Transformée d'Abel dans C0pr0,1sq et dans C1pr0,1sq
1. (a) Si xP r0,1r et1´xąą0 alors ż1 x` dt ? t´x “2p ? 1´x´?q Ñ2?1´x si tend vers0. L'intégrale est donc convergente et vaut 2?1´x. (b) Comme |fptq| ? t´x 6}f}8 1 ? t´x, l'intégrale ż1 x fptq ? t´xdt est absolument convergente, donc convergente. De plus
| ż1 x fptq ? t´xdt|62}f}8 ? 1´xÑ0,quandxÑ1. 2. On eectue le changement de variable t“ p1´uqx`u“x`up1´xq :
Afpxq “ ż1 0 fpx` p1´xquq a up1´xq p1´xqdu“?1´x ż1 0 fpx` p1´xquq ? u du.
3. Posons ϕpxq “ ż1 0 fpx` p1´xquq ? u du, de sorte que Afpxq “ϕpxq?1´x.
Comme x ÞÑ ?1´x est continue sur r0,1s, il sut de montrer que ϕ l'est aussi. Mais ϕpxq “ ş1
0Fpu, xqdu où
Fpu, xq “ fpx` p1´xquq ?
u .
Soit alors x P r0,1s et pxnq une suite de points de r0,1s convergeant versx. Alors Fpu, xnq Ñ Fpu, xq pour tout uPs0,1s.De plus,
|Fpu, xnq|6gpuq “ }f}8
? u
où g est une fonction de L1pr0,1sq. Le théorème de convergence dominée s'applique et prouve queϕpxnq Ñϕpxqet donc queϕ est continue surr0,1s.
On peut aussi pour prouver le résultat invoquer le thórème général (dont le raisonnement précé-dent ramène la preuve au théorème de convergence dominée) :
Si la fonctionxÞÑFpu, xq est continue pour presque toutuP r0,1set si|Fpu, xq|6 }f?}8
u qui est une fonction intégrable, alors la fonction ϕest continue surr0,1s.
Passons à la continuité de A. On peut écrire
|Afpxq|6}f}82?1´x62}f}8,
ce qui prouve que}A}62, et la considération de la fonction constante1 implique}A} “2. 4. (a) On rappelle queAfpxq “ϕpxq?1´xoù ϕest continue surr0,1savec ϕp1q “2fp1q : dans
le cas oùfp1q “0on en conclut que Afpxq „2fp1q?1´x au voisinage de1. (b) Comme Afp1q “0on peut écrire
|Afpxq ´Afp1q x´1 | “ | Afpxq x´1| „xÑ1| ´2fp1q ? 1´x| Ñ `8 quandxÑ1.
5. (a) On reprend les notations de IA5 : il sut de montrer que ϕest de classeC1 surr0,1s. Soit donc comme plus haut xP r0,1setxnP r0,1sune suite convergeant vers x. Alors
ϕpxnq ´ϕpxq xn´x “ ż1 0 Hnpuqdu où Hnpuq “ fpu`xnp1´uqq ´fpu`xp1´uqq pxn´xq?u Ñ p1´uqf1 pu`xp1´uqq ? u , uPs0,1r. Par ailleurs, par le théorème des accroissements nis,
|Hnpuq|6 p1´uq}f
1
}8
?
u “Hpuq,
oùHPL1pr0,1sq. Le théorème de convergence dominée s'applique et nous permet d'armer queϕ est dérivable surr0,1set que
ϕ1 pxq “ ż1 0 p1´uqf1 pu`xp1´uqq ? u du.
On montre alors comme dans IA5 queϕ1est continue surr0,1s; on en déduit immédiatement queAf est de classeC1 surr0,1r.
Comme plus haut, on peut aussi invoquer pour cette question un théorème général : Si la fonction xÞÑFpu, xq est de classeC1 pour presque toutuP r0,1set si
|BF
Bxpu, xq|6Hpuq
avec H PL1, alors la fonction ϕ est de classe C1 sur r0,1set que sa dérivée s'obtient par dérivation sous le signe ş
.
