Corrig´es des exercices - Méthodes numériques appliquées

Exercice 1

(a) ^êñì ^õ ^þý ^ú2

<EUF

ê(ñìaçcñß IR.

Montrons que est contractante sur IR, on a :

donc, d’après la proposition 1, est contractante de rapport de contraction inférieur ou égal à

72 . (b) ^êñì ^õ ^ü ^ú

â Bñ B

çmñ1ßNäý¤þ#çjþqé. Soient^ñ ^ç'ß&ä^{ý£þ(çjþqé}, montrons que

d’après l’inégalité triangulaire

= B

et le rapport de contraction est^x ^õ ^ú

â ÿ

Ainsi, est contractante de rapport^x= ⁷^ú . (d) ^êñì ^õ ^H ^ñüJ .

est d´efinie sur ^ä^ýç¹ü8ä mais n’y est pas lipschitzienne.

En effet, est lipschitzienne sur ^d s’il existe une constante r´eelle ^÷Òï ,

, c’est `a dire que le rapport

donc non bornable sur tout intervalle contenant ^ý ; ainsi ne peut ˆetre lipschitzienne sur ^ä^ýç¹ü8ä.

En fait, on montre que est lipschitzienne sur tout intervalle äæDç¹ü8ä avec

æQ÷¢ý . Sur cet intervalle, ^ó^êñì ^õ ^þ proposition 1, est lipschitzienne de constante^J= ^þ

En conclusion, est contractante sur^é ^ý

ç¹ü8ä.

Exercice 2

(a) Points fixes de ^êñì ^õ ^þ

H ñ

. Rappelons qu’un point fixe de est un point d’abscisse^ñ^Z v´erifiant ^êñì ^õ ^ñ . Par abus de langage, et dans tous les exer-cices qui suivent, on dira que ^ñ est le point fixe de (au lieu de l’abscisse du point fixe de ).

ñ õ þ est clairement la seule solution sur ^£ ^ù1¡ de cette ´equation et est par cons´equent le seul point fixe de .

D´emontrons le autrement :

de la valeur interm´ediaire, il existe un et un seul r´eel ^¥{ß äCï/ÿËþ#ç~é tel que

ÞQê¥qì

õ ï ; celui-ci est donc le seul point fixe de sur äï/ÿËþ#çåé. Le lecteur pourra ais´ement d´emontrer que cela reste vrai sur tout ^£ ^ù1¡ .

(b) Points fixes de ^êñì ^õYK .

Posons ^Þíêñì ^õ¦K ^ýJñ . ^Þ est continue et d´erivable sur IR, et ^Þãóêñì ^õ

ý K

ýþLîvï , donc^Þ est strictement d´ecroissante. D’autre part,^{ÞíêIïÐì} ^õ ^þ

et ^Þíê+þ=ì ^õ ^ú

ýYþJîï . D’après le théorème de la valeur intermédiaire,

il existe un et un seul réel ^¥ ^{ßÈäï/çjþ} ^é tel que ^ÞQê¥qì ^õ ^ï . Ce réel est donc l’unique point fixe de sur ^{äï/çjþqé}. De même, on peut aisément démontrer que cela reste vrai sur tout IR.

êñì

õ ñ ¢ êñíý#ì û õ ï ¢ ñ õ

Donc 2 est l’unique point fixe de sur IR ; ce point fixe est dit triple `a cause de la puissance du terme êñQý"#ì .

(d) Points fixes de ^êñì ^õ êñQý"#ì â üÌñíý

Appliquons le théorème de la valeur intermédiaire à

Þíêñì

En conséquence,^Þãó est strictement croissante sur^é+ýDç â^F ^êPV ^ì ^ä, strictement croissante sur ^é â^F ^ê¤V:çvì ^ä et ^Þ ^ó ^êâ^F ^ê¤V ^ìcì ^îLï . Ainsi, ^ðñ¡ß IR^çFÞ ^ó ^êñì ^îLï , donc^Þ est strictement décroissante.

D’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un et un seul réel

¥tß&ä/§£ç aF

êPV ìqä tel que^Þíê¤¥ ^ì ^õ ^ï . Ce dernier est l’unique point fixe de .

Exercice 3

Montrons qu’il existe un unique r´eel^ñ1ß&ä^Z ^Q ^ý©V:ç ^Q ^üeVVé solution de l’´equation

Þíêñì

ainsi^Þ est monotone. Or,

ÞQê

donc, ^ÞQê^Q ^ýuV ^ì+ÞQê^Q ^üV ^ìî?ï , et d’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique réel^ñ1ßÌä^Z ^Q ^ýWV:ç ^Q ^üuVVé tel que^Þíê)Zñ ^õ ^ïÐì .

