d’un problème de fatigue
Dans la suite, notre raisonnement s’attachera à l’examen de la dépendance temporelle (au travers de la variable indiquant le temps t) de différentes fonctions dépendant également d’une variable d’espace (le point M de l’espace affine modélisant l’espace physique). Pour cette rai- son, la précision du point M, comme argument des fonctions considérées, permet uniquement d’indiquer que nous travaillons avec des champs (supposés réguliers par rapport aux variables scalaires spatiales contenues dans l’indication du point M), car aucune propriété ou opération (différentiation, par exemple) n’est particulièrement requise par rapport aux variables d’espace dans cette étude. En outre, toutes les indications et/ou définitions nécessaires concernant la dé- pendance temporelle des fonctions considérées sont formulées comme si ces fonctions n’étaient dépendantes que du temps. Ainsi, par exemple, la mention des bornes d’une fonction sera im- plicitement entendue comme étant relative aux bornes temporelles, de même, les notions de continuité et de dérivabilité, à la variable t.
Nous proposons également un vocabulaire général relatif à des fonctions dépendant du temps, qui sera plus spécifiquement adapté dans la suite. Soit une fonction f définie sur un intervalle de temps I non constante, de bornes fmin et fmax (régulière autant que nécessaire).
Définition (D0) - Fonction cyclique et fonction transitoire.La fonction f, définie sur I, est cyclique, si dans l’intervalle de temps I, il existe des sous-intervalles où elle se répète à l’identique, sinon, elle y est dite transitoire (Fig. 3.1). Le cycle élémentaire de f, noté c[f], est défini comme la restriction de la fonction considérée sur le sous-intervalle qui définit sa période T [f ].
Définition (D1) - Fonction périodique.La fonction f est périodique, si les sous-intervalles précédents forment une partition de I (Fig. 3.1).
Définition (D2) - Fonctions identiques. Deux fonctions dépendant du temps f1 et f2
sont identiques, si et seulement si, ∃f1 ∈ R∗, ∃f2 ∈ R∗/ f1(t)/f1= f2(t)/f2 = V (t)(Fig. 3.2).
Définition (D3) - Fonctions identiques affines.Deux fonctions dépendant du temps f1 et f2 sont identiques affines, si et seulement si, ∃f1 ∈ R∗, ∃f1 ∈ R, ∃f2 ∈ R∗, ∃f2 ∈ R/ (f1(t) −
3.3. Convention de langage et d’écriture et définitions générales d’un problème de fatigue 61
Figure 3.1 – La fonction f est cyclique sur [0, 20] (le cycle élémentaire défini sur [0.75, 5] apparaît 2 fois sur [0, 20]), périodique sur [5, 11] (le cycle élémentaire est défini sur [5, 7]), transitoire, par exemple, sur [15, 20]. -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 t f1(t) f2(t) f3(t) f1(t)/2.0 = f2(t)/(-0.4) = (f3(t)+6.0)/(-2.0) = V(t)
Figure 3.2 – Les fonctions f1et f2 sont identiques. Les fonctions f1et f3ne sont pas identiques.
Chapitre 4
Classification des problèmes de fatigue
suivant des critères structuraux
4.1
Ecriture générale d’un problème de calcul de structure
Afin de fixer clairement quel est le problème physique à résoudre, nous écrivons dans les lignes qui suivent ce qui va constituer un problème de calcul de structure. Nous définissons un problème de calcul de structure comme étant un problème de Mécanique des Milieux Continus posé sur toute ou partie d’une structure industrielle et pour lequel nous avons pour objectif de le résoudre par une technique numérique adéquate : ici celle des éléments finis. Ce qui est rappelé dans les lignes qui suivent est donc tout à fait classique. Néanmoins, cela constitue la base des problèmes de calcul de structures plus spécifiques que nous devons résoudre dans le cadre de ce travail : ceux auxquels le vocable de fatigue est adjoint, lorsque les sollicitations appliquées à la structure auront un caractère de répétitivité.
Le système matériel étudié S est en mouvement dans l’espace physique, modélisé par un espace affine à 3 dimensions ε3, rapporté au référentiel ζ = (R, H), R désignant le repère d’espace,
supposé galiléen, dont b = ( ~x1, ~x2, ~x3) est la base cartésienne orthonormée directe et H le repère
de temps. Dans R, un point M de ε3 est repéré, à l’instant t, par l’ensemble de ses coordonnées
x = (x1, x2, x3). Le système coïncide au cours du temps avec le domaine D = Ω ∪ ∂Ω. D est un
ensemble continu (connexe par arc) fermé borné de ε3, Ω désigne son intérieur et ∂Ω sa frontière
supposée régulière. Plus précisément, D coïncide avec D(t) = Ω(t) ∪ ∂Ω(t) à l’instant t et avec D0= D(t0) = Ω(t0) ∪ ∂Ω(t0) à l’instant t0.
