fatigue oligocyclique de l’alliage d’aluminium 2024-T3
3.3 Cadre thermodynamique d’interpr´ etation
a notre connaissance sur de l’aluminium sollicit´e dans le domaine LCF. Le but de cette ´etude est d’analyser l’´evolution de la temp´erature d´egag´ee par les ´eprouvettes en aluminium soumises `a de hauts niveaux de contraintes durant un essai de fatigue LCF. Cette ´etude s’inscrit, comme il a d´ej`a ´et´e dit pr´ec´edemment, dans le cadre de la maintenance, r´ealis´ee par la DGA, de structures a´eronautiques.
3.3 Cadre thermodynamique d’interpr´etation
Le cadre utilis´e pour interpr´eter les ph´enom`enes exp´erimentaux est la Thermody-namique des Processus Irr´eversibles [GNS83], en utilisant l’axiome de l’´etat
Fig. 3.2.5 – Comparaison des estimations thermiques et m´ecaniques de d1 / ρC pour l’alliage d’aluminium 2024-T3 [MCDG04].
local qui postule que chaque ´el´ement de volume est `a l’´equilibre et qu’il est d´efini par un certain nombre de variables d’´etat.
La fatigue est ici consid´er´ee comme un processus dissipatif quasi-statique [GNS83]. Ainsi, les variables d’´etat sont les suivantes :
- la temp´erature absolue T,
- le tenseur lin´earis´e des d´eformations ,
- les variables internes α1,...., αn d´ecrivant un ´etat de la microstructure (plasticit´e, endommagement...).
3.3.1 Premier principe
Le premier principe de la thermodynamique exprime la conservation de l’´energie d’un syst`eme. Il traduit la possibilit´e de transformer de l’´energie m´ecanique en cha-leur et inversement.
Pour un volume V de fronti`ere δV , il s’´ecrit :
d
dt(E + K) = Pext+ Q (3.3.1)
o`u :
E : ´energie interne avec E =RV ρedV , e ´etant l’´energie interne sp´ecifique par unit´e de volume et ρ la masse volumique,
K : ´energie cin´etique avec K =R
V ρ~v.~vdV , ~v ´etant la vitesse,
Pext : puissance des efforts ext´erieurs. D’apr`es le th´eor`eme de l’´energie cin´etique, il vient que : dKdt = Pext+ Pint avec Pint =RV w˙idV et ˙wi puissance des efforts int´erieurs par unit´e de volume telle que ˙wi= σ : ˙.
Q : taux de chaleur re¸cu par le syst`eme avec Q = RV rdV −RδV ~q.~ndS, r ´etant la densit´e volumique de chaleur d’origine ext´erieure (rayonnement), ~q le flux de chaleur et ~n la normale ext´erieure `a δV en chaque point.
En utilisant le th´eor`eme de la divergence, la forme locale de la conservation de l’´energie s’´ecrit :
ρde
3.3.2 Second principe
Le second principe de la thermodynamique postule, quant `a lui, l’existence de l’en-tropie et de la temp´erature. Le taux de production d’entropie est toujours sup´erieur ou ´egal au taux de chaleur re¸cu divis´e par la temp´erature. Il s’´ecrit suivant l’´equation 3.3.3. dS dt ≥ Z V r TdV − Z δV ~ q.~n T dS (3.3.3) avec S : entropie (S =R V ρsdV ).
En utilisant le th´eor`eme de la divergence, la forme locale du second principe est alors obtenue :
ρds dt − r
T − div ~q
T ≥ 0 (3.3.4)
Un nouveau potentiel, l’´energie libre sp´ecifique ψ, est d´efini par l’´equation 3.3.5.
ψ = e − T s (3.3.5)
σrev = ρ∂∂ψe s = −∂ψ∂T (3.3.6)
o`u σrev et esont respectivement la contrainte r´eversible et la d´eformation ´elastique.
L’in´egalit´e de Clausius Duhem (Equation 3.3.7) s’obtient en introduisant cette va-riable dans l’´equation 3.3.4.
˙
wi− ρ( ˙ψ + s ˙T ) − ~q . ~ grad T
T ≥ 0 (3.3.7)
Elle s’´ecrit g´en´eralement sous une forme condens´ee (Equation 3.3.8) faisant ap-paraˆıtre deux quantit´es d1 et d2.
d1+ d2 ≥ 0 (3.3.8)
avec :
d1 : dissipation intrins`eque (ou m´ecanique) o`u d1 = ˙wi− ρ( ˙ψ + s ˙T ). C’est une partie de la puissance de d´eformation an´elastique, qui est perdue sous forme de chaleur. Elle est li´ee `a l’endommagement dˆu, par exemple, `a la fatigue ou `a la plasticit´e. d2 : dissipation thermique o`u d2 = −~q.grad T~T .
