Correspondances dans le cas le plus général

ρcosθ x  (2.28) ϕc=arcsin  r sinθ r  (2.29) Pour obtenir la correspondance avec la cellule de la grille atmosphérique, il suffit de retrouver les in-dices de la cellule in_l, in_ϕ et in_λ contenant le point de coordonnées (rc, ϕ_c, λ_c). Comme nous l’expliquions dans le paragraphe précédent, la résolution en x de la maille est adaptative car elle dépend du nombre de sous-parcours effectués par les rayons d’échantillonnage. Elle est donc déterminée à cette étape du traite-ment de la simulation. Pour déterminer cette résolution, calculer les distances parcourues et assigner les indices correspondant, nous posons pour critère que le rayon change :

• de champ de longitude lorsqu’il intercepte le demi-disque caractérisé par la longitude λi= (iλ+ 0,5)∆λ ,

• de champ de latitude lorsqu’il intercepte le cône de demi-angle égale à ϕi= −π/2 + (iϕ+0,5)∆ϕ • de couche lorsqu’il intercepte la sphère de rayon z = inl∆r.

Avec un paramètre de tirage ω, et une simulation de résolution (nl,nϕ,nλ), les pas associés sont donc ∆ρ = ∆x, ∆λ = 2π

n_λ et ∆ϕ = π

nϕ. Ainsi, nous pouvons aussi écrire r − Rp= (ir+ ω)∆r, θ = iθ∆θ et : in_l =r − Rp ∆r ^{− (r − Rp) mod ∆r +}  1 − δ (ω = 0) + δ  (r − Rp) mod ∆r >^∆r 2  (2.30) in_λ = ^λ ∆λ − λ mod ∆λ + δ  λ mod ∆λ >^∆λ 2  (2.31) inϕ = ^ϕ ∆ϕ− ϕ mod ∆ϕ + δ  ϕ mod ∆ϕ > ^∆ϕ 2  (2.32) Dans tous les autres cas, nous devons résoudre ce système d’équations dans la maille orientée par la position du point observateur et résoudre un système d’équations plus exhaustif. Nous traitons de cela dans le paragraphe suivant.

2.2.6 Correspondances dans le cas le plus général

Nous admettons à présent la possibilité que la planète ait une obliquité (ϕo, λ_o), qu’elle soit inclinée par rapport au plan écliptique i et que la simulation ait subit une rotation λrot (soit du fait de la rotation propre de l’exoplanète contrôlée par ωrot, soit parce que nous ne résolvons pas le transfert radiatif à la conjonction).

Détermination des coordonnées de l’observateur avec rotation, inclinaison et/ou obliquité

Les simulations GCM tournent effectivement indépendamment de la position de l’observateur, les grandeurs essentielles permettant de retrouver cette position ne sont autres que les coordonnées du point sub-stellaire. Ce point contient l’information de l’orientation de l’exoplanète par rapport au plan éclip-tique, autrement dit l’obliquité (ϕo, λ_o)de l’exoplanète et l’angle de rotation propre λrot. Il ne contient

pas en revanche l’information sur l’inclinaison i ou l’angle de phase. Il nous faut donc dans un premier temps définir un instant de référence tc, une simulation en particulier qui correspondra temporellement au cas de figure où l’exoplanète est en conjonction avec son étoile du point de vue de l’observateur. La connaissance des coordonnées du point sub-stellaire (ϕ?, λ^?)à cet instant nous renseigne donc sur l’état de la rotation propre et sur l’obliquité.

En l’absence d’inclinaison et pour un angle de phase nul, à la conjonction parfaite, l’observateur est donc parfaitement à l’opposé du point sub-stellaire et nous pouvons résoudre le transfert radiatif dans un cylindrique porté par la direction étoile/observateur comme présenté dans §2.2.5.

