Crit` eres de fatigue multiaxiaux

Dans le document Contribution à l'étude en fatigue de structures en aluminium renforcées par patchs composites (Page 112-136)

Essais de fatigue uniaxiaux sur des

2.5 Crit` eres de fatigue multiaxiaux

2.5.1 Diff´erents concepts

De nombreuses parties de structures ou de composants a´eronautiques sont soumises `

Fig. 2.4.7 – D´emarche du calcul d’optimisation des param`etres de calage des lois d’endommagement de Grover, Manson et Freudenthal-Heller.

de leur chargement. Les outils appropri´es pour l’analyse en fatigue de ces zones sont les crit`eres de fatigue multiaxiaux.

Un crit`ere de fatigue est en fait un outil ou moyen de situer tout cycle multiaxial de contraintes par rapport `a la limite de fatigue `a N cycles du mat´eriau et aussi de d´eterminer le cycle uniaxial ´equivalent `a un cycle multiaxial en termes de dur´ee de vie. Il permet donc de v´erifier si la limite d’endurance ou la limite de fatigue `a N cycles est atteinte pour une succession d’´etats de contraintes d´efinissant un cycle multiaxial. Il met en relation (voir Equation 2.2.1) les composantes du cycle mul-tiaxial de contraintes σij(t) et des limites de fatigue suivant plusieurs modes de solli-citations simples (traction altern´ee sym´etrique, flexion altern´ee sym´etrique, traction r´ep´et´ee, torsion altern´ee sym´etrique...). Un crit`ere de fatigue peut ˆetre repr´esent´e sous la forme d’une fonction de fatigue E. A la limite d’endurance, il peut ˆetre ´ecrit sous la forme pr´esent´ee par l’´equation 2.5.1.

Fig. 2.4.8 – Valeurs du crit`ere d’optimisation obtenues pour les param`etres α1 et α2 de la loi de Grover.

ED([σ(t)]), σ−1, τ−1, σ0, ...) = 1 (2.5.1)

o`u :

[σ(t)] : cycle de contrainte analys´e par le crit`ere,

σ−1, τ−1 et σ0 : limites de fatigue du mat´eriau sous des chargements de traction uni-axiale altern´ee sym´etrique, de torsion altern´ee sym´etrique et de traction uniaxiale r´ep´et´ee respectivement.

Quand l’´equation 2.5.1 est v´erifi´ee, cela signifie que le cycle de contrainte consid´er´e [σ(t)] correspond exactement `a la limite d’endurance du mat´eriau. Pratiquement, la limite de fatigue du mat´eriau est atteinte pour un nombre de cycles donn´e ND. Cette observation permet l’extension du crit`ere multiaxial de fatigue aux dur´ees de vie limit´ees en statuant d’une part que sa formulation reste la mˆeme et d’autre part que les limites de fatigue du mat´eriau `a ND cycles sont remplac´ees par les limites de fatigue analogues `a N cycles (voir Equation 2.5.2).

E([σ(t)]), σ−1(N ), τ−1(N ), σ0(N ), ...) = 1 (2.5.2)

Quand l’´equation 2.5.2 est v´erifi´ee, cela signifie que le cycle de contrainte multiaxial [σ(t)] est ´equivalent au cycle de contrainte qui correspond `a la limite de fatigue σ−1(N ). L’´equivalence est bas´ee sur la dur´ee de vie en fatigue : le mat´eriau pr´esente la mˆeme dur´ee de vie sous le cycle multiaxial de chargement que sous le cycle de chargement uniaxial correspondant `a la limite de fatigue `a N cycles σ−1(N ) (voir Figure 2.5.1).

