Convection en cavité tridimensionnelle

Toutes les études que nous venons de citer sont fondées sur des hypothèses permet-tant de négliger les effets de parois latérales ou du moins de les minimiser. En cavité 3D, l’écoulement de base obtenu à faibles nombres de Grashof est une boucle unicellulaire où le fluide monte du coté de la paroi chaude, traverse la cavité pour redescendre à la paroi froide et rejoindre la paroi chaude à nouveau tout en étant accompagné d’un mou-vement hélicoïdal des particules fluides dû à la présence des parois latérales (Henry & Buffat,1998). En réalité, le passage de cette configuration 3D à la configuration bidimen-sionnelle affecte considérablement la stabilité de l’écoulement et conduit à des scénarios différents de transition vers la convection oscillatoire. A titre d’exemple,Henry & Buf-fat(1998) ont comparé la transition vers l’écoulement oscillatoire (bifurcation de Hopf) dans le cas de cavités 2D de dimensions (4 × 1, longueur×hauteur) et 3D de dimensions (4 × 1 × 2, longueur×hauteur×largeur) pour Pr = 0. Dans le cas 2D, les oscillations cor-respondent à des expansions puis des récessions successives de trois rouleaux dans la cavité ; dans le cas 3D, les oscillations ont un caractère tridimensionnel et correspondent à la flexion par rapport au centre d’un rouleau occupant toute la cavité sous la forme d’une onde stationnaire. Dans le cas général de cavités tridimensionnelles (longueur L, largeur l et hauteur h), plusieurs études, tant expérimentales que numériques, ont été réalisées afin de comprendre le développement de la convection, l’apparition d’instabilités et les scéna-rios de transition conduisant à des écoulement oscillatoires. Dans ce qui suit, nous allons présenter quelques études expérimentales et numériques relatives au problème traité dans cette thèse. Historiquement et pour des raisons techniques liées à la capacité limitée de faire des calculs numériques tridimensionnels, les transitions d’écoulements en cavités chauffées latéralement ont été appréhendées d’un point de vue expérimental en premier.

Les premiers travaux expérimentaux, pionniers dans le domaine, sont ceux de Hurle (Hurle, 1966; Hurle et al., 1974). Les expériences ont été effectuées avec du gallium liquide (Pr ≈ 0, 018) à l’intérieur de longues cavités ouvertes de dimensions 10 × 1, 3 × 1, 5 cm³, 10 × 1 × 1, 5 cm³et 10 × 0, 65 × 1, 5 cm³(L × l × h). Ces études pour différentes largeurs de cavité mettent en évidence le déclenchement de la convection oscillatoire lorsque la différence de température