Correction des effets de l’écoulement sur la propagation acoustique : modèle

tion acoustique : modèle d’Amiet

Lors d’une mesure de localisation de source en soufflerie les microphones et la source sont séparés par un écoulement qui modifie le temps de propagation des ondes acoustiques. Or, le traitement par FV s’appuie sur ces différences de temps de propagation, il est donc nécessaire de corriger les effets de l’écoulement sur la propagation des ondes acoustiques afin de localiser correctement la position de la source.

Dans les années 1970, Amiet propose une correction des effets de réfraction de la couche de cisaillement pour les mesures acoustiques en soufflerie [43, 52–54]. Cette correction est basée sur un modèle analytique considérant les notations de la Figure II.3.10. Le milieu au repos est supposé être séparé de l’écoulement par une couche de cisaillement infiniment fine. La source est placée dans l’écoulement et le microphone dans l’air au repos. Quatre angles sont considérés pour décrire la propagation acoustique au travers de l’écoulement. L’angle

θ représente la direction d’un rayon à l’émission qui ne serait pas dévié dans un milieu au

repos. En présence d’écoulement, ce rayon est dévié uniformément par l’effet de convection et est décrit par l’angle θ_c. A la traversée de la couche de cisaillement, le rayon subit une réfraction et il est transmis avec un angle θ₀. Finalement, le rayon reliant directement la source acoustique au microphone forme un angle θ_m avec la couche de cisaillement (Figure II.3.10).

Correction des effets de l’écoulement sur la propagation acoustique : modèle d’Amiet couche de cisaillement Microphone Rayon sans ´ecoulement Source Rt U0 r1 r₂ Rm θ0 θ θm θc

Fig. II.3.10 – Rayonnement d’une source acoustique placée dans un écoulement cisaillé. Description des angles pour le modèle d’Amiet.

Le rayon acoustique entre la source et le microphone peut être explicité en fonction de

θ_m et des angles convectés et réfractés. Ainsi, il est possible de déduire une égalité entre ces deux chemins, basée uniquement sur des considérations géométriques (voir Annexe A)

R_mcos θ_m = R_tcot θ_c + (R_msin θ_m− R_t) cot θ₀, (3.23) où R_m est la distance entre la source et le microphone et R_t la hauteur de l’écoulement moyen. Puis ce système peut être décomposé en deux parties, une partie convectée et une partie réfractée. La relation obtenue pour la partie convectée est basée sur le triangle de convection et s’écrit

tan θ_c = sin θ

cos θ− M, (3.24)

où M est le nombre de Mach. Cette équation relie l’angle de propagation sans écoulement à l’angle du rayon convecté. Enfin, la partie où le rayon est réfracté est déduite de la loi de Snell-Descartes

M − 1

cos θ =

−1

cos θ₀. (3.25)

Ces relations définissent un système à trois équations et quatre inconnues (θ, θ_c, θ₀, θ_m). Ce système peut être résolu par un processus itératif, ce qui permet d’accéder aux rayons définissant les rayons acoustiques dans l’écoulement r₁ et en dehors r₂. En additionnant ces deux rayons, il est possible de redéfinir la distance de focalisationrF du vecteur de directivité (Équation (3.13)) et ainsi localiser une source placée dans un écoulement par traitement par

FV tout en prenant en compte les effets de convection et de réfraction de l’écoulement moyen sur la propagation.

Un angle limite, dépendant du nombre de Mach, existe pour les ondes acoustiques se propageant vers l’amont (θ < 90˚). Les ondes acoustiques se propageant avec un angle d’émission inférieur à cette angle limite sont totalement réfléchies et ne traversent pas la couche de cisaillement. L’expression de cette angle limite, noté θmin, est proposée par Wooley

et al. [55] θ_min = 180− cos−1  −1 1 +M  . (3.26)

3.6

Correction des effets de l’écoulement sur la propa-

gation acoustique : modèle basé sur le principe de

Huygens

Une autre méthode basée sur une minimisation du temps de trajet entre la source et le microphone est proposée par Koop et al. dans la référence [41]. Elle permet de décomposer le rayon acoustique entre la source et le microphone en deux rayons, un entre la source et la couche de cisaillement et l’autre entre la couche de cisaillement et le microphone.