L’´equation 2.5.2 est une ´equation implicite en N qui donne la possibilit´e de calculer la dur´ee de vie en fatigue (N cycles) du mat´eriau quand il est soumis au cycle de contrainte [σ(t)] quel qu’il soit. Cette proc´edure permet de transformer chaque cycle multiaxial en un cycle uniaxial ´equivalent. L’´etape est n´ecessaire pour l’´evaluation du dommage par fatigue et de son cumul. De cette fa¸con, l’utilisation des crit`eres de fatigue multiaxiaux est ´etendue de la limite d’endurance du mat´eriau (c’´etait le rˆole traditionnel des crit`eres de fatigue `a l’origine) jusqu’au domaine des dur´ee de vie limit´ees. Le r´esultat majeur est que ceci permet d’adapter les lois de cumul de dommage `a la fatigue multiaxiale.

Il existe trois types de crit`eres multiaxiaux [Web99] :

- les crit`eres de fatigue `a caract`ere empirique dont l’application (et la vocation) est consacr´ee `a des types de chargement particuliers comme la flexion rotative et la torsion en phase,

- les crit`eres de type ’plan critique’ : l’endommagement du mat´eriau est suppos´e se produire et surtout ˆetre d´ecrit sur un plan physique unique, appel´e plan critique, d´efini par le crit`ere,

- les crit`eres d’approche globale ou int´egrale : tous les plans physiques contribuent `

a l’endommagement du mat´eriau.

Le crit`ere le plus utilis´e en France est celui de type plan critique de Dang Van [Dan93] et le crit`ere le plus utilis´e en Allemagne est celui d’approche int´egrale pro-pos´e par Zenner [ZSL00].

Il existe de nombreux crit`eres de fatigue, class´es parmi ces trois approches. Cinq crit`eres sont impl´ement´es dans le logiciel de pr´evision de dur´ee de vie en fatigue. L’un d’entre eux utilise le concept de plan critique (crit`ere de Dang Van [Dan93]), les quatre autres sont bas´es sur l’approche globale ou int´egrale (crit`eres de Fogue [Fog87], de Zenner [ZSL00], de Sines [Sin81] et de Crossland [Cro70]).

2.5.2 Crit`eres programm´es dans le logiciel

Crit`ere de Dang Van [Dan93]

Le crit`ere de Dang Van est bas´e sur la partie altern´ee du cisaillement τha et la pres-sion hydrostatique PH. La fonction de fatigue EDV du crit`ere est une maximisation d’un indicateur de dommage par plan Eh d´efini par l’´equation 2.5.3 :

Eh = max t  τha(t) + αPH(t) β  (2.5.3) avec : PH(t) = σ11(t)+σ22(t)+σ33(t) 3 ,

h : indice faisant r´ef´erence `a la normale unitaire h du plan consid´er´e, elle mˆeme d´efinie par deux angles d’Euler.

La fonction de fatigue du crit`ere s’´ecrit suivant l’´equation 2.5.4 :

EDV = max

h (Eh) (2.5.4)

Les constantes α et β doivent ˆetre d´etermin´ees `a partir de deux limites de fatigue connues. Dans ce travail de th`ese, les courbes S-N `a R = 0 et `a R = −1 ont ´et´e trac´ees. Par cons´equent, les deux constantes sont d´etermin´ees `a partir des deux limites de fatigue obtenues par ces courbes. Le principe d’obtention de ces deux constantes est d’´ecrire que la fonction de fatigue du crit`ere est ´egale `a l’unit´e pour

les cycles de contraintes correspondant `a ces limites de fatigue. Les deux constantes sont ainsi d´etermin´ees (voir Equation 2.5.5). La validit´e du crit`ere est assur´ee par la condition α > 0.      α = σ04 σ−12 σ−1 3 σ0 3 β = σ0 4 +σ0 3 × σ04 σ−1 2 σ−1 3 σ03 (2.5.5)

Crit`ere de Fogue [Fog87, FB85]

Le crit`ere de Fogue est bas´e sur la moyenne quadratique d’un indicateur d’endom-magement par plan Eh (voir Equation 2.5.6).

Eh = ha+ bσhha+ dσhhm σ−1

(2.5.6)

o`u :

τha : amplitude de la contrainte de cisaillement sur le plan de normale unitaire h, σhha : amplitude de la contrainte normale au plan,

σhhm : contrainte normale moyenne sur le plan.

