A l’aide du code développé, l’objectif du circuit est de faire une première approximation du coefficient de réflexion de l’antenne spirale d’Archimède couplée à des anneaux empilés résonants. Pour cela, nous devons modéliser l’impédance de la spirale et extraire le circuit électrique équivalent du couplage entre notre circuit modélisant les anneaux et le modèle de la spirale.
IV.1. Modélisation de la spirale
En 2007, Ming Lee et al. [II-4] sont les premiers à proposer une modélisation de l’impédance de la spirale d’Archimède à l’aide de la théorie des lignes de transmission. Ils découpent la modélisation de la spirale en deux parties : le comportement en rayonnement et le comportement en propagation. Pour le comportement en rayonnement, ils modélisent la spirale comme une suite continue d’antennes boucles de tailles différentes. La résistance en rayonnement des antennes boucles est bien connue. Pour le comportement en propagation, il propose de modéliser l’antenne comme une ligne de transmission en forme de spirale. La publication montre que ce principe permet un très bon accord entre le modèle utilisé et la simulation. Toutefois la publication ne donne que les grands principes de la modélisation sans préciser le calcul détaillé des éléments de la ligne de transmission.
Plus récemment, en 2014, Teng-Kai Chen et al. [II-5] ont détaillé les calculs. Pour simplifier l’analyse de la structure de l’antenne, ils proposent de « dérouler » les bras de la spirale afin
74 d’analyser une ligne de transmission droite. Les symétries de la spirale permettent de placer un mur magnétique perpendiculaire au plan de la spirale (Figure II-30 (a)). L’utilisation de cette symétrie permet d’étudier la spirale comme une ligne couplée qui est modélisée comme une ligne de transmission à 3 ports (Figure II-30 (b)).
a) b)
Figure II-30:a) Vue d’une antenne spirale avec deux murs magnétiques perpendiculaires placés au milieu des brins de la spirale b) Modèle utilisée de la spirale déroulée.
La structure proposée en Figure II-30 b) avec les conditions de mur magnétiques peut être vue comme la moitié d’un guide d’onde coplanaire excité par un mode pair. En considérant cela, il est possible d’évaluer la capacité et l’inductance linéique de l’antenne spirale à l’aide des équations (II-64) et (II-65).
𝐶 = 2𝜀0𝐾(𝑘𝑎) 𝐾(𝑘𝑎′) (II-64) 𝐿 = 2 𝜇0 𝐾(𝑘𝑎′) 𝐾(𝑘𝑎) (II-65) où { 𝑘𝑎′ = √1 − 𝑘𝑎2 𝑘𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2(𝜋 4𝜒) 𝜒 = 𝑊 𝑊 + 𝑆 (II-66) avec : K l’intégrale complète de première espèce
W la largeur du métal de la spirale S la largeur de la fente de la spirale
Les pertes par rayonnement de l’antenne sont celles d’une antenne boucle à courant uniforme. La résistance de rayonnement d’une antenne boucle est bien connue et son expression peut être trouvée dans [I-1] :
𝑅𝑅𝑎𝑑= 𝜋(𝑟𝑛𝜔𝜇0)2 2𝑍0 ∫ 𝐽12(𝑘𝑟𝑛sin(𝜃)) sin(𝜃) 𝑑𝜃 𝜋 0 (II-67) avec: J1 la fonction de Bessel de premier espèce et du premier ordre
rn le rayon de la spirale où est calculé la résistance de rayonnement k le nombre d’onde
75 La résistance linéique s’obtient en normalisant par le périmètre de la boucle associée à la résistance calculée en (II-68)
𝑅𝑅𝑎𝑑𝑛 = 𝑅𝑅𝑎𝑑
2𝜋𝑟𝑛 (II-68)
Figure II-31: Modèle de la ligne de transmission de la spirale [II-5]