(b) Par dérivation du produit donnant Af, pourxP r0,1r,
pAfq1pxq “?1´xϕ1pxq ´ ϕpxq
2?1´x.
La fonction ϕ1 étant continue surr0,1s, le premier terme de cette somme tend vers0 en 1; par ailleurs on observe tout d'abord quefp1q “0ñϕp1q “0, et donc que
ϕpxq 2?1´x “ ϕpxq ´ϕp1q 2?1´x “ ´2 ? 1´xϕpxq ´ϕp1q 1´x Ñ0 quandxÑ1, carϕest dérivable en 1.
On en déduit quepAfq1pxq Ñ0quandxÑ1et puis queAf est de classeC1 surr0,1s.C'est en eet une simple application du théorème des accroissements nis que de dire queAf est dérivable en1avec dérivée nulle, comme conséquence du fait que la dérivéeAf1pxqconverge vers 0quand xÑ1.
La formule d'inversion
1. On fait le changement de variable t“ p1´uqa`ub:
żb a dt a pb´tqpt´aq “ ż1 0 pb´aqdu a p1´uqpb´aqupb´aq “ ż1 0 du a up1´uq. On observe ensuite que
up1´uq “u´u2 “ 1
4 ´ pu´ 1 2q
2
et on fait le changement de variable v“2pu´ 12q, ce qui donne
ż1 0 du a up1´uq “ ż1 ´1 dv ? 1´v2 “π, comme on le voit en faisant le dernier changement de variablev“sinθ. 2. L'application V envoieC0pr0,1sq dansC1pr0,1sq ĂC0pr0,1sqet
@xP r0,1s,|V fpxq|6}f}8,
ce qui prouve que}V}61et la considération de la fonction constante 1montre que }V} “2. 3. Soit f PC0pr0,1sqetxP r0,1r : ApAfqpxq “ ż1 x Afptqdt ? t´x “ ż1 x 1 ? t´x ˆż1 x 1rt,1spuqfpuqdu ? u´t ˙ dt.
La fonction
pt, uq ÞÑ 1rt,1spuq|fpuq|du a
pt´xqpu´tq
est intégrable surrx,1s ˆ rx,1scar
ż1 x ż1 x 1rt,1spuq|fpuq|du a pt´xqpu´tqdtdu6}f}8 ż1 x du ˜ żu x dt a pt´xqpu´tq ¸ 6π}f}8p1´xq. On peut donc appliquer le théorème de Fubini pour obtenir
A˝Afpxq “ ż1 x fpuq ˜ żu x dt a pt´xqpu´tq ¸ du“πV fpxq. 4. Af “0ñA˝Af “0ñV f “0, maisf “ ´pV fq1 “0.
5. (a) ImV “ tf P C0pr0,1sq; fp1q “0u. L'inclusion Ă est évidente ; pour l'inclusion inverse on observe que si gPC1pr0,1sq etgp1q “0, alors g“ ´V g1.
(b) 1) Si hPImA alorsh“Af et donc Ah“πV f PC1pr0,1sq ethPA´1
pC1pr0,1sqq.
2) Si AhP C1pr0,1sq alors, comme Ahp1q “0,Ah “Vp´pAhq1q “ ApπAp´Ahq1 et donc, par l'injectivité de A,
h“Ap´πpAhq1q PImA. (c) SigPC1pr0,1sqetgp1q “0 alorsg“ ´Vpg1
q “Ap´π1Apg1
qq PImA. 6. On suppose que g“Af : alors Ag “πV f et donc f “ ´1{πpAgq1. Un semi-groupe d'opérateurs
1. Sur rx,1s on a |pt´xqα´1fpxq| 6 }f}8pt´xqα´1 et ş1
xpt´xqα´1dx converge par le critère de Riemann. Vαfpxq est donc bien déni et, par le même changement de variable qu'au IA4) on obtient Vαfpxq “ 1 Γpαqp1´xqα ż1 0 uα´1fpx` p1´xquqdu et on montre comme dans IA4) que Vαf est continue.