Le crit`ere r´ealise ensuite la moyenne quadratique des indicateurs de tous les plans physiques en utilisant la sph`ere de rayon unit´e d´efinie par Gr¨ubisic et Simb¨urger [Sim75, GS76] (voir Figure 2.5.2). La fonction de fatigue du crit`ere s’´ecrit ainsi suivant l’´equation 2.5.7. EF G= s 1 S Z S E2 hdS (2.5.7)

Les constantes a, b et c sont d´etermin´ees `a partir de trois limites de fatigue τ−1, σ−1

et σ0. Dans le cadre de cette ´etude, il sera n´ecessaire de faire une hypoth`ese sur la valeur de τ−1 puisque sa valeur n’est pas connue.

Crit`ere de Zenner [ZSL00]

Le crit`ere de Zenner est bas´e sur l’amplitude et la moyenne de la contrainte de ci-saillement not´ees respectivement τha et τhm et sur l’amplitude et la moyenne de la contrainte normale not´ees respectivement σhha et σhhm. La fonction de fatigue du crit`ere s’´ecrit suivant l’´equation 2.5.8.

EZE = q 15 Rπ γ=0 R ψ=0(aτ2 ha(1 + mτ2 hm) + bσ2 hha(1 + nσhhm) sin(γ)dψdγ) σ−1 (2.5.8)

Les constantes a, b, n et m sont obtenues `a partir de quatre limites de fatigue (σ−1, σ0, τ−1 et τ0). Comme les limites de fatigue τ−1 et τ0 n’ont pas pu ˆetre d´etermin´ees, deux estimations de ces deux grandeurs sont propos´ees par Zenner. La d´etermination de τ−1 est ´etablie par analogie avec le rapport entre σe et τe donn´e par le crit`ere de Von Mises. La d´etermination de τ0 repose sur le fait que l’amplitude est de l’ordre de la valeur moyenne. Ces hypoth`eses conduisent aux expressions suivantes des deux limites d’endurance τ−1 et τ0 [ZSL00] : τ−1 = 1 3σ−1 et τ0 = −1 2σ−1 σ0 +1 .

Crit`ere de Sines [Sin81, Sin55]

Le crit`ere de Sines est bas´e sur les invariants du tenseur des contraintes et de son d´eviateur. La fonction de fatigue du crit`ere est fonction de J2a, amplitude du 2e

invariant du tenseur d´eviateur des contraintes, et de I1m, valeur moyenne du 1er invariant du tenseur des contraintes (voir Equation 2.5.9).

ESI = √

J2a+ αI1m

A (2.5.9)

Les constantes A et α sont d´etermin´ees `a partir de deux limites de fatigue du mat´eriau. Dans notre cas, les deux constantes sont d´etermin´ees `a partir de σ0 et de σ−1. La validit´e du crit`ere est assur´ee par la condition α > 0.

Crit`ere de Crossland [Cro70, Cro56]

Le crit`ere de Crossland est tr`es voisin de celui de Sines. La diff´erence r´eside dans le fait que Crossland consid`ere la valeur maximale I1max du premier invariant du tenseur des contraintes au lieu de sa valeur moyenne. La fonction de fatigue s’´ecrit suivant l’´equation 2.5.10.

ECR = √

J2a+ BI1max

A (2.5.10)

Les constantes A et B sont d´etermin´ees de la mˆeme fa¸con que celles du crit`ere de Sines et le crit`ere est valide lorsque B > 0.

