La courbure locale

Dans la littérature, plusieurs auteurs - à commencer par Kuwabara et al [214] - utilisent la courbure de la zone active de l'éprouvette comme mesure du retour élastique. Cependant, cette courbure est mesurée pour l'ensemble de la zone active - en utilisant par exemple les coordonnées de trois points matériels. Cependant, on n'a pas la preuve que la courbure soit constante (partie active de l'éprouvette en forme de cercle parfait). An de lever ce doute, nous avons mis en place une méthodologie pour mesurer la courbure localement. Pour déterminer la courbure locale, il faut calculer le rayon local ρ dans la zone d'intérêt de l'éprouvette. Pour cela, nous avons appliqué deux méthodes. Une première méthode consiste à déterminer le rayon du cercle

4.3. MESURES DE L'ANGLE DE RETOUR ÉLASTIQUE ET DE LA COURBURE LOCALE101 qui passe par trois points successifs (TP), et la seconde méthode est celle de Savitzky-Golay (SG).

La méthode du cercle passant par trois points ne comporte aucune interpolation : on prend trois vrais points mesurés, et on cherche le cercle qui passe par les trois points, comme illustré sur la gure 4.13. L'équation du cercle a trois paramètres : on les calcule en l'appliquant aux trois points. Ces trois points ont pour coordonnées respectives (Xi−j, Yi−j), (Xi, Yi) et (Xi+j, Yi+j),

ou 'i' représente l'indice du point concerné par le calcul, et 'j' représente le décalage entre les points considérés pour eectuer le calcul. Ensuite, le système d'équations (4.5) suivant peut être utilisé pour calculer le centre (Xc, Yc) et le rayon ρi :

(Xi−j − Xc)2+ (Yi−j − Yc)2 = ρ2i (4.5a)

(Xi− Xc)2+ (Yi− Yc)2 = ρ2i (4.5b)

(Xi+j − Xc)2+ (Yi+j − Yc)2 = ρ2i (4.5c)

où ρi est le rayon correspondant au ii`eme point (Xi, Yi) et la courbure Ci peut être calculé par

l'équation (4.6) : Ci =

1

ρi (4.6)

Figure 4.13  Méthode des cercles passant par trois points.

L'algorithme de Savitzky-Golay [220] est une méthode utilisée pour lisser une courbe avec un polynôme et en extraire les dérivées successives. Dans la pratique, un polynôme de degré 2 permet de prendre en compte la courbure ; un polynôme de degré 3 permet de prendre en compte des points d'inexion ; le nombre de points d'un intervalle doit être susamment grand devant le degré du polynôme pour que le lissage soit eectif. Plus la fenêtre est large, plus la courbe est lissée, on prend donc en général un polynôme de degré 3 et une fenêtre glissante de

9 points. La gure 4.14 montre ces 9 points (cercles pleins jaunes) utilisés pour le lissage. Leur coordonnées sont (Xi−4j, Yi−4j), . . . (Xi, Yi), . . . (Xi+4j, Yi+4j) respectivement, ou 'i' représente

l'indice du point concerné par le calcul, et 'j' représente le décalage entre les points considérés pour eectuer le calcul. C'est-à-dire que l'on n'utilise pas forcément des points successifs. La courbe lissée, la dérivée et la dérivée seconde peuvent être calculées par :

Xi =

1

231(−21 × Xi−4j+ 14 × Xi−3j+ 39 × Xi−2j+ 54 × Xi−j + 59 × Xi+ 54 × Xi+j + 39 × Xi+2j+ 14 × Xi+3j − 21 × Xi+4j)

(4.7a)

X_i0 = 1 1188 × Si

(86 × Xi−4j− 142 × Xi−3j− 193 × Xi−2j− 126 × Xi−j+ 0 × Xi+

126 × Xi+j + 193 × Xi+2j + 142 × Xi+3j− 86 × Xi+4j)

(4.7b)

X_i00 = 1 462 × S2

i

(28 × Xi−4j− 7 × Xi−3j− 8 × Xi−2j − 17 × Xi−j− 20 × Xi−

17 × Xi+j− 8 × Xi+2j+ 7 × Xi+3j+ 28 × Xi+4j)

(4.7c) où Xi, Xi0 et X

00

i sont les coordonnées après lissage, dérivée et dérivée seconde respectivement

au ii`eme point. S

i = p(Xi− Xi−j)2+ (Yi − Yi−j)2 est la distance entre deux points (Xi, Yi).