Avec une rotation

Lorsque l’on n’est pas à la conjonction, la position du point sub-stellaire change dans le temps du fait de la rotation propre de l’exoplanète et de sa rotation autour de l’étoile. Comme nous travaillerons sur une unique simulation au sein d’un même transit, faisant l’hypothèse que sur l’échelle de temps con-sidérée le climat change peu, et en définissant t0comme l’instant pour lequel l’étoile est à son périastre et L?la longitude de l’étoile dans le plan orbital à cet instant précis, nous pouvons établir à tout moment t la longitude du point sub-stellaire λ?par la connaissance de sa vitesse de rotation orbitale ωrot :

λ^?=L?− ω_rot(t −t0) (2.33)

De la même manière, la longitude de l’observateur λobsse déduit de la longitude Lobsde l’exoplanète dans le plan orbital comme :

λobs=Lobs− ω_rot(t −t0) (2.34)

La combinaison de ces deux équations montre que :

λobs=Lobs−L?+ λ^? (2.35)

Si nous exprimons cette longitude à partir de la longitude de conjonction λ?

c du point sub-stellaire et non plus Lobs:

λobs= π + λ_c^?− ω_rot(t −tc) (2.36)

ϕobs=0 (2.37)

Avec une inclinaison

Si le système est incliné maintenant, une correction est alors à effectuer sur la latitude de l’observateur pour en tenir compte. Si b est le paramètre d’impact, soit la distance entre les centres des deux astres, qui les éloignent donc de la conjonction parfaite et a le demi-grand axe de l’orbite, alors l’inclinaison i n’est autre que :

i = arccos  b a  (2.38) La correction sur la latitude observateur est donc de π/2 − i :

λobs= π + λ_c^?− ω_rot(t −tc) (2.39)

Avec une obliquité

Enfin, en ce qui concerne l’obliquité, cette dernière est la composition d’une rotation sur deux angles λo et ϕo. Ces deux composantes s’identifient à λ?

c et de ϕ?

c à la conjonction. Nous avons pris le parti de minimiser les rotations lors de la transposition de la maille cylindrique et pour ce faire, la grille sphérique obtenue lors de l’étape précédente subit la rotation longitudinale totale, c’est-à-dire comprenant la rotation propre, le mouvement orbital et l’obliquité, et ce comme un multiple du pas de longitude. De cette manière, nous travaillons avec des angles faibles et nous pouvons faire abstraction d’un ensemble de difficultés qui seront rencontrées lors de la résolution du transfert radiatif (voir §2.2.5). Il est plus aisé d’effectuer une rotation en latitude directement sur la grille sphérique étant donné sa géométrie. Au final, avec l’ensemble de ces paramètres, la position de l’observateur (ϕobs, λobs)dans la nouvelle grille atmosphérique devient :

λobs= π + λ_c,corr^? − ω_rot(t −tc) (2.41)

ϕobs= π/2 − i − ϕ?

c (2.42)

où λ?

c,corr est la longitude résiduelle du point sub-stellaire (inférieure à un pas) après applications de la rotation propre et de la composante λo:

λc,corr^? = λ_c^?− λ_o− λ_rot (2.43)

L’axe x de la maille cylindrique est alors porté par la droite qui relie le centre de l’exoplanète et l’observateur.

Équations de correspondance dans le cas général par changement de repère

Avant de commencer le calcul des distances mises en jeu au sein de chaque sous-parcours nous devons établir le jeu d’équations qui permettra la détermination de l’ensemble des positions théoriques x associées aux changements de cellule dans la grille sphérique. Nous définissons (X,Y,Z) le repère géographique de l’exoplanète et O son centre. La longitude λ est définie dans ce repère comme étant l’angle formé par la projection du vecteur OM, M étant un point quelconque dans le plan XOY, sur l’axe OX. La latitude ϕ est quant à elle définie comme l’angle formé entre cette même projection et le vecteur OM. Pour un observateur dont les coordonnées angulaires seraient (ϕobs, λobs), l’axe x de la maille cylindrique est porté par un vecteur unitaire notéu_obsde coordonnées :

uX

obs=cosϕobscosλobs

u^Y_obs=cosϕobssinλobs

u^Z_obs=sinϕobs (2.44)