2.6 Confrontation du logiciel `a des applications exp´

erimen-tales sur des mini-structures pr´e-endommag´ees avant

renforcement

Le logiciel est test´e sur des essais men´es sur des mini-structures pr´e-endommag´ees puis renforc´ees par patchs composites. Le but est donc de comparer les r´esultats exp´erimentaux, `a savoir le nombre de cycles `a rupture, aux r´esultats th´eoriques fournis par le logiciel. Ainsi, dans un premier temps, les mini-structures puis les r´esultats exp´erimentaux seront pr´esent´es. Dans un deuxi`eme temps, en raison de la forte concentration de contrainte due `a la g´eom´etrie des mini-structures et du fait de son influence consid´erable sur le comportement en fatigue des mat´eriaux, la m´ethode du gradient sera d´ecrite, mise en oeuvre et utilis´ee dans le logiciel. Finalement, les dur´ees de vie obtenues par le logiciel seront analys´ees et compar´ees aux r´esultats exp´erimentaux.

L’objectif final est d’appliquer ce logiciel de pr´evision de dur´ee de vie `a des structures a´eronautiques. A ce stade de l’´etude, seulement des mini-structures sont test´ees. Ce-pendant, elles pr´esentent un gradient de contrainte qui permet de se rapprocher un peu du but final, `a savoir l’application sur des structures r´eelles.

2.6.1 Description des essais et r´esultats exp´erimentaux

Vingt mini-structures sont extraites de plaques en aluminium 2024-T3 par d´ecoupe plasma, proc´edure accomplie `a l’IUT de Montlu¸con qui a permis un gain de temps appr´eciable par rapport `a une d´ecoupe jet d’eau r´ealis´ee par une entreprise. Elles sont ensuite usin´ees afin d’´eviter toute perturbation m´etallurgique due `a

l’echauf-fement lors de la d´ecoupe (Une grande sur´epaisseur a ´et´e laiss´ee apr`es la d´ecoupe plasma afin que l’usinage vienne enlever la ZAT). Leurs dimensions sont de 200 mm de long, 40 mm de large et 3 mm d’´epais. Elles ont toutes ´et´e perc´ees d’un trou afin d’ˆetre en pr´esence d’un champ de contraintes h´et´erog`ene li´e `a la pr´esence du trou. La zone critique des composants est ainsi parfaitement localis´ee, r´eduisant certains al´eas comme une rupture dans les mors li´ee `a des angles vifs. La localisation et le diam`etre du trou ont ´et´e ´etudi´es au pr´ealable par diff´erentes analyses par ´el´ements finis r´ealis´ees avec le logiciel Ansys. Le choix final est celui qui permet d’obtenir la plus grande diff´erence entre les contraintes pr´esentes sur les bords du trou. Il a donc ´et´e retenu pour cette ´etude un trou de 10, 55 mm de diam`etre se situant `a 12 mm du bord droit de la mini-structure (voir Figure 2.6.1 a).

Les mini-structures sont pr´e-endommag´ees par fatigue `a une certaine fraction de vie et sous un niveau d’effort maximal donn´e. Le nombre de cycles choisi correspond pratiquement au nombre de cycles obtenu `a 75% de la dur´ee de vie totale `a ce ni-veau de contrainte. Une fois pr´e-endommag´ees, les mini-structures sont renforc´ees par collage d’un patch composite sym´etriquement des deux cˆot´es (voir Figure 2.6.2 c). Comme pour le renforcement des ´eprouvettes utilis´ees pour la caract´erisation du mat´eriau et la validation du renfort par patch composite, le collage des patchs sur les mini-structures est r´ealis´e `a l’AIA. Le protocole exp´erimental de collage est ainsi identique `a celui pr´esent´e dans le premier chapitre.

Les essais sont r´ealis´es `a effort constant entre avant et apr`es renforcement, la ma-chine de fatigue ´etant pilot´ee en force.

Deux niveaux de contrainte ont ´et´e choisis afin d’ˆetre au-dessus de la limite d’endu-rance lorsque les mini-structures sont renforc´ees et au-dessous de la limite de fatigue `

a 10 000 cycles (borne sup´erieure du domaine d’´etude d´efini par l’AIA) lorsque les mini-structures sont pr´e-endommag´ees. Dans chaque cas, six mini-structures ont ´et´e

Fig. 2.6.2 – Mini-structures vierges et renforc´ees par patchs composites avant et apr`es rupture par fatigue.

test´ees. Le Tableau 2.4 r´esume les r´esultats exp´erimentaux obtenus.

