CHAPITRE III Présentation des fonctions puissances et des fonctions
5.3 Corrections des exercices
5.3.1 Vraie ou faux
1. faux 2. faux 3. faux 4. vraie 5. faux 6. Vraie 7. Vraie
5.3.2 Exercices d’applications 5.3.3 calculs numériques
1. Valeursapprochéesà10−5prèspardéfautdesnombressuivants,grâce àlacalculatricescientifique.e−5 =0.00674;e12 =64863;e− √2 = 0.24320;ee =15.14572;1.13.5 =1.39596;√
2e =2.5640 2. soit f(x) = eπ(x1−1)
(a)Df=] − ∞;1[ S
]1;+∞[ (b) évident
C or rect ion 5. 1. 1. Voir lasous section2.1.5
2. Désignons par (E) l’équation 3 0.5e2x−e2x= 2
Il est question derésoudre cette équation.Pour cela ,posons X =ex. Alors (E) devient
X2 − 3X − 4=0.
L’ensemblesolutiondecetteéquationest: So= {−1;4}.
Mais on ne peut pas utiliser -1 car X > 0 . D’où X = 4 .Il suit que x = 2ln2. Ainsi S={2ln2}. Le même raisonnement est utilisé pour résourdre lesautres équations
C or rect ion 5. 2. 1. En mettant ex en facteur onobtient ex[(2 −√
2)e2x− 2ex+4(√
2 − 1)]=0 Maisex6=0donc(E)équivautà
2 −√
2)e2x− 2ex+ 4(√
2 − 1)]=0 Le discriminant de cette équation vaut −3 < 0. donc S=Ø 2. Nous allonsencorre désigner par (E). L’équation
e4x − 6e2x +8=0 Posons t = ex. On obtient :
t4− 6t2+8=0
On retrouve une équation bicarrée.En posant X = t2, on retrouve l’équation du second dégré
X2 − 6X+8
C or rect ion 5. 3. 1. Soit (E) l’équation
2. Soittoujours (E) l’équation e2x − 3√
2+4e−2x=0
.Onutiliseleraisonnementdelaquestion2del’exercice2pouraboutir à l’ensemble solution.
On aboutit donc à une équation bicarrée dont l’ensemble solution sera obtenu gràce au raisonnement de la question précédente.
4. Ona e2x+1 +3ex+1 =4e équivaut à e2x +3ex − 4=0
En posant X =ex , onaboutità l’équation dusecond dégré
X2 + 3X− 4 = 0
5. ona(E)e −2e1−3x− 7e− −1 + e0 =0équivautà e−2x − 7e−x +10=0
En utilisant le raisonnement précédent,on peut en déduire l’ensemble solution de (E)
6. e2x−1 − ex−21 − 1=0équivaut
e2(x− 12 ) − ex−12 − 1 = 0
Posons X = ex− 12 on obtient l’équation du second dégré suivante.
X2 −X− 1 =
0.Onpeutdoncendéduirel’ensemble solution.
C or rect ion 5. 4. Résolvons dans IR ,les équations d’inconnus x. 1. Ona(E):22x − 5 × 2x+1 +16=0.équivautà
22x − 10 × 2x +16=0
Posons X =2x on obtientl’équation dusecond dégré suivante : X2 − 10X + 16 = 0
l’ensemble solution de cette équation est : So = {2; 3}. Donc S= {1;
3}
2. Ona(E):2x+1 − 2−x=0équivautà 22x− 2x+1=0
. On peut donc en déduire l’ensemble solution en utilisant le raisonne-ment précédent.
3. le même raisonnementdoit être utilisé.
4. Ona (E) xx = xx15x2 équivaut à xlnx= 15
x lnx − 2lnx=0 équivaut à
lnx(x − 15
x + 2) = 0 Ainsi,lnx=0oux2 +2x − 15=0équivautà
5. x10×x(x−2) =x équivaut à
x2−3x+ 14 = 0
le discriminant de cette équation du second dégré vaut -47<0 donc S=Ø
6. (xx)2 =x3x(1−x)2 équivaut à
x2−4x+ 4 = 0 on trouve S={2}
7. On a (E) 0.1×32x−1 −3x + 2.7 = 0 Posons X = 3x on obtient l’équation
X2−30X+ 81 = 0 L’ensemble solution est donc S={1 ;2}
8. 22x+2−3×2x+ 2−1 = 0 on utilise le raisonnement de la question 7.
