Chapitre IV Simulations numériques du séchage lent sur réseaux de
III. 3-6 Courbes de séchage, cinétique Discussion
Comme nous l'avons dit précédemment, les courbes de séchage représentent le flux d'évaporation à l'interface du système en fonction de la saturation, adimensionnalisés respectivement par le flux initial, et par la saturation initiale.
La courbe se lit de haut en bas, et de droite à gauche, si l'on veut garder à l'esprit la progression temporelle.
Remarquons que le volume de liquide dans le tube 3 étant négligeable devant le volume total contenu dans le système, la saturation est presque égale au rapport des volumes dans les tubes 1 et 2, et du volume de liquide initial.
Ainsi, les courbes représentant les hauteurs des interfaces dans les tubes 1 et 2, en fonction du temps, donnent une bonne idée de la cinétique du séchage, car on peut les relier à la saturation du système. En effet, puisque R2 est égal à deux, le tube 1 contient initialement 20% du volume total de liquide, et le tube 2 le reste. Notons que ces courbes ont toutes subi une adimensionnalisation en temps, telle que l'unité est le temps nécessaire pour vider complètement le tube 2, dans le cas sans gravité, et à faible nombre capillaire.
− Ca < 1, B = 0
Nous remarquons, sur la courbe de séchage (figure III-2-a) que la phase à séchage constant a pour valeur 0,2, qui est la valeur du flux évaporé par le tube 1. Cette phase s'achève pour une saturation égale à 0,2, lorsque le tube 2 est vide, et que le tube 1 commence à être vidangé.
Pour un nombre de Sherwood plus petit (bonne diffusion moléculaire devant le transfert à l'interface système-monde extérieur), la courbe aurait été très arrondie. Dans le cas contraire, elle aurait été constituée de lignes brisées verticales et horizontales. Mais dans tous les cas elle comprend le point (0,2 - 0,2).
Les hauteurs des interfaces dans les tubes 1 et 2 en fonction du temps sont représentées (figure III-2-b). En les reliant avec la courbe de séchage, il est facile de comprendre que le tube 2 est plus vidangé par succion du tube 1 que par évaporation à l'interface gaz-liquide qu'elle contient. Enfin, le temps de vidange total confirme que dès que l'interface s'abaisse dans le tube 1, la vitesse de séchage diminue considérablement.
(a) (b)
Figure III-2 Ca < 1, B = 0. a) Courbe de séchage. b) Variation temporelle de la position des interfaces dans les tubes 1 et 2.
− Ca > 1, B = 0
La courbe de séchage (figure III-3-a) est aplatie, tout comme les suivantes. Elle illustre le fait que, dès que les deux interfaces ont pénétré dans les tubes, le flux d'évaporation devient très petit. Sur la courbe des hauteurs (figure III-3-b), la valeur de H1 tend bien comme prévu
vers H Ca Sh
c
1
1
= − , égale à 999 dans le cas présent. Le point singulier correspond au point singulier de la courbe de séchage, à la valeur de 0,133 pour la saturation, lorsque le tube 2 est vide.
(a) (b)
Figure III-3 Ca > 1, B = 0. a) Courbe de séchage. b) Variation temporelle de la position des interfaces dans les tubes 1 et 2.
−Ca < 1, B > 0
La courbe de séchage (figure III-4-a) est moins aplatie que précédemment. En fait, elle est identique à celle de la figure III-3-a dans sa première partie, jusqu'à atteindre un point singulier qui correspond au début de vidange du tube 1. Ce point se visualise bien sur la figure III-4-d qui représente les hauteurs d'interface dans les tubes aux instants initiaux. La figure III-4-c représente la différence de hauteur entre les deux interfaces. Sa valeur tend rapidement
vers (H H ) B R R eqh 2 1 2 2 1 1
− = − , dont la valeur est ici égale à 500.
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(a) (b)
(c) (d)
Figure III-4 Ca < 1, B > 0. a) Courbe de séchage. b) Variation temporelle de la position des interfaces dans les tubes 1 et 2. c) Variation temporelle de la position des interfaces dans les tubes 1 et 2 aux instants initiaux. d) Variation temporelle de la différence de hauteur entre les deux interfaces.