1ercas 1erniveau σ1 = 298 MPa n1= 165 366 cycles

2eniveau σ1 = 205 MPa 83 928 NR 185 050 NR NR NR 2ecas 1erniveau σ1 = 349 MPa n1= 107 284 cycles

2eniveau σ1 = 205 MPa NR 119 435 262 552 27 661 13 389 73 297 NR : ´eprouvette non rompue apr`es 106 cycles

σ1 : contrainte au bord du trou d´etermin´ee par les calculs EF n1 : nombre de cycles appliqu´es aux mini-structures non renforc´ees

Tab. 2.4 – R´esultats des essais de fatigue `a deux niveaux sur les mini-structures.

L’analyse du Tableau 2.4 montre que les r´esultats obtenus dans le 1ercas ne sont pas facilement exploitables puisque la majorit´e des ´eprouvettes n’a pas cass´e. Cepen-dant, il sera int´eressant de v´erifier si le logiciel pr´evoit ce cas de non rupture pour les contraintes et les nombres de cycles appliqu´es.

La g´eom´etrie particuli`ere des mini-structures, du fait de la pr´esence du trou, en-gendre l’existence d’un gradient de contrainte en son sein, particuli`erement impor-tant aux bords du trou l`a o`u les contraintes sont les plus importantes. C’est d’ailleurs toujours `a cet endroit que les mini-structures rompent (voir Figure 2.6.2 b et d). Pour le calcul de pr´evision de dur´ee de vie, il est indispensable de consid´erer ce gradient ´etant donn´e sa grande influence bien connue en fatigue [BFGT99]. Il est pris en compte dans notre cas grˆace `a la m´ethode du gradient pr´esent´ee ci-dessous.

2.6.2 M´ethode du gradient

La courbe S-N du mat´eriau pour le rapport de charge R = 0 a ´et´e obtenue `a partir d’´eprouvettes r´epondant `a la norme ISO 1099 [ISO75] et ne pr´esentant qu’une tr`es faible concentration de contrainte. Cette courbe S-N ne permet donc pas de prendre

en compte la capacit´e d’adaptation du mat´eriau vis-`a-vis d’un gradient, ce qui au demeurant conduit en g´en´eral `a surdimensionner les pi`eces.

La m´ethode du gradient d´evelopp´ee au CETIM essaie de pallier cette insuffisance [BFGT99]. A partir du concept de gradient de contrainte χ, une m´ethode de calcul des pi`eces `a la fatigue bas´ee sur l’adaptation plastique en fond d’entaille en statique et en dynamique a ´et´e d´evelopp´ee. Elle a ´et´e valid´ee sur des aciers, et est pr´esent´ee dans ce qui suit.

La m´ethode se d´ecompose en deux parties. La premi`ere porte sur l’adaptation plas-tique staplas-tique et la seconde sur l’adaptation plasplas-tique sous sollicitation dynamique. Lorsque les ´eprouvettes entaill´ees (´eprouvettes pr´esentant un gradient de contrainte) sont soumises `a un essai de traction monotone, une am´elioration de la r´esistance de l’´eprouvette fonction de l’augmentation de l’acuit´e de l’entaille est observ´ee. Ceci se traduit par une variation de la r´esistance `a la rupture. Une relation existe donc entre la r´esistance `a la rupture mesur´ee sur ´eprouvette entaill´ee cRm, la r´esistance `a la rupture normalis´ee Rm et le gradient de contrainte χ (voir Tableau 2.5) [BFGT99].

Rm≥ 1 800 N.mm−2

Pour tout χ Rdm = Rm

Rm< 1 800 N.mm−2 χ ≤ 0, 03 mm−1 Rdm = Rm

0, 03 < χ < 4 mm−1 Rdm= Rm (0, 25 log χ + 1, 4) 4 < χ < 10 mm−1 Rdm= 1, 55 Rm

χ > 10 mm−1 Redessiner la pi`ece

Tab. 2.5 – Relation entre Rmet dRmen fonction du gradient de contrainte χ [BFGT99].