9. On a (E) :
etanx−e= 0
Le domaine d’étude est DE =IR\{π2 +kπ, k ǫZ} (E) équivaut à tanx= 1
d’où S ={π4 +kπ, k ǫZ}
10. On a (E) 2esin2x−3ecosxsinx+ecosx = 0 équivaut à 2esin2x−3e12sin2x+ 1 = 0 Posons X=e12sinx On obtient
2X2−3X+ 1 = 0
cette équation du second dégré a pour ensemble solution S={1;12}Ainsi ,
sin2x= 0 ou sin2x=−ln4 or −ln4<0 on va donc utiliser sin2x= 0 On trouve
x= 2kπ k ǫ IZ On trouve x= 2kπ K ǫ S={2kπ k ǫ Z}
11. On a (E) 42lnx−1 − 5 × 4 + 16 = 0 DE =]1;+∞[ (E) équivaut à :
x2 − 20x+64=0.
PosonsX=4lnx.Onobtientl’équation
X2 − 20X + 64 = 0
à partir decette équation onpourra aboutirà l’ensemble solution.
12. Ona(E)62√x+5 × 61+√x=63
DE =[0;+∞[
(E)équivaut à 62√x+ 30 ×6√x−63 = 0 Posons X = 6√3 On obtient l’équation du second dégré
X2+30X − 63=0 13. Ona(E)e2x2−2 − 4(ex+1)x−1 +3=0équivautà
e2(x2−1) − 4ex2−1 +3=0 PosonsX=ex2−1.Onobtient
X2 − 4X+3=0.
L’ensemblesolutiondecetteéquationduseconddégréest
√S= {−1;1} Comme −1<0,l’ensemblesolutionfinaleest:S= {±
o
1+ln3}
C or rect ion 5. 5. Discutons suivant les valeurs de m ,le nombre de solution de l’équation
(E)e2x +2ex +m=0 Il suffit de poser X =ex. On obtient
2
Le discriminant de (Eo) est ∆′ = 1 −m comme m≤ 0 , ∆′ ≥ 0. La somme des solution de (Eo) est S = −2 le produit est P = m . On obtient le tableau suivant:
m −∞ 0
∆ +
P −
S −
Ainsi,pourmǫ]−∞;0[(Eo)admetdeuxsolutionsdesignecontraires.
Puisque X> 0 nous allons utiliser la solution dont le signe est positif. Il suitquepourmǫ] − ∞;0[(E)admetuneetuneseulesolution.
C or rect ion 5. 6. x et y sont des inconnus. Résolvons les systèmes d’équa-tions suivants
1.
(S)
( 2ex − ey =15 ex + 2ey = 40
Posons X =ex et Y =ey onobtient le système suivant : (So)
( 2X − Y=15 X+2Y=40
l’ensemblesolution So de (So) est So = {14;13 } Ainsi, S={ln14;ln13}
4.
( S )
(exey =8 ex =(15)y1
OnDE = IR × IR⋆ Ainsi,enappliquantlafonctionlndanslesystème
( S),on obtient
( So )
(x+y =ln8 xy= ln15
On peut donc trouver l’ensemble solutionde ( S)à partirde (So ).
C or rect ion 5. 7. 3 2e1+2√x − 13e√x+1 +22e ≥ 0équivautà 2e2√x− 13e√x+22 ≥ 0
care>0PosonsX=e√x onobtient:
2X2− 13X+22 ≥ 0 On peut donc en déduire l’ensemble solution.
4 e2(x+1) +3ex+2 <(2e)2 POsons X =ex+1 onobtient X2 + 3X < (2e)2
On poura donc en déduire l’ensemble solution.
5 (E) 22sinx− 3√
2 × 2sinx−1+ 1 ≤ 0 équivaut à 3√
2
2× 2sinx+ 1 ≤ 0 22sinx −
PosonsX=2sinxonobtient X2− 3√
2
2 × X+1 ≤ 0 Considérons l’équation
(Eo)X2 − 3√ 2
2 ×X + 1 = 0
l’ensmble solution (So) de (Eo) est So= {√2 2 ; 2√
2} On obtient
X = √22 ouX=2√
2Donc(E)devient (X−
√2
2 )(X− 2√
2)≤ 0 (5.1)
Ainsi Xǫ [ √22;2√
2]Onobtient
0, 707 ≤X≤ 2, 828
équivaut à
0,707 ≤ 2sinx≤ 2,828 équivaut à
−0.5 ≤ sinx ≤ 1.499 or1.499>1doncn
π
ousallonsconsidérerl’inéquationsinx ≥ −0.5il suitquexǫ[−π; − 3]
C or rect ion 5. 8. Résolvons graphiquement les systèmes d’inéquations
sui-1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
L’ensemble solution est coloré en vert.
2.
(2x+y−3 22y−1 >16
2x−1×2y <1 équivaut à
(x+ 3y >8 x+y <1
1
Utilisons la méthode de changement de varible : pour cela posons : X =ex On obtient
Posons X = x2 On obtient
7. Calculons limx→0 sinx 1−ex
– Au voisinage de 0 par valeur inférieur : –
9.
C or rect ion 5. 10. Calculerleslimitessuivantesetprecisersipossiblel’étude à gauche età droite.
