou on peut utiliser le Pi-th´eorˆeme (π-th´eor`eme)(Buckinkgham, 1914) en d´efinissant d’une fa¸con ou d’une autre les param`etres qui contrˆolent le ph´enom`ene ´etudi´e. Le danger existe, avec la deuxi`eme technique, de s´e- lectionner des param`etres superflus qui pourraient ˆetre regroup´es en un seul. Un tel danger peut-ˆetre ´ecart´e en appliquant une proc´edure standard de transformation des ´equations en des formes non-dimensionnelles. Malheureusement, en g´en´eral, toutes les ´equations d´ecri- vant un ph´enom`ene ne sont pas bien contraintes et l’unique mani`ere d’obtenir les crit`eres de similarit´es est de combiner les deux approches.
Le comportement m´ecanique d’une roche soumise `a des sollicitations compressives, lors des essais m´ecaniques se d´ecompose en deux phases principales en fonction de la d´eforma- tion/pression impos´ee (§ II.2.2). La premi`ere phase correspond `a la d´eformation r´eversible ou ´elastique. La deuxi`eme phase, d’endommagement du mat´eriau, est domin´ee par des pro- cessus non-´elastiques, conduisant `a la rupture. Tous les param`etres physiques qui contrˆolent le comportement des roches dans ces diff´erentes phases doivent ˆetre identifi´es et int´egr´es dans nos crit`eres de similarit´es pour assurer l’analogie.
Dans ce travail, nous consid´erons la rupture d’une roche anhydre, sans pr´esence de fluide intersticiel, et nous n´egligeons l’influence de la temp´erature.
I.1.1
Crit`eres de similarit´e pour le comportement ´elastique
Pour une d´eformation faible, la relation entre le d´eplacement et la contrainte uniaxiale impos´es `a la roche est typiquement lin´eaire et est repr´esent´e par une droite dans le rep`ere contrainte-d´eformation. Si `a partir d’un point de cette droite on d´echarge compl`etement l’´echantillon, il retrouvera sa forme initiale. Le comportement d’une roche avant endomma- gement est donc ´elastique.
Le comportement ´elastique d’un mat´eriau isotrope est contrˆol´e par deux param`etres intrin- s`eques, son coefficient de Poisson ν et son module d’Young E. La relation lin´eaire entre la contrainte et la d´eformation qui d´ecrit le comportement ´elastique des mat´eriaux isotrope, en l’absence de contraintes r´esiduelles, est la loi de Hooke qui s’´ecrit :
εij = 1 + ν E σij −
ν
Eσkkδij (I.1)
et l’´equation d’´equilibre pour les processus quasi-statiques s’´ecrit :
ρFj+ ∂σij/∂xi = 0 (I.2)
o`u εij est le tenseur des d´eformations, σij est le tenseur des contraintes, δij est le delta de Kronecker (1868), xi sont les coordonn´ees cart´esiennes i = x, y, z et Fj sont des compo-
santes de force de volume. Dans notre cas, seule la composante Fz = g est non nulle. Les ´equations (I.1) et (I.2) montrent qu’il y a quatre param`etres qui contrˆolent la d´eforma- tion ´elastique : E, ν, ρg et H o`u H est une ´echelle spatiale (´echelle de xi). A partir de ces param`etres on peut d´eduire les crit`eres de similarit´es pour le comportement ´elastique en utilisant le π-th´eor`eme :
Si n param`etres d´efinissent un ph´enom`ene avec m param`etres, m ∈ n, ayant des dimensions ind´ependantes, alors il existe n-m crit`eres de simi- larit´es. Les param`etres sans dimension doivent avoir les mˆemes valeurs dans la nature et le mod`ele.