L’évolution du domaine est étudiée entre les instants t0 et tmax.
Nous nous plaçons sous l’Hypothèse des Petites Perturbations (HPP). Nous supposons que la masse volumique du milieu étudié est constante au cours du temps, et qu’elle ne dépend éventuellement que des variables d’espace, indiquant ainsi que le milieu est inhomogène. Nous la notons ρ(M). Egalement, nous estimons que les variations de température qui pourraient être induites par les phénomènes dissipatifs sont négligeables. La température au sein du domaine est donc uniforme et constante au cours du temps.
Les sollicitations appliquées au domaine peuvent être : des actions à distance agissant dans Ω(t)et induites par une densité volumique d’efforts notée ρ(M) ~f(M, t) (la Pesanteur par exemple) et des actions de contact agissant sur ∂Ω(t).
Pour construire un cadre général à ses actions de contact, la frontière du domaine est découpée en trois parties distinctes ∂ΩU, ∂ΩF et ∂ΩF U. Nous supposons que ce découpage est indépendant
du temps et qu’il forme une partition de ∂Ω(t), c’est-à-dire notamment que la réunion de ces différentes parties redonne la totalité de ∂Ω(t) et que leur intersection deux à deux est égale à l’ensemble vide. Soit :
∂Ω(t) = ∂ΩU∪ ∂ΩF ∪ ∂ΩF U ∂ΩU∩ ∂ΩF = ∅ ∂ΩF ∩ ∂ΩF U = ∅ ∂ΩU∩ ∂ΩF U = ∅
Nous autorisons à ce que chaque partie puisse se réduire à l’ensemble vide. En revanche, dès lors qu’une partie ne se réduit pas à l’ensemble vide, sa mesure est strictement positive. A partir de ce découpage, les conditions aux limites suivantes sont définies :
— sur ∂ΩF, nous donnons la densité surfacique d’efforts ~F (M, t) ;
— sur ∂ΩU, nous donnons le déplacement ~U(M, t) en chaque point ;
— sur ∂ΩF U, nous donnons un vecteur ~D(M, t) de renseignements locaux dont les com-
posantes sont celles, soit d’un déplacement, soit d’une densité surfacique d’efforts, par exemple : ~ D(M, t) = F10(M, t) U02(M, t) F30(M, t) où F0
1(M, t) et F30(M, t) sont les composantes d’une densité surfacique d’effort et U02(M, t) les
composantes d’un champ de déplacement. Sans plus de précisions sur la forme que peuvent prendre l’ensemble des sollicitations, ces conditions aux limites sont celles d’un problème dit standard.
Le problème (noté (P )) à résoudre consiste à trouver, en tout point du domaine, les inconnues suivantes :
— le vecteur déplacement ~u(M, t) ; — le tenseur des contraintes σ(M, t) ;
— les variables d’état internes (et leur variable associée) incluses dans la modélisation du comportement. Ici, ces variables sont :
. nascalaires notés (am(M, t))m=1,...,na. Les variables associées sont notées (A
m(M, t))
m=1,...,na;
. nbvecteurs notés (bn(M, t))n=1,...,nb. Les variables associées sont notées (B
n(M, t))
n=1,...,nb;
. nc2-tenseurs notés (cp(M, t))p=1,...,nc. Les variables associées sont notées (C
p(M, t))
p=1,...,nc.
Les équations (EQPB) locales données en tout point M(t) de Ω(t) sont : — l’équation d’équilibre (EQL) :
−→
div σ(M, t) + ρ(M ) ~f (M, t) = ρ(M )∂
2~u(M, t)
∂t2
— la loi de comportement constituée par :
. les lois d’état (EQETAT) (ψ(M, t) étant une fonction d’état donnée) : ∂ψ(M,t) ∂ε = 1 ρ(M )σ(M, t) ∂ψ(M,t) ∂am = Am(M, t) ∂ψ(M,t) ∂bn = Bn(M, t) ∂ψ(M,t) ∂cp = Cp(M, t)
. les lois d’évolution (EQEVOL) : dam(M,t) dt = ... dbn(M,t) dt = ... dcp(M,t) dt = ...