Remarquons tout d’abord que si cette m´ethode converge, elle converge bien vers une des racines de ^ÞQêñì ^õ ^ï , si ^ñ^Z est la limite de la suite ^êñDø#ì , alors ^ñ^Z ^õ

äCï/çqþqé alors, grâce au théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique réel

est contractante sur ^{äCïçjþqé} :

On aurait pu aussi la proposition 1, puisque ^ó^ú ^êñì ^õ ^ñ

donc ^ú contractante de rapport ^þt]ï . Ainsi,^ðñö ^{ß¢äï/çjþ} ^é, ^ñDøjùú ^õ³ ^ú ^êñVúcì ^õ

ùú

úëö ö converge vers ^ñ^Z , unique solution

de^ñ ^â ^{ývþjï#ï]ñ} ^õ ^ïü?þ dans ^{äCïçjþqé}.

Si on cherche ^ñ^Z à ^¨ près, on arrêtera les calculs à l’itérationô telle que

Bñ ~ ùúý

ñ ~ B

=R¨ . Ainsi la solution^ñ^Z ici vautï/ÿ_ï/þ=ï#ï#ïþ `a ^þjï´ pr`es.

b) L’autre solution est obtenue grâce à la méthode itérative^ñDø=ùú ^õz

êñDøÐì

þ=ï#ï¶ý

. Cette question est laiss´ee en exercice.

exercice 5

Soit l’´equation ^Þíêñì ^õ ^åñ ^û ^ý¡ñýY ^õ ^ï . Il est clair que ^Þ est continue et d´erivable sur^£ .

On a ^Þíê+þ~ì ^õ ^ý¤þ , ^ÞQê¤#ì ^õ ^þ , donc ÞQêªþ~ìcÞíêP(ìíîÈï . D’autre part, ^Þ ^ó^êñì ^õ

]ñ â ï sur ^ä^þ#çåé. Donc, d’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe

une seule solution^ñß&ä^Z ^þ#çåé telle que^Þíê)Zñì ^õ ^ï .

(a) Etudions la convergence de la suite ^ñDø=ùú ^õ ^ú ^êñDøÐì ^õ ^åñ ^û^ø ^ýc . Tout d’abord, cette suite, si elle converge, conduit bien `a une racine de ^Þíêñì ^õ ^ï car si^ñ^Z est la limite de la suite ^êñDødì , alors

des accroissements finis, il existe^µqø compris entre^ñDø et^ñDøjùú tel que

B ú êñDøjùúmì%ý

Donc

Ainsi, cette suite diverge et la m´ethode est `a rejeter.

(b) ´Etudions la convergence de ^ñDø=ùú ^õ

. Cette m´ethode, si elle converge conduit vers la racine^ñ^Z de^ÞQêñì dans ^ä^þ#çåé, car si^ñ^Z est la limite de

En cons´equence, on ne peut conclure sur la monotonie de

. Cependant on a

óâ

est continue, il existe un voisinage ^¾ de^ñ^Z tel

que^¾ ^ä^þ(çåé, et^{ðñòß¿¾:ç}

B óâ êñì

÷$ . Donc cette méthode ne peut pas converger d’après la proposition 3. En effet, grâce au théorème des accroissements finis, on

a ñDø=ùúµýPñDø ø

ñVú%ýnñö .

. Si elle converge, cette m´ethode conduit `a la racine de ^Þíêñì ^õ ^ï dans ^ä^þ#çåé car si^ñ^Z est la limite de

est strictement contractante d’apr`es la proposition 1. D’autre part,

est monotone, donc

êmäþ#ç~éìÃ äþ#ç*åé. Donc

d’après le théorème du point fixe, la suite

converge vers l’unique racine^ñßNä^Z ^þ#ç*åé de l’´equation^ñ ^õ$

êñì . Calcul numérique de cette racine à ^þ=ïjû près, à partir de^ñö ^õ ^þ :

0 1 2 3 4

ñDø 1 1.144 1.162 1.165 0.165

Donc^ñ^Z ^õ ^þ#ÿËþ est solution de l’équation à ^þ=ïû près.

exercice 6

Soit l’équation^ñ ^õLa^F ^ê+þ ü&ñìMüÌï/ÿ dans ^ù . Considérons la méthode itérative définie par :

ñDøjùú

Montrons d’abord l’existence d’une solution pour cette ´equation.

Soit^ÞQêñì ^õ¶a^F ^{êªþü ñì} ü¡ï/çãý&ñ

ý?ï/ÿ3&î ï , donc ÞíêIï#ìcÞíê+þ~ìíî5ï ; ainsi, d’après le théorème de la

valeur interm´ediaire, il existe une unique racine ñ&ßOäï/çjþqé^Z solution de l’´equation

ÞQêñì

õ ï .

Appliquons la M´ethode du point fixe pour ^êñì ^õYa ^F ^êªþ ^ü&ñì ^{ü ï/ç*} .

est contractante sur ^d ^õ äæçHèFéÅéUï/çjþqé car

Donc, si êcäCæDçFèHéÍìu äæDçFèHé, d’après le théorème du point fixe, il existe une unique racineñß&äæDçFèHé^Z solution de l’équation^Þíêñì ^õ ^ï .