Dans le cas des mini-structures ´etudi´ees, cette relation se traduit par l’´equation 2.6.1.

c Rm

Le gradient de contrainte est d´efini par la relation suivante : χ = lim x→0 1 σmax dσ dx (2.6.2) o`u :

σmax : contrainte maximale r´eelle li´ee `a la concentration de contrainte (σmax = ktσnom),

dx : gradient au sens math´ematique repr´esentant la pente de l’´evolution de la contrainte normale suivant la direction x.

La limite d’endurance σD des ´eprouvettes entaill´ees diminue quand l’acuit´e de l’en-taille augmente. Le comportement de la contrainte σcD = KtσD en fonction de la concentration de contraintes suit le mˆeme comportement que la grandeur cRm. Il est donc justifi´e d’´etablir une m´ethode de calculs `a partir des valeurs cRm etσcD.

A partir des valeurs cRm et σcD, il est possible de tracer un diagramme d’endurance du type diagramme de Haigh de la mˆeme mani`ere qu’en absence d’un gradient, avec Rm et σD. Compte tenu de la corr´elation physique existant entre la limite d’endu-rance r´eelle purement altern´eeσcD et la contrainte de rupture nominale cRm, les axes du diagramme de Haigh (voir Figure 2.6.3) sont les suivants :

- en abscisse, contrainte moyenne σm exprim´ee en contrainte nominale,

- en ordonn´ee, amplitude de la contrainte dynamique σba exprim´ee en contrainte r´eelle.

Grˆace `a ce diagramme, il est possible de d´eterminer la nouvelle limite de fatigue `a partir de la courbe S-N `a R = −1, d´etermin´ee pour les ´eprouvettes de caract´erisation,

Fig. 2.6.3 – Description du diagramme de Haigh.

et ce pour les diff´erentes valeurs des contraintes appliqu´ees aux mini-structures. Ces nouvelles limites de fatigue sont donc introduites dans les diff´erentes lois d’endom-magement programm´ees afin de pouvoir d´eterminer le nombre de cycles `a rupture obtenu avec le logiciel pour le second niveau de chargement. La comparaison entre les r´esultats obtenus par les voies exp´erimentale et th´eorique sera alors effectu´ee.

2.6.3 Pr´evisions de dur´ee de vie

La concentration de contrainte due `a la g´eom´etrie des mini-structures est prise en compte grˆace au gradient de contrainte. Le nombre de cycles au second niveau de chargement est alors d´etermin´e `a l’aide du logiciel.

Le Tableau 2.4 rappelle que lors du 1ercas de chargement, sur six mini-structures test´ees, seules deux ont rompu. Les diff´erentes lois d’endommagement programm´ees indiquent ´egalement que pour le 1ercas de chargement, les mini-structures ne de-vraient pas connaˆıtre d’amor¸cage de fissure. Seule la loi de Freudenthal-Heller pr´evoit une rupture de l’´eprouvette. Cependant comme il a ´et´e dit lors de la pr´esentation des diff´erentes lois d’endommagement, les auteurs de cette loi ne donnent pas de plage de variation possible pour les param`etres β et γ. L’application de cette loi est donc `a prendre avec beaucoup de pr´ecaution. Il a de ce fait ´et´e d´ecid´e de ne pas

consid´erer cette loi dans la suite de l’´etude.

Pour le 2ecas de chargement, les r´esultats exp´erimentaux indiquent cinq ruptures sur les six mini-structures test´ees. Toutes les lois d’endommagement pr´evoient ´egalement une rupture de la mini-structure pour le chargement appliqu´e. La Figure 2.6.4 cen-tralise les r´esultats et permet ainsi d’´etablir une comparaison entre les r´esultats exp´erimentaux et th´eoriques.

Fig. 2.6.4 – Comparaison des dur´ees de vie exp´erimentales et th´eoriques.

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