3.3.3 Equation de la chaleur
L’´equation de conservation de l’´energie d’apr`es le 1er principe de la thermodyna-mique s’´ecrit suivant l’´equation 3.3.2. En rempla¸cant e par ψ + T s et s par −∂T∂ψ, l’´equation locale du 1er principe de la thermodynamique peut s’exprimer selon l’´equation 3.3.9. ρde dt = ρ ∂ψ ∂αj ˙ αj− ρ T∂ 2ψ ∂T2T + T˙ ∂2ψ ∂αj∂Tα˙j = r − div ~q − ˙wi (3.3.9)
En introduisant les d´efinitions 3.3.10 de la chaleur sp´ecifique C (que l’on suppose constante pour des variations de temp´erature mod´er´ees) et de la loi de Fourier res-pectivement, l’´equation de la chaleur est obtenue (voir Equation 3.3.11).
C = T∂T∂s ~ q = −k grad T~ (3.3.10) ρC ˙T − div(k grad T ) − r = d~ 1+ ρT ∂ 2ψ ∂T ∂ : ˙ + ρT ∂2ψ ∂T ∂αiα˙i (3.3.11) avec :
C : chaleur sp´ecifique (en J.kg1.oC−1),
L’´equation de la chaleur fait apparaˆıtre :
- les couplages entre la temp´erature et les autres variables d’´etats (couplage ther-mom´ecanique) :
ρT ∂T ∂∂2ψ : ˙ correspond au couplage entre T et , appel´e couplage isentropique ou encore couplage ’thermo´elastique’. Ceci traduit le fait qu’un mat´eriau sol-licit´e en r´egime ´elastique se r´echauffe lorsque ˙σ < 0 et se refroidit lorsque ˙σ > 0,
ρT∂T ∂α∂2ψ
iα˙i correspond aux autres couplages possibles entre T et αi,
- la dissipation m´ecanique d1,
- le taux d’absorption de chaleur ρC ˙T et la conduction −div (k grad T ).~
L’´evaluation des termes de l’´equation de la chaleur est bas´ee sur quelques hypoth`eses telles que :
- la variation de temp´erature induite par les m´ecanismes de fatigue et mesur´ee exp´erimentalement avec une cam´era IR est tr`es petite pour avoir une influence sur l’´etat de la microstructure (les param`etres ’mat´eriau’ restent donc constants), - les termes de couplage entre T et αj sont n´egligeables,
- le mat´eriau est isotrope, par cons´equent k est un scalaire.
Sous ces hypoth`eses, l’´equation de la chaleur s’´ecrit de la fa¸con suivante :
ρC∂T
∂t − k∆T − r = d1+ sthe= st (3.3.12)
o`u : sthe = ρT ∂ 2ψ ∂T ∂ = −αT ∂(T race σ) ∂t (3.3.13)
3.3.4 Champ de temp´eratures de r´ef´erence
L’objectif est de travailler sur des variations de temp´erature afin de pouvoir calculer les sources de chaleur.
Les variations de temp´eratures sont consid´er´ees par rapport `a un champ de temp´ e-ratures de r´ef´erence Tref. Une attention particuli`ere est attribu´ee `a ce champ Tref, qui doit ˆetre obtenu pour un ´etat o`u l’´eprouvette ne produit pas de source de chaleur s. Dans ce cas, l’´evolution de la temp´erature est r´egie par l’´equation suivante :
ρC∂Tref
∂t − k∆Tref − r = 0 (3.3.14)
En faisant l’hypoth`ese que la chaleur externe r ne d´epend pas du temps et que les co-efficients k, ρ et C restent constants tout au long de l’essai de fatigue, en consid´erant la variation de temp´erature (voir Equation 3.3.15) et en soustrayant les ´equations 3.3.12 et 3.3.14, l’´equation de la chaleur s’´ecrit alors sous la forme pr´esent´ee par l’´equation 3.3.16.
ρC∂θ
∂t − k∆θ = d1+ sthe (3.3.16)
3.3.5 Equation de la chaleur en 2D
Il est cependant montr´e que la d´etermination des sources de chaleur dans toute la pi`ece est difficilement r´ealisable en ayant uniquement des informations sur le champ des temp´eratures en surface [MCDG04]. Avec des ´eprouvettes de forme plane (d´ecrites lors du premier chapitre et r´epondant `a la norme ISO 1099 [AFN93]), cette ´equation peut ˆetre int´egr´ee dans l’´epaisseur en faisant l’hypoth`ese qu’il y a peu de variation de temp´erature dans l’´epaisseur de la tˆole [MCDG04]. En tenant compte des temp´eratures de r´ef´erence et ext´erieure, l’´equation de la chaleur 2D est alors obtenue (Equation 3.3.17). ρC ∂θ ∂t + θ + Tref − Text τ2D th − k ∂ 2θ ∂x2 + ∂ 2θ ∂y2 = st (3.3.17) avec τ2D
th : constante de temps caract´erisant les ´echanges de chaleur entre la pi`ece et l’air (convection et radiation) et Text : temp´erature ext´erieure.