L’impédance de l’antenne s’obtient en calculant le produit des matrices chaînes de N segments de longueur dxn (équation (II-70)). La longueur des N segments est égale à celle des bras de la spirale. Chaque segment est caractérisé par son impédance caractéristique Z0n et sa constante de propagation γn. [𝑉𝑖𝑛 𝐼𝑖𝑛] = [ 𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1] ⋯ [ 𝐴𝑛 𝐵𝑛 𝐶𝑛 𝐷𝑛] ⋯ [ 𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝐶𝑁 𝐷𝑁] [ 1 0] (II-69) [𝐴𝑛 𝐵𝑛 𝐶𝑛 𝐷𝑛] = [ 𝑐ℎ(𝛾0𝑛𝑑𝑥𝑛) 𝑍0𝑛𝑠ℎ(𝛾0𝑛𝑑𝑥𝑛) 𝑌0𝑛𝑠ℎ(𝛾0𝑛𝑑𝑥𝑛) 𝑐ℎ(𝛾0𝑛𝑑𝑥𝑛) ] (II-70) Avec : 𝑍0𝑛 = √𝑅𝑅𝑎𝑑𝑛+𝑗𝐿𝜔 𝐺+𝑗𝐶𝜔 𝛾0𝑛= √(𝑅𝑅𝑎𝑑𝑛+ 𝑗𝐿𝜔)(𝐺 + 𝑗𝐶𝜔) et 𝑑𝑥𝑛 = 𝑟𝑛𝑑𝜃
Le calcul de l’impédance est donc obtenu par discrétisation le long de l’anneau. La taille des cellules élémentaires dxn de la ligne de transmission dépend du rayon. La taille de ces cellules augmente avec le rayon rn. Pour que le calcul reste valable il faut s’assurer que la longueur dxn est très petite devant la longueur d’onde de la fréquence minimum calculée, typiquement dxn << λ/10 (λ longueur d’onde associée à la fréquence minimum que l’on souhaite calculer). En tenant compte de cela, nous pouvons fixer un critère sur le nombre de segments pour lequel la discrétisation est suffisante.
𝑁𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡 ≫ 10
λ ×2𝜋×𝑅𝑚𝑎𝑥×𝑁𝑡𝑜𝑢𝑟 (II-71)
Avec Rmax le rayon extérieur de la spirale et Ntour le nombre de tours de la spirale.
Toutefois, les contraintes géométriques sont plus importantes que ce critère. En effet, les brins de la spirale ne devant pas se chevaucher, il est nécessaire de discrétiser environ 5 fois plus que ce que le critère propose.
La Figure II-32 présente les parties réelle et imaginaire de l’impédance d’entrée d’une spirale d’Archimède. La spirale a un rayon de 8cm et 10 tours. La bande de fréquence sur laquelle est calculée la réponse de l’antenne est [0.8GHz ; 3GHz]. Son impédance est comparée à celle calculée par FEKO.
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a) b)
Figure II-32: Partie réelle a) et partie imaginaire b) de l'impédance d'entrée de la spirale calculée à l'aide de la théorie des lignes de transmissions (bleu) et de la simulation FEKO (orange)
Le calcul de l’impédance d’entrée de la spirale à l’aide du modèle proposée par [II-5] est très proche de celle obtenue par la simulation FEKO. Le modèle proposé est donc un bon choix pour le couplage avec le circuit électrique équivalent utilisé pour les anneaux. L’erreur sur la partie réelle est d’environ 5% lorsque l’impédance d’entrée de l’antenne est stable en fréquence, c’est-à-dire pour des fréquences supérieures à 2 GHz.
IV.2. Circuit électrique équivalent du couplage anneaux-spirale
Les travaux visant à élaborer le circuit électrique équivalent d’une antenne spirale chargée par de mul tiples anneaux ré sonnants n’ont pas abouti. Ils devraient p ermettre de réduire considérablement les temps de calcul pour simuler et concevoir des antennes spirales chargées par des anneaux résonnants couplés.
Cependant, comme nous le verrons dans le Chapitre III, une méthodolo gie ori ginale de conception basée uniquement sur le circuit électrique équivalent présenté dans la section III du présent chapitre semble permettre la conception et l’optimisation d’une antenne spirale chargée par des anneaux résonnants couplés et à motifs.