En ce qui concerne l'application linéaireVα, sa continuité découle de
}Vαf}86 1 Γpαq}f}8 ż1 0 uα´1du“ 1 αΓpαq}f}8.
On peut remarquer (non demandé) que la considération de la fonction constante 1 conduit à montrer que }Vα} “ 1 αΓpαq. 2. VαVβfpxq “ Γp1αqşx1Vβfptqpt´xqα´1dt “ 1 ΓpαqΓpβq ż1 x pt´xqα´1 ˆż1 x pu´tqβ´11rt,1spuqfpuqdu ˙ dt. On montre comme plus haut que le théoréme de Fubini s'applique et que
VαVβfpxq “ 1 ΓpαqΓpβq ż1 x fpuq ˆżu x pt´xqα´1pu´tqβ´1dt ˙ du.
On eectue alors le changement de variable t“ p1´sqx`xs dansşu
x que l'on désigne par I : I “ pu´xqα`β´1
ż1 0
sα´1
p1´sqβ´1ds. On applique alors le résultat rappelé dans l'introduction :
I “ ΓpαqΓpβq Γpα`βqpu´xqα`β´1. Finalement, VαVβfpxq “ 1 Γpα`βq ż1 x fpuqpu´xqα`β´1du “Vα`βfpxq.
3. Notons Vpnq “V ˝V...˝V (n fois) et montrons par récurrence que Vpnq “Vn. C'est vrai pour n “1. Si la propriété est vraie au rang n alors, par la question précédente, Vn`1 “V ˝Vn “ V ˝Vpnq
“Vpn`1q d'après l'hypothèse de récurrence. Enn V1{2fpxq “ 1 Γp1{2q ż1 x fptqdt ? t´x “ 1 Γp1{2qAfpxq. 4. En utilisant le résultat admis dans l'introduction, on en déduit que
Afpxq “?πV1{2fpxq. 4.3.2 La transformée d'Abel et les espaces Lp
1. (a) On considère l'espace de probabilitépR,|hpx´tq|dtq.L'inégalité de Hölder permet de mon-trer que les normes Lp sur cet espace sont croissantes. On a donc, sif est mesurable,
ż R |fptq||hpx´tq|dt6 ˆż R |fptq|p|hpx´tq|dt ˙1{p , d'où l'on déduit l'inégalité demandée.
(b) Pour le reste de la question on suppose tout d'abordg‰0sans quoi il n'y a rien à démontrer, puis on pose h“g{}g}1. Supposons d'abord f, h>0 : alorsf ˚h a un sens (ni ou inni) et l'inégalité que l'on vient de démontrer permet d'écrire
ż |f ˚h|pdx6 ż R ż R |fptq|p|hpx´tq|dt “ ż R |hpx´tq| ˆż R fptqpdt ˙ dx“ }f}pp,
et l'on obtient l'inégalité désirée en remplaant dans le membre de gaucheh parg{}g}1. Le cas général (sans hypothèse de signe) est alors une conséquence du théorème de Fubini. 2. Par dénition du produit de convolution, Epfq ˚rpxq “şREpfqptqrpx´tqdt. Le support de la
fonction Epfqest inclus dansr0,1s, et celui de la fonctiontÞÑrpx´tqest inclus dansrx,1`xs. On voit donc que sixP r0,1salors
Epfq ˚rpxq “ ż1 x fptqdt ? t´x “Afpxq dans le cas oùf est continue.
3. ((a) et( b))On déduit de la question précédente que l'expression qui dénit Af lorsque f est continue garde un sens (pp) lorsque f P Lppr0,1sq et que de plus l'application linéaire A ainsi dénie est un opérateur de Lp. Comme C0pr0,1sq est dense dans Lp, cet opérateur est bien l'unique prolongement continu deA àLp. Le cas deV est similaire ; tout d'abord l'expression de V f garde un sens pour f P Lp car Lppr0,1sq Ă L1pr0,1sq. Ensuite }V f}p 6}V f}8 6 }f}p par l'inégalité de Hölder.