L'équation (4.7) peut également être appliquée pour calculer Yi, Yi0 et Yi00. Finalement, la

courbure déterminé par l'algorithme de Savitzky-Golay est obtenue par l'équation (4.8) : Ci = X_i0Y_i00− X00 iY 0 i ((X0 i)2+ (Yi0)2) 3 2 (4.8) où Ci est la courbure au ii`eme point (Xi, Yi).

Figure 4.14  Méthode de l'interpolation par polynôme en utilisant l'algorithme de Savitzky- Golay.

4.3. MESURES DE L'ANGLE DE RETOUR ÉLASTIQUE ET DE LA COURBURE LOCALE103 Les deux méthodes (TP, SG) ont été appliquées à une première éprouvette (voir la gure

4.15a, R=10 mm, R/e=8,2 et kb = 0, 29). L'étendue de la zone couverte par les points considérés

a un grand l'eet sur la dispersion de la courbure. On a testé plusieurs valeurs de cette étendue : 0,15 mm, 5 mm, 30 mm, pour TP comme pour SG. La gure4.15b illustre l'eet de la méthode et de la distance sur la dispersion de la courbure.

On constate que les deux méthodes ont des précisions similaires, lorsque l'amplitude de la zone d'interpolation est la même. L'algorithme SG permettant aussi un lissage de la courbe brute, nous avons nalement décidé d'appliquer d'abord SG pour le lissage, et ensuite TP pour le calcul du rayon. A la première étape (SG) uniquement un lissage est eectué, et à la seconde étape on calcule le rayon moyen sur une zone susamment large pour que la dispersion soit atténuée. Des essais réalisés sur diérentes éprouvettes ont montré qu'une largeur de 30 mm ore un bon compromis entre la dispersion et le caractère local de la mesure. Comme le montre la gure4.16, les diérents choix de largeur de zone ne semblent pas inuencer la valeur moyenne mesurée. Cette méthode simple de calcul permet donc de déterminer la variation de

Figure 4.15  Application et comparaison des méthodes TP et SG : (a) L'éprouvette de pliage sous tension ; (b) L'eet de l'étendue sur la dispersion de la courbure.

la courbure locale le long de l'éprouvette. Notons qu'une méthode plus précise aurait consisté à déterminer le cercle qui approxime un nombre plus grand de points, au sens des moindres carrés - plutôt que seulement trois points. Cependant, cette méthode simple s'est avérées susante et permet d'éviter une série de calculs itératifs.

La gure 4.17 montre les résultats expérimentaux de la courbure C aux diérents ratios de R/e et facteurs de retenue kb du DP600. Pour chaque courbe, les tendances de la courbure

sont les mêmes : la courbure est plus grande lorsque kb appliqué est plus petit. Cependant, les

écarts entre la courbure minimum (kb = 0, 29) et la courbure maximum (kb = 1, 24) pour les

trois ratios R/e sont diérents. Bien que les courbures maximums de ces trois ratios R/e sont presque identiques (environ 6/m), les courbures minimums correspondants sont sensiblement diérentes.

Finalement, la courbure est quasi-constante entre l'ordonnée X=30 mm et X=150 mm, ce qui facilite le dépouillement. La gure4.18montre toutes les courbures aux diérents ratios R/e et facteurs de retenue du DP600, relevées au point où X=100 mm. Les courbures aux mêmes ratio de R/e et kb dans la direction laminage (DL) et dans la direction transverse (DT) sont

Figure 4.16  La courbure locale déterminée par SG et TP : (a) Illustration schématique de la zone utile de l'éprouvette de pliage sous tension, utilisée pour le calcul de la courbure locale du prol ; (b) Comparaison des méthodes TP, SG et SGTP.

4.3. MESURES DE L'ANGLE DE RETOUR ÉLASTIQUE ET DE LA COURBURE LOCALE105

(a) R=3 mm, R/e=2,46, kb = 0, 29; 0, 48; 0, 66; 0, 85; 1, 04; 1, 23.

(b) R=6 mm, R/e=4,92, kb = 0, 29; 0, 48; 0, 67; 0, 86; 1, 05; 1, 24.

(c) R=10 mm, R/e=8,2, kb= 0, 29; 0, 48; 0, 67; 0, 86; 1, 05; 1, 24.

Figure 4.17  Les résultats expérimentaux de la courbure C aux diérents ratios de R/e et facteurs de retenue kb du DP600.

presque identiques. Les résultats expérimentaux de la courbure C sur la gure 4.18, ainsi que les résultats expérimentaux de l'angle de retour élastique θ sur la gure 4.11, indiquent que l'eet de la direction d'essai (DL ou DT) est négligeable, donc il est raisonnable de choisir la fonction de plasticité de von Mises pour simuler ces essais.

Figure 4.18  Les courbures aux diérents ratios R/e et facteurs de retenue kb du DP600.