Par exemple, on v´erifie que êmäï/ÿçFï/ÿ3]éÍìÇ äCï/ÿçFïÿ3]é. En effet, ^êIï/ÿ#ì ^õ

ï/ÿb/ÿWÿËÿD÷¡ïÿb et ^{êIï/ÿ3Ðì} ^õ ï/ÿb3/ÿWÿËÿÝîvïÿ3 .

Calcul numérique de cette racine à ^þ=ïj ^â et ^þjïû près :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ñDø 0.7 0.730 0.748 0.758 0.764 0.767 0.769 0.770 0.771 0.771 Ainsi la racine cherchée est^ñ^Z ^õ ^ï/ÿ à^þjï ^â près, et^ñ^Z ^õ ^ï/ÿþ à ^þ=ïû près.

exercice 7

Soit l’équation^ñ ^õY ^êñì où ^êñì ^õ ^ý â^F ^ñ .

1. 1) Posons ^Þíêñì ^õ ^ñPý ^êñì ^õ ^ñ ^ü â ^F ^êñì , ^ðñ5ß IR^¡ ^ù . Appliquons le théorème de la valeur intermédiaire à^Þ sur ^äCæDçjþ ^é où^{ïî¡æÃ=8þ} .

Þ est continue sur ^{äæDçjþqé},ð7æQßMéÍïçjþqé.ðñß&äæDçjþqé,^Þ ^ó^êñì ^õ ^þdü ^ú et^Þ ^ó^êñìi÷

ï , donc^Þ est strictement monotone sur ^{äCæDçjþqé}. D’autre part on a^ÞQêªþ~ì ^õ ^þQ÷¢ï , et comme âÊUÈ existeæQßMéÍïçjþqé tel queâ^F êIæìiî¢ýzæíîvï ; par conséquent,Þíê+þ~ì+ÞQêëæìî¡ï , et d’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique^ñ{ß^Z

äæçqþqé (d’ouñ1ßMéÍï/çqþqé^Z ) tel que^Þíê)Zñì ^õ ^ï , et donc tel que^ñ^Z ^õY ^ê)Z^ñì ^õLa ^F ^ñ^Z .

2) Si^ñDøjùú ^õY ^êñDø#ì converge, elle conduit bien à la racine de l’équation car cette dernière vérifie^ñ^Z ^õ$ ^ê)Z^ñì donc

êñDøÐì diverge pour toutñöß&äæçqþdä.

3) ^ú existe car est continue et strictement croissante donc bijective.

Montrons que^ñDø=ùú ^õY ^ú ^êñDødì est convergente.

Attention à la notation utilisée : ^ú désigne la réciproque de et non

Or, ^Í ^ú ^õ ^dÏ , donc ^ê ^Í ^ú ^ì ^ó ^õ ^þ . On a bien alors ^ê ^ú ^ì ^ó ^êñì ^õ

part, grâce au théorème des accroissements finis on sait qu’au voisinage de^ñ^Z , il existe^µqø compris entre^ñDø et^ñ^Z tel que : de signes opposés, par conséquent deux itérations successives donnent un encadrement de^ñ^Z .

5) Un test d’arrˆet des it´erations est :

Calcul numérique de la racine à ^þjïû près. Soit donc la méthode^ñDøjùú ^õ

et^ñö ^õ ^þ

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ñDø 1 0.367 0.692 0.500 0.606 0.545 0.579 0.560 0.571

9 10 11 12 13 14 15

ñDø 0.564 0.568 0.566 0.567 0.566 0.567 0.567 Ainsi la racine cherchée est^ñ^Z ^õ ^ï/ÿb à ^þjïû près.

2. M´ethode de Newton.

Soit ^Þíêñì ^õ ^ñ ^ý ^K ^õ ^ï , ^Þ est clairement ind´efiniment d´erivable. La

m´ethode de Newton s’´ecrit,

ñDøjùú

ñDøãý

ÞíêñDø#ì

Þ ó êñDø#ì

ñDøãý ñDøãý

þ ü K ÿ

D’autre part on a^{ÞíêIïÐì} ^õ ^{ý£þ¤îvï} et^ÞQêªþ~ì ^õ ^þý ^ú

÷vï , doncÞíê+þ=ìcÞíêIïÐì îï

et la racine est situ´ee dans ^{äCï/çqþqé}, elle est unique puisque ^Þ est strictem-net monotone, car ^Þãóêñì ^õ ^þ£ü ^K ^÷ ^ï pour tout ^ñÒßÔ£ . On a aussi

Þ óóêñì

õ ý K

îOï pour tout^ñ ^ß¼£ . Ainsi d’après le théorème de conver-gence globale de cette méthode (voir théorème 3), pour tout ^ñö ß?äCï/çqþqé tel

que ^{ÞQêñöaìcÞ} ^ó^ó ^êñöaì ^÷ ^ï l’it´eration de Newton converge. Prenons alors, par

exemple,^ñö ^õ ^ï , alorsÞíêIïÐì+ÞãóóêëïÐì

þt

÷¡ï , donc la m´ethode

ñDø=ùú

ñDøãý ñDøãý

þü

ñö

convegera vers l’unique racine^ñ^Z de l’´equation.

Calcul num´erique

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