1. limx→0 |sinx|1x 2. limx→+∞(1+ 2x1 )x 3. limx→+∞(ax+1ax−1)x a >0 4. limx→0 ex1lnx
5. limx→+∞√ xe−x2 6. limx→+∞ax − xα a>0
5.4 Problemes
P rob lème: 5. 1. A .Onconsidèrelafonctionnumérique: g : IR → IR x 7→ ex+ln(x) On appelle (C) la courbe représentative de la fonction g dans un pl−→anmunid’unrepèreorthonormal(O;~ı,~).avec kik =4cmet k j k =2cm
1. Etudier lesvariations dela fonctiong.
2. Etudier les branches infinies de la courbe représentative de g.
3. Donner une équation de la tangente (T) à (C) en son point N d’abscisse 1.calculer à 0.001 près les ordonnées des points de (T ) etde (C) d’abscisses 0.5 et0.25.
4. Tracer (C) et (T) . 5.
+
Démontrerquel’équationg(x)=0admetuneuniquesolutionx0. Endéduirelesignedeg(x)pourxélémentde R⋆.
Déterminer l’entier n telque 100n <x0 < n+1100 B . On considère lafonction numérique :
f : R → R x 7→ f(x)=
(ex+x(−1+lnx)six>0 1six=0.
2. Etudier les branches infinies de la courbe représentative de f.
3. Etudier les variations de f. Montrer que : f(x0)= −x0+(x0− 1)lnx0. Donnerunevaleurapprochéeé0.1prèsdef(x0) 4. tracer (Γ)
P rob lème: 5. 2. Danstoutleproblème,leplanestrapportéàunrepère orthogonal(O;~ı,~).
2
A :On appelle fonction cosinus hyperbolique (notée ch)la fonction définie sur R par chx = ex+e−x . On appelle fonction sinus hyperbolique (notéesh)lafonctiondéfiniesur R parsh=ex−e−x 2
1. (a) Etudierla parité des fonctions ch et sh .(b) Déterminer lafonction ch+sh
2. (a) Montrerque ch etsh sont dérivablessur R .Déterminer les fonctions (ch)′ et (sh)′ .
(b) Etudier lesvariations de ch et 3. (a)sh calcu
.
lerleslimitesdesfonctionschetshen+∞ eten
−∞
(b)soitf=ch − sh;étudierlesignedefetsalimiteen+∞
.Qu’en déduit-on en ce qui concerne les courbes représenta-tivesdechetshdanslerepère(O;~ı,~)?
4. Tracer les courbes des deux fonctions dans le repère (O ;~ı,~).La courbedechestune"chaînette".
B .Nous allons voirque ,defaçon analogue àlatrigonométrie circulaire,on peut développer une trigonométrie hyperbolique . Dans tout ce paragraphe, a et b sont des réels quelquonques.
1. Calculerch2a+sh2aetch2a − sh2a
2. Calculerch(a+b)etsh(a+b),ch(a − b),sh(a − b)ch(2a) sh(2a) .comparer cesrésultats avecla trigonométrie circulaire.
3. On définie sur R la fonction tangente hyperbolique (notée th) par :
thx = shx chx (a) Etudiersa parité.
(b) Etudier sa dérivabilité. Déterminer la fonction (th)′ d’une part en fonction de ch et d’autre part en fonction de (th) sur R
(c) calculer ses limites en +∞ et −∞ .Tracer sa courbe repré-sentative dans(O;~ı, ~).
(d) Calculer th(a+b) , th(a−b), th(2a) C .
1. Démontrer que les fonctions sh et th sont des bijection de R sur des intervalles respectifs que l’on précisera.
2. Soit ϕ et ψ leurs fonctions réciproque respectives. Déduire géométriquement les courbes de ϕ et ψ de celle de sh et th 3. On admet que ϕ et ψ sont dérivables sur leurs ensembles de
définition Eϕ et Eψ .
(a) En procédant de même ,montrer que ,pour tout x dans Eϕ : ϕ′(x) = (ch◦1ϕ)(x)
(b) En élevant cette égalité au carré et en tenant compte des rela-tions de trigonométrie hyperbolique et du signe de ϕ′,montrer que ϕ ′(x) = √1+x1 2
(c) En utilisant ls fonctions ϕ ,et ψ , d ?terminer des primitives des fonctions : x 7→ a2−1x2 et x 7→ √a21+x2 où a est un réel strictement positif.
[1] CARL B BOYER. A HISTORY OF MATHEMATICS [2] CIAM EXERCICES.
[3] Mineduc/ESG sous-section mathématiques :CAHIER DU DÉPAR-TEMENT DE MATHÉMATIQUES.(Spécial classe de
TerminalesSM :2001)
[4] G.COSTANTINI.Introduction de la fonction exponentielle par la mé-thode de Euler http ://bacamaths.net
Jean-Luc VERLEY, «EXPONENTIELLE & LOGARITHME», Encyclopædia Universalis [en ligne],
http://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/