− Ca > 1, B > 0
La courbe de séchage (figure III-5-a) ressemble à celle du cas où, à même nombre capillaire, le nombre de Bond était nul. Le flux d'évaporation diminue toutefois légèrement plus vite en même temps que la saturation. La différence de hauteur des deux interfaces
n'atteint pas la valeur de l'équilibre hydrostatique, en raison des forces de viscosité qui ne permettent pas au tube 1 d'opérer une succion aussi importante que précédemment.
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(a) (b)
(c) (d)
Figure III-5 Ca > 1, B > 0. a) Courbe de séchage. b) Variation temporelle de la position des interfaces dans les tubes 1 et 2. c) Variation temporelle de la position des interfaces dans les tubes 1 et 2 aux instants initiaux. d) Variation temporelle de la différence de hauteur entre les deux interfaces.
En bref, nous soulignerons les points suivants :
− à chaque fois qu'une interface s'abaisse dans un tube, sous l'effet de la gravité ou de la viscosité, le flux d'évaporation diminue fortement (sauf pour des nombres de Sherwood très petits) ;
− une phase à séchage constant, correspondant dans les courbes de séchage par une portion de courbe à flux constant, traduit le fait que l'évaporation a lieu sur des interfaces dont la position ne change pas.
Enfin l’ensemble des situations rencontrées et leurs principales caractéristiques sont résumées dans le tableau III-1.
Cas Equations
à résoudre
Commentaires
Ca < 1
B = 0
III-34 et III-35 − Pas de gravité ;
− Effets visqueux négligeables ;
− L’interface gaz-liquide dans le tube 1 reste à l’entrée du tube 1.
Ca > 1
B = 0
H1 < H1c
H1 = H1c
III-38 et III-39 −Pas de gravité ;
− Effets visqueux significatifs ; L’interface gaz-liquide dans le tube 1 s’arrête de descendre.
Ca < 1 B > 0 H2 < H2c H2≥H2c III-43 et III-44 → III-29 et III-30, avec R1c=1
− Effets visqueux négligeables ;
− Effets gravitationnels significatifs. Ca > 1 B > 0 III-29 et III-30, avec R1c=1
−Effets visqueux significatifs ;
− Effets gravitationnels significatifs. Ca →∞ B →∞ III-38 et III-39, avec Ca-1=0 −Effets visqueux ou gravitationnels très forts ;
− Les interfaces s’abaissent dans les deux tubes à la même vitesse.
III.4 Conclusion
L’étude du séchage d’un simple système de deux tubes interconnectés conduit à une diversité de situations surprenante suivant le poids relatif des forces de capillarité, de viscosité ou de gravité. En absence d’effets de viscosité et/ou de gravité, on constate tout d’abord que le processus de séchage résulte en l’envahissement du tube le plus grand et au maintien de l’interface à l’entrée du tube le plus petit. Ce résultat se généralise à un ensemble de tubes interconnectés. Ainsi, lorsque les effets capillaires dominent, c’est le tube de plus grand diamètre qui est drainé en premier. Bien que le mécanisme physique soit complètement différent (transfert de masse contre déplacement mécanique), on retrouve ici la règle de percolation d’invasion utilisée pour simuler le drainage quasi-statique.
Un autre élément intéressant est le fait que le blocage des interfaces à l’entrée des pores de plus petits diamètres favorise l’existence d’une période à taux de séchage constant.
Les effets visqueux et les effets gravitationnels ont pour conséquence l’envahissement (après une phase d’installation) concomitant des deux tubes. On peut rendre compte que la hauteur des interfaces entre les deux tubes varie comme B-1 dans les cas dominés par la gravité et comme Ca-1 dans les cas dominés par la viscosité. On retrouvera des lois d’échelle similaires concernant les extensions de zones de transition diphasiques dans le cas du réseau tridimensionnel présenté dans le chapitre suivant.
Un autre élément intéressant concerne la nature des écoulements dans la phase liquide. Ceux-ci se font à contre-courant au sens où ils se font dans la direction opposée à la direction du déplacement des interfaces, figure III-6. Ceci est à l’origine de la "stabilité" des fronts se formant lorsque les effets visqueux sont importants.
Vinterface
Flux à contre-courant