4. (a) Soit f PLppr0,1sqtelle que V f “0: alors
@xăy P r0,1s, ży
x f “0
etş
IpEpfqpxqdx“0pour tout intervalleIdeR. Mais alors, pour toutxPR,Epfq˚ϕpxq “
1{şrx´{2,x`{2sEpfqptqdt“0.
(b) Par ailleurs pϕq est une identité approchée et donc Epfq ˚ϕ Ñ Epfq dans L1 quand Ñ0. On en déduit queEpfq “0. L'opérateurV est donc injectif et l'identitéA˝A“πV implique que A l'est aussi.
(c) La même identité prouve que siA était surjective,V le serait aussi, or V ne peut l'être car ImV ĂC0pr0,1sq. Ce dernier point est une conséquence du théor
`eme de convergence dominée : soit en eet x P r0,1s et pxnq une suite de cet intervalle convergeant vers x : alors|V fpxq ´V fpxnq| “ş011rx,xnsfpxqdx et on a immédiatement, en posant fnpxq “1rx,xnsfpxq, quefnÑ0 p.p. et|fn|6|f| PL1.
5. (a) On a rPLqpRqcarq ă2; c'est une application immédiate du critère de Riemann pour les intégrales généralisées surR en0.
(b) Rappelons le principe de Banach : Si pTnq est une suite d'applications linéaires continues de l'espace normé E dans l'espace normé F telle que DM > 1;@n}Tn} 6 M et telle que Tnf Ñ0 quandnÑ 8pourf PD, une partie dense deE, alorsTnf Ñ0pour toutf PE. Donnons une démonstration de ce principe que nous allons utiliser à plusieurs reprises dans la suite. Soit donc f P E et ą 0 : on veut montrer qu'il existe n0 P N tel que n > n0 ñ }Tnf} 6 ; on commence par utiliser la densité de D : il existe g PD tel que
}f ´g} ă 2M . On xe alors cet élément g et on utilise l'hypothèse : il existe n0 tel que
}Tng}6{2pour n>n0. Si maintenant n>n0 on écrit
}Tnf}6}Tnpf ´gq} ` }Tng}6, ce qu'il fallait démontrer.
On considère alors x P r0,1s et une suite pxnq de points de r0,1sconvergeant vers x : On applique le principe de Banach à E “ Lq “F et Tnpfq “ τxnpfq ´τxpfq. Il est clair que
}Tn} 6 2. Montrons que Tnpfq Ñ 0 si f est continue à support compact. Soit ra, bs un intervalle en dehors duquel τxf est nulle. Pour nassez grand toutes les fonctions τxnf ont leur support inclus dansra´1, b`1s. Par ailleurs la fonctionτxf est uniformément continue surR et donc τxnf converge uniformément versτxf surra´1, b`1s; on en déduit que
}Tnpfq}16pb´a`2q}Tnpfq}8 Ñ0
quand n tend vers `8. L'espace des fonctions continues à support compact étant dense dansLp, le principe de Banach permet de conclure.
(c) On peut écrireAfpxq “ş01fptqτxrptqdtet donc, x, yétant deux réels de r0,1s,
|Afpxq ´Afpyq| “ | ż1
0
fptqpτxrptq ´τyrptqqdt|6}f|p}τxr´τyr}qÑ0, y Ñx par la question précédente. L'opérateurAenvoie doncLpdansC0et une nouvelle application de Hölder donne
(d) Le théorème d'Ascoli nous dit que pour montrer que ApBpq est d'adhérence compacte, il sut de montrer que c'est une partie bornée et équicontinue de C0. Le fait que c'est une partie bornée se déduit du fait que si f PBp alors}Af}8 6}r}q. L'équicontinuité découle de l'inégalité
|Afpxq ´Afpyq|6}τxr´τyr}q
vraie pour f PBp et de la continuité de l'application xÞÑτxr de r0,1sdansLq. 6. (a) On peut écrire ş
fλptq2dt“ ´şu1u´λ où uptq “lnp1{tq. La primitive deu1u´λ est u1´λ
{p1´λq
(ou bienln lnusiλ“1) : il y a donc convergence (en 0, la seule singularité) si et seulement si λą1.