Si M est un point du rayon d’échantillonnage à la position x, alors nous pouvons décomposer le vecteurOM comme OR + xu_obs oùOR n’est autre que OR = ρuρ. Il nous faut donc dans un premier temps déterminer pour chaque rayon d’échantillonnage les coordonnées de ce vecteurOR dans la base (X,Y,Z) afin de remonter à celles deOM, nous les noterons Xo, Yoet Zo.OR et uobsétant orthogonaux entre eux :

u_obs.OR = Xocosϕobscosλobs+Yocosϕobssinλobs+Zosinϕobs (2.45) Nous connaissons également la norme du vecteurOR puisque :

Enfin, si nous définissons le vecteuruz dans le plan perpendiculaire àuobs, et Zz la projection de l’axe OZ porté par le vecteur unitaireu_Z:

Zzu_z=u_Z− (u_Z.u_obs).u_obs=u_Z−sinϕobsu_obs (2.47) ||Zzu_z|| =Z^qu_obsX2

sin²ϕobs+u_obsY2

sin²ϕobs+ (1 − sin²ϕobsu_obsZ)² =

q

sin²ϕobs−2sin²ϕobs+1 = cosϕobs (2.48)

Nous pouvons alors isoler la composante ZodeOR grâce à ce vecteur Zzuz:

Zzuz.OR = uZ.OR − sinϕobsuobs.OR = uZ.OR = Zo= ||uZ^||.||OR||cosθ = ρ cosθ cosϕobs

(2.49) puisque l’angle θ est défini par rapport à cet axe porté par u_z. À partir de Eq. (2.45), Eq. (2.46) et de Eq. (2.49), nous pouvons résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues et déterminer Yo, et Xo:

Xo= −^ρsinϕobscosθ + Yosinλobs

cosλobs (2.50)

Xo²= ρ²cos2

θsin2

ϕobs

cos2_λobs+2ρYosinϕobscosθ^tanλobs

cosλobs+Yo²tan2

λobs (2.51)

Nous remplaçons dans Eq. (2.46) Xoet Zode façon à isoler Yoet finir la résolution de ces équations : ρ2cos²θsin2

ϕobs

cos2_λobs+2ρYosinϕobscosθ^tanλobs

cosλobs+Yo²(1 + tan²λobs) + ρ²cos²θcos²ϕobs− ρ²=0 Yo²+Yo(2ρ cosθ sinϕobssinλobs) + ρ² cos²θ (sin²ϕobs+cos²ϕobscos²λobs) −cos²λobs
=0 (2.52) Cette équation accepte deux solutions pour Yo. Dans la moitié de plan pour lequel θ < 0, c’est la racine positive qui est solution, dans l’autre moitié θ > 0, c’est la racine négative. Eq. (2.50) nous permet d’en déduire la solution associée à Xo et Eq. (2.49) nous donnait déjà Zo. À noter qu’en l’absence de toute rotation, et en supposant que l’observateur est à ϕobs=0 et λobs=0, les coordonnées du vecteur OR ne sont autres que :

Xo=0 Yo= −ρsinθ

Zo= ρcosθ (2.53)

ce qui correspond au comportement attendu deOR.

À présent que nous avons établi les correspondances entre la maille cylindrique et la grille sphérique de référence, la connaissance de (Xo,Yo,Zo) va nous permettre de déterminer les positions x des changements d’indices dans le repère (r,ϕ,λ ) le long des chemins optiques correspondant aux rayons d’échantillonnage (ρ,θ). De leurs positions nous en déduisons les distances parcourues par les rayons au sein de chaque sous-parcours.