Dans notre cas les n param`etres sont ceux identifi´es ci-dessus, donc n = 4 et m = 2 car les dimensions de E et ν peuvent ˆetre exprim´ees `a partir des dimensions de deux param`etres restant [E]= [ρgH] et [ν]=[H/H]. Ces deux ´equations donnent les deux crit`eres de similarit´es :
✞ ✝ ☎ ✆ E /ρgH = const (I.3) et ✄ ✂ ¡ ✁ ν = const (I.4)
Ces crit`eres sont sans dimensions et doivent donc avoir les mˆemes valeurs pour l’objet naturel et le mod`ele. On peut ´egalement les ´ecrire de la fa¸con suivante :
Eo ρogoHo =
Em ρmgmHm, ν
o = νm
o`u exposants ”o”et ”m” d´esignent respectivement les param`etres caract´erisant l’objet original (nature) et le mod`ele. Nous pouvons remarquer que si nous posons H = z, z ´etant la profondeur, le d´enominateur de la partie gauche de l’´equation I.3 n’est autre que l’expression de la pression lithostatique en fonction de la profondeur. Donc l’´equation I.3 peut aussi s’´ecrire :
E/P = const (I.5)
I.1.2
Crit`eres de similarit´e pour le comportement non-´elastique
Avec la d´eformation croissante la courbe contrainte-d´eformation axiales perd sa lin´earit´e et s’infl´echit. Un d´echargement de l’´echantillon se traduit alors par une forte hysteresis, signe du d´eveloppement d’une d´eformation in´elastique. Cette d´eformation commence lorsque les contraintes atteignent le seuil ou la surface de fluage. L’´equation de cette surface dans l’espace des contraintes d´epend de la description constitutive adopt´ee. Par exemple pour le crit`ere de Coulomb cette ´equation est
−σ1+ σ3· Nµ+ 2C ·pNµ = 0 (I.6) o`u
Nµ= −(pµ
2+ 1 + µ) −pµ2+ 1 + µ
Elle contient deux autres param`etres, la coh´esion interne du mat´eriau C et µ le coefficient de friction interne, µ = tanφ avec φ l’angle de friction interne, qui donnent les crit`eres suivants : C/ρgH = const et µ = const.
Selon l’´equation I.6, on peut ´ecrire
σc = 2C ·pNµ σt= −2C
pNµ
et o`u au lieu de iC et µ on peut utiliser σc et σt. Ceci conduira aux crit`eres suivants
✞ ✝ ☎ ✆ σt/ρgH = const (I.7) pour la traction et ✞ ✝ ☎ ✆ σc/ρgH = const (I.8) pour la compression et ✞ ✝ ☎ ✆ φ = const (I.9)
La propagation des fissures de Griffith
Quelle que soit la valeur de la pression et l’´echelle de la rupture, sa formation n´ecessite la propagation de fronts de rupture et la cr´eation de nouvelles surfaces (l`evres internes des fractures).
Les param`etres qui d´efinissent la capacit´e du mat´eriau fragile `a propager la rupture sont le facteur d’intensit´e des contraintes d´enomm´e KI (pour le mode I). La propagation est possible lorsque KI atteint une valeur critique lorsque KIc. L’analyse dimensionnelle de KI donne : [K] = F L−2L1/2 = [E][H]1/2. Ce param`etre est dimensionn´e par le crit`ere suivant (Shemenda, 1994).
✞ ✝
☎ ✆
KIc/E(hs)1/2 = const (I.10)
o`u hs est l’´echelle spatiale, l’´epaisseur d’une couche subissant la fracturation, par exemple.
Ainsi, la liste compl`ete des crit`eres de similarit´e `a respecter pour assurer la similarit´e physique entre l’objet naturel et le mod`ele, lors de la mod´elisation est la suivante.
E/ρgH = const (1) ν = const (2) σt/ρgH = const (3) σc/ρgH = const (4) φ = const (5) KIc/E(hs)1/2 = const (6)
Il nous reste maintenant `a trouver le mat´eriau dont les propri´et´es m´ecaniques satisfont les crit`eres de similarit´e en prenant comme objet naturel une roche s´edimentaire de type calcaire.