Considérons une source acoustique dans un écoulement uniforme, suivant l’axe x, de nombre de Mach (M = U₀/c₀). La source émet un signal à l’instant t = 0 au point (xs, ys). Cette onde atteint une couche de cisaillement infiniment fine située en y₀ après un temps t₁. D’après le principe de Huygens, chaque point x₀ de la couche de cisaillement devient une nouvelle source après interaction avec l’onde incidente. Puis l’onde atteint le microphone au point (x_m, y_m) après un temps t₂. La Figure II.3.11 illustre la situation.

x y (xs, ys) (x0, y0) (xm, ym) Couche de cisaillement U t1 c0t1 c0t2 Source Microphone 0 R

Fig. II.3.11 – Rayonnement d’une source acoustique placée dans un écoulement cisaillé. Description des positions pour le modèle de Koop [41].

Correction des effets de l’écoulement sur la propagation acoustique : modèle basé sur le principe de Huygens La position de la source dans un repère mobile (X,Y) qui suit l’écoulement est donnée par

X_s = x_s− U₀t. (3.27)

Une solution de l’équation de propagation dans ce repère peut être représentée par la fonction de Green en champ libre et s’écrit

p(X, Y, t) = δ(t− R/c0)

4πR , (3.28)

où R est la distance entre un point de la couche de cisaillement (x₀, y₀) et la source dans le repère mobile qui suit l’écoulement et δ la distribution de Dirac. Cette distance R a pour expression

R =(X_s− x₀)2+ (y_s− y₀)2. (3.29) Dans le repère fixe, cette distance a pour expression

R =((x_s− U₀t)− x₀)2+ (y_s− y₀)2, (3.30) ce qui donne pour la pression dans un écoulement uniforme

p(x, y, t) = δ(t−



((x_s− U₀t)− x₀)2 + (y_s− y₀)2/c₀)

4π((x_s− U₀t)− x₀)2+ (y_s− y₀)2 (3.31) L’argument de la fonction δ est modifié en présence d’écoulement (comparée à la situation d’un milieu au repos). Le temps de propagation dépend de la vitesse de l’écoulement uni- forme. A partir de cet argument, le temps de propagation entre la source et le point de la couche de cisaillement considéré peut être défini par

t−((x_s− U₀t)− x₀)2+ (y_s− y₀)2/c₀ = 0. (3.32) En réarrangeant les termes, une équation du second degré en t est obtenue

(c2₀ − U₀2)t2+ 2U₀(x_s− x₀)t + (y_s− y₀)2− (x_s− x₀)2 = 0. (3.33) Les solutions de cette équation permettent de donner le temps de propagation de l’onde et s’écrivent t₁ = −U0(xs− x0) (c2₀− U₀2) ±  U₀2(x_s− x₀)2− (c2₀− U₀2)((y_s− y₀)2− (x_s− x₀)2) (c2₀− U₀2)2 . (3.34) Dans le cas subsonique (M < 1) cette solution est réelle. Il est ainsi possible de définir un temps de propagation de l’onde pour tous les points de la couche de cisaillement (c’est-à-dire,

pour tous les x₀). Le temps de propagation de la couche de cisaillement au point récepteur (propagation dans un milieu au repos) est donné de manière classique par l’expression

t₂ = 1

c₀



(x_m− x₀)2+ (y_m− y₀)2. (3.35) Pour calculer le temps de propagation de la source au récepteur, le principe de Huygens est utilisé. Une onde émise par la source se propage dans l’écoulement et atteint la couche de cisaillement. Selon le principe de Huygens, le point de la couche de cisaillement atteint par l’onde devient à son tour une source et réemet une onde se propageant jusqu’au récepteur. Le temps de propagation de l’onde, noté τ , de la source au récepteur est obtenu par minimisation de la somme des deux temps de propagation t_tot = t₁+ t₂, pour toutes les positions x₀ sur la couche de cisaillement dans le cas subsonique

τ = min(t_tot(x₀)). (3.36) Pour obtenir τ , le minimum est calculé en différenciant le temps total par rapport à x₀. Comme pour le modèle d’Amiet, ce nouveau temps de trajet est utilisé dans l’argument de la FV, Équation (3.13), et permet de prendre en compte les effets de convection et de réfraction sur la propagation d’une onde acoustique en écoulement.