(b) On applique le lemme de Fatou :
lim inf xÑ0 ż1{2 x t´1{2 pln1tq´λ{2 ? t´x dt> ż1{2 0 dt tpln1tqλ{2 “ `8 si λă2.
(c) Il sut de prendrefλ avec1ăλă2.
7. (a) On écrit pour x P r0,1s,|Vnfpxq| “ |Vn´1V fpxq|6 }V f}8
pn´2q!
p1´xqn´1
n´1 et donc}Vnf}1 6 }f}1
n! . On en déduit que }Vn}1{n6n!´1{n qui tend vers0quand ntend vers l'inni car
n!1{n“exppln 1`..`lnn
n q Ñ 8
par le théorème classique sur les moyennes de Cesaro. (b) }A2n}1{2n“aπ}Vn}1{nÑ0 et}A2n`1
}1{p2n`1q6}A}1{p2n`1q`π}Vn}1{n˘n{p2n`1qÑ0. 8. Pour tassez grand,
ptI`Aq´1 “ 1 tpI` A tq ´1 “ ÿ n>0 p´Aqn tn`1 .
Mais d'après ce qui précède, le rayon de convergence de la série est inni ; l'écriture précédente est donc valable pour tout tą0.
4.3.3 Sphères aléatoires
1. Les deux lois étant indépendantes, la loi du couple est la mesure de densité fprqdrdh
surr0,1s ˆ r0,1s.
2. PpX “0q “PpH >Rq “ş01p1´rqfprqdr.
3. PpX ąxq “PpH2ăR2´x2q “şx1?r2´x2fprqdr.
4. On poseθpxq “?x : c'est un homéomorphisme der0,1ssur lui-même dont la restriction às0,1r
est un diéomorphisme. Alors Vθ : f ÞÑ f ˝θθ1 est un isomorphisme isométrique de L1pr0,1sq
comme on le voit par la formule du changement de variable et par le fait que V´1
θ “Vθ´1. 5. (a) On eectue le changement de variable v“r2 “θ´1
prq dans l'intégrale ; cela donne ψpuq “u ż1 u2 ˜ fpvqdv ? v´u2 “ 1 2Af˜pθ ´1 puqqpθ´1 q1puq,
qui est bien une fonction de L1 par la formule du changement de variable et le fait que Af˜PL1 par la question précédente et les résultats de la partie II.
(b) L'égalité admise découle du fait que a r2´x2 “ ´ żr x B Bup a r2´u2qdu“ żr x u ? r2´u2du. En remplaçant dans l'expression plus haut on obtient
PpX ąxq “ ż1 x ˆż1 x u1rx,rspuqdu ? r2´u2 ˙ fprqdr.
Par le théorème de Fubini on peut intervertir, ce qui donne le résultat demandé.
(c) On en déduit que pour tout intervalle I de s0,1s,PpX PIq “şIϕ et donc que pour tout intervalle I Ă r0,1son aPpXPIq “PXpIq.
6. On a montré dans III.5.a que
ψ“ 1
2Vθ´1pA ˜
fq.
Le résultat demandé s'obtient alors en prenant l'image par Vθ des deux membres. 7. On fait agir A sur les deux membres de l'égalité du III.6 :
2Aψ˜“A˝Af˜“πVf ,˜ et l'on conclut par le changement de variable xÞÑx2.
8. Le calcul est tout à fait similaire au précédent : on remarque simplement queX “0siH >R` et queX “R sih6. On peut alors écrire, si xPs0,1s,
PpX ąxq “PpXąx, H 6q `PpXąx, H ąq “PpRąxqPpH 6q `PpXąx, H ąq “ pIq ` pIIq.
En utilisant l'indépendance de R etH on obtient
pIq “
1` ż1
x
fprqdr.
An de calculer pIIq on observe tout d'abord que siH ąalorsX est donné par le rayon d'un cercle intersection de la sphère avec un plan à distanceH´du centre. On a donc
pIIq “PpăH ă a R2´x2`q “ 1 1` ż1 x pr2´x2qfprqdr. On conclut alors successivement :
p1`q ż1 x Φpuqdu“ ż1 x fprqdr` ż1 x ψpuqdu, p1`qΦ“f`ψ, p1`qΦ˜ “f˜`ψ,˜ p1`qΦ˜ “f˜` 1 2A ˜ f , ce qui constitue le résultat demandé.
4.3.4 Problèmes bien et mal posés
1. ((a)et (b)) : Si le problème Af “ g était bien posé on aurait l'existence d'une constante cą 0
telle que pour tout f P L1, }Af} > c}f}. Mais alors A serait d'image fermée, et donc serait surjectif car il est aussi d'image dense , ce que l'on a vu être faux. Par contre on a vu que pour touttą0 tI`A est un isomorphisme ; le problèmeptI`Aqf “g est donc bien posé.
2. (a) On part de l'équation
tft,V `V ft,V “V h.
On sait que ft,V P L1, ainsi que h. On a donc V ft,V, V hPC0 et donc a fortiori ft,V PC0 aussi et donc y“V ft,V PC1.
Mais alors , comme yp1q “ 0, on a y “ ´V y1 et ft,V “ ´y1, ce qui prouve que V fs est solution de
y1´ y t “ ´
V h
t . (4.4)
(b) De (4.4)on déduit que
fs “ ´y1 “ V h s ´ 1 s2 ż1 x ex´us V hpuqdu. Par une intégration par parties on obtient alors :
´y1 “ V h s ´ 1 s ż1 x p1´ex´us qhpuqdu “ 1 s ż1 x ex´us hpuqdu“Ephq ˚ψspuq. 3. (a) }psI`Vq´1V h} “ }h˚ψs}6}h}. (b) psI`Vq´1V “I´spsI`Vq´1V et donc }spsI`Vq´1V “ } “ }I´sI`Vq´1V}62. (c) - première méthode :pψsq, są0est une approximation de l'identité.
- deuxième méthode : On applique le principe de Banach à Tt “ ptI `Vq´1V ´I. Cette famille est uniformément bornée par ce que l'on vient de voir. D'autre part soitD“VpL1q: c'est un sous espace dense de L1 car il contient les fonctions de classe C1 nulles en 1. Si h“V kPD alors
}Tth} “ } ´tptI`Vq´1V k}6Ct}k} Ñ0
quandtÑ0.
4. On intègre la fonction zÞÑ pz`t2zqpαz`xq sur le chemin qui va deàRle long de l'axe réel prolongé par le cercle de centre 0 et de rayon R parcouru une fois dans le sens trigonométrique, continué par le chemin le long de l'axe réel de R à et terminé par le cercle de centre 0 et de rayon parcouru une fois dans le sens des aiguilles d'une montre. En faisant tendrevers 0etRvers 8
on obtient p1´e2iπαq 2iπ ż8 0 sαds ps`t2qps`xq “ p´t2qα x´t2 ` p´xqα t2´x “eiπαx α ´t2α t2´x d'où le résultat découle.
5. Par la formule du 4), |ptI` A πq ´1 }6 2 π ż8 0 ds ? sps`t2q. On fait le changement de variable s“t2udans la dernière intégrale :
ż8 0 ds ? sps`t2q “ 1 t ż8 0 du ? up1`uq “C{t.
6. Par la question précédente et la formule
tptI`Aq´1` ptI`Aq´1A“I
on voit qu'il existe une constanteC ą0 telle que}ptI`Aq´1A}6C. Maintenant ft´h“ ptI`Aq´1Ah´h“ ´tptI`Aq´1h
et si de plus hPImA, soit h“Ak, alors
}ft´h}6t}ptI`Aq´1A}}k}6Ct}k} Ñ0
avec t.
7. On conclut avec le principe de Banach : SoitTt“ ´tptI`Aq´1 de sorte queft´h“Tth. On a montré que }Tt}6C et que
TthÑ0
si h P ImA qui est dense dans L1pr0,1sq; par le principe de Banach Tth Ñ 0 pour tout h P L1pr0,1sq.
4.3.5 Annexes Annexe 1
Le résultat démontré dans la partie IV tombe en défaut pourtă0. Plus précisément soit pourtą0, ft la solution de
pA´tIqft“g,
où g “ Ah, h P L1. S'il était vrai que ft Ñ h dans L1 pour tout h P L1, alors le théorème de Banach-Steinhaus impliquerait qu'il existe une constanteM ą0telle que
@tą0,}pA´tIq´1A}6M. (4.5) Mais alors il existerait une autre constanteM1 ą0 telle que
@tą0,}pV ´tIq´1V}6M1, comme on le voit en écrivant l'identité
pV ´tIq´1V “ pA´ ?
tIq´1ApA` ?
tIq´1A.
Montrons que l'inégalité (4.5) n'est pas possible : un calcul en tous points analogues à celui fait plus haut montre que
ftpxq “ 1
t ż1
x
eu´xt hpuqdu.
Considérons alors le cas particulier oùh est identiquement égale à1. Dans ce cas tout est explicite, et en particulier
ftpxq “e1´xt ´1, et}ft}1 “te1{t
´t´1Ñ 8, tÑ0.on en déduit que
}pA´tIq´1A} Ñ 8
Annexe 2
Nous indiquons ici brièvement comment démontrer le résultat admis sur le calcul fonctionnel holo-morphe.
Soit α ą0, T “V `αI,F une fonction holomorphe sur CzR´, et Rą0,0 ăh ăα. On peut alors dénir fpTq “ 1 2iπ ż γh,R fpzqpzI´Tq´1dz et l'on montre (c'est le calcul fonctionnel holomorphe) que
fpTq ˝gpTq “f gpTq
si g est une autre fonction holomorphe dans CzR´. Dans cet énoncé, le lacet γh,R est donné par la gure suivante :
le résultat provient alors de l'écriture de fpTq avec fpzq “ 1
t`?z suivi de trois passages à la limite, successivement
hÑ0, RÑ 8, αÑ0. Annexe 3
Dans la partie III l'équation est un peu diérente mais le résultat est le même :
ptI`Aqft“ p1`tqAh. Mais alors
ft“ p1`tqptI`Aq´1Ah qui converge aussi bien vers h lorsque hÑ0.
Chapitre 5
Épreuves orales : Algèbre et Géométrie ;
Analyse et Probabilités ; Mathématiques
pour l'Informatique ;
Informatique-Option D
5.1 Organisation des épreuves 2014
Tous les candidats tirent un couple de sujets. Le candidat est libre de choisir le sujet qui lui plait. À l'issue de la période de préparation qui dure 3 heures pour "Analyse et Probabilités" et 3h30 pour l'épreuve "Algèbre et Géométrie" ou "Mathématiques pour l'Informatique" (cette extension de 30mn est due au temps de préparation de l'épreuve "Agir en fonctionnaire de l'État et de façon éthique et responsable", voir le chapitre 7) durant laquelle le candidat dispose des livres de la bibliothèque de l'Agrégation ou de ses propres ouvrages s'ils ne sont pas imprimés par le candidat lui-même (avec un numéro ISBN et non annotés1) mais n'a pas accès à Internet (ni bien-sûr à son téléphone portable ou tout autre objet électronique2!), le jury fait procéder à la photocopie des plans préparés par les can-didats. Ces derniers sont manuscrits, comportent 3 pages A4 au maximum et possèdent une marge de 1 cm sur tous les côtés an d'éviter tout problème lors de la photocopie. Il est conseillé de ne pas utiliser de stylos de couleurs. Il est en revanche conseillé de soigner la présentation du plan écrit, de mettre des titres, d'encadrer les formules, etc. pour qu'il soit le plus lisible possible. En particulier il est vain de vouloir écrire petit dans l'espoir de placer plus de contenu ; on perd en clarté et le jury n'est pas disposé à utiliser une loupe. Les plans peuvent être complétés par une quatrième page consacrée aux gures. Il faut noter clairement sur le plan les développements proposés.