Calculs des distances parcourues au sein des sous-parcours Changement d’indice en altitude, ir

Les surfaces traduisant du passage d’une couche d’altitude à une autre sont des sphères caractérisées par r = pρ2+x2, on peut en déduire immédiatement la position x_n|n+1sur la ligne de visée caractérisée par la coordonnée ρ = iρ∆ρ, l’angle θ n’ayant pas d’influence étant donné la symétrie :

x_n|n+1=pr2− ρ² (2.54) = q Rp+ (n + 1)∆ρ
²− Rp+ (iρ+ ω)∆ρ
² = q 2Rp∆ρ (n + 1) − (iρ+ ω)
+ ∆ρ2 (n + 1)2− (iρ+ ω)²
(2.55) x_n|n+1 est une grandeur positive de par son écriture, elle est néanmoins rendue négative si nous n’avons pas encore dépassé le terminateur et que nous sommes du côté étoile. Si cette distance corre-spond au premier changement d’indice dans la simulation atmosphérique et que le toit du modèle est à l’altitude h, la distance parcourue par le rayon lumineux dans ce sous-parcours est donc :

∆x = xh−xn|n+1 = q (Rp+h)2− Rp+ (ir+ ω)∆ρ
²− q 2Rp∆ρ (in_l−ir− ω) + ∆ρ² i2 n_l− (ir+ ω)²
(2.56) Changement d’indice en longitude, λi

Le changement de la longitude lors d’un parcours n’étant autre que l’intersection de la ligne de visée et du méridien intermédiaire, le code détermine tous les méridiens présentant une solution sur une position x sauf lorsque le rayon est dans le plan méridional, ce qui est le cas par exemple pour les rayons θ = 0 ou θ = π en l’absence de rotation, puisque sur la moitié de leurs trajets ils évoluent dans la longitude λ = π, puis dans la longitude λ = 0 sur l’autre moitié.

tanλi=OMY

OMX = Yo+xi_λ|i_λ+1cosϕobssinλobs

Xo+xi_λ|i_λ+1cosϕobscosλobs

xi_λ|i_λ+1= Yo−Xotanλi

cosϕobs(cosλobstanλi−sinλobs) (2.57)

Changement d’indice en latitude, ϕi

Le changement de la latitude lors d’un parcours n’étant que l’intersection de la ligne de visée et du cône de latitude intermédiaire, le code détermine pour chaque cône l’existence ou non de positions solutions x. Les équations ci-dessous sont écartées dans le cas de figure où le rayon évolue sur une même latitude, ce qui se produit notamment en l’absence de rotation pour les rayons θ = π/2 et θ = 3π/2.

sinϕi=OMZ r ⁼ Zo+x_iϕ|iϕ+1sinϕobs q ρ2+x2 iϕ|iϕ+1

x²_iϕ|iϕ+1(sin²ϕi−sin²ϕobs) −xi_ϕ|i_ϕ+1(2Zosinϕobs) + (ρ²sin²ϕi−Zo²) =0 (2.58) Comme la latitude est symétrique par rapport à l’axe OZ, les deux solutions xiϕ|iϕ+1sont retenues et associées à ϕi. La racine négative correspondra à la première intersection et la racine positive à la deuxième intersection.

Une fois l’ensemble des x établis pour un rayon (ρ,θ), ces distances sont rangées dans l’ordre croissant, et les distances des sous-parcours correspondent alors la différence entre deux x solutions

successifs. Lorsque ces distances sont identiques parce que le rayon a intercepté une arête ou un coin de cellule, seul l’un des changements est retenu. Comme il est finalement délicat de tout le temps retrouver les indices in_l, in_ϕ, et in_λ, en particulier lorsque ϕobsest grand, nous les évaluons juste avant les intersections à partir de Eq. (2.54), Eq. (2.57) et de Eq. (2.58).

De ces quantités précédemment déterminées, nous pouvons en déduire également les altitudes z associées en retournant Eq. (2.59) puisque z = r − Rp(notons que ∆r = ∆ρ) :

zi_ρ,n|n+1=r − Rp= (n + 1)∆ρ (2.59) z_{iρ,iθ,iλ|iλ+1}=r   1+   cosθ tan^λi_λ+λ_i λ+1