Le candidat peut utiliser sa copie du plan pendant toute l'épreuve et pourra utiliser les notes manus-crites produites durant la préparation, pendant la première phase de l'interrogation dite présentation
1. Les rapports de jury de l'agrégation externe de mathématiques, complets et reliés sont autorisés. 2. Les calculatrices ne sont pas autorisées, ni les clés USB, etc...
du plan . Notons toutefois que le jury peut restreindre cette utilisation durant la période consacrée au développement, si le plan comporte lui-même trop de détails sur les développements proposés ! L'épreuve s'organise en trois temps, prévus pour une durée totale d'un maximum de 50 minutes envi-ron : une présentation du plan éventuellement suivie d'une brève discussion, un développement de 15 minutes maximum et enn une partie consacrée au dialogue et aux questions.
Le jury ne cherche pas à déstabiliser le candidat pendant l'épreuve. 5.1.1 Première partie : présentation du plan
Le candidat est convié à utiliser son temps de parole, 6 minutes maximum, pour présenter, argu-menter, mettre en valeur et faire une synthèse de son plan.
Le plan écrit n'est ni une énumération de paragraphes, ni un exposé complet avec développement des démonstrations. Il dénit avec précision les notions introduites, donne les énoncés complets des ré-sultats fondamentaux, cite des exemples et des applications. La formalisation mathématique doit être soignée et l'utilisation des symboles mathématiques correcte. Le jury conseille vivement aux candi-dats de soigner tant leurs écrits que leur expression orale. Le plan doit être maîtrisé, c'est à dire que les résultats exposés doivent être compris ainsi que l'organisation d'ensemble. Il est souhaitable que le candidat connaisse dans leurs grandes lignes les démonstrations des résultats gurant au pro-gramme du concours : le jury pourra appliquer ce critère pour évaluer la maîtrise du plan. C'est au candidat de circonscrire son plan, notamment en ce qui concerne les énoncés débordant largement le cadre du programme. Le jury ne cherche pas des plans absolument originaux, le plus important est que le plan soit bien structuré, maîtrisé par le candidat et qu'y gure une quantité substantielle d'exemples. Il s'agit d'une épreuve orale, il est donc inutile de recopier le plan au tableau, dans la mesure où le jury possède une copie du texte. Toutefois il peut être pertinent d'utiliser le tableau pour écrire l'ar-chitecture du plan, les théorèmes importants ou un exemple signicatif, voire faire un dessin !
Il est souhaitable que le candidat utilise son temps de parole pour expliquer de façon systématique les articulations principales de son plan. Les détails techniques, s'ils sont clairement écrits dans le plan, pourront ne pas être repris oralement. Le candidat peut faire un bref exposé introductif et com-menter utilement ensuite ses résultats principaux, les outils développés, l'organisation d'ensemble et les méthodes utilisées. Il peut être utile de consacrer du temps à un exemple pertinent qui éclaire la problématique de la leçon, à faire usage du tableau pour illustrer ses propos.
Le plan est malheureusement rarement commenté. Le candidat se contente trop souvent d'une pré-sentation linéaire, sans expliquer ou mettre en valeur les articulations du plan, ni faire ressortir les méthodes ou les résultats importants. Parfois le candidat se met à parler extrêmement rapidement, ce qui rend incompréhensible les mathématiques présentées. Si le candidat énonce un théorème particu-lièrement dicile, il faut qu'il soit contextualisé en montrant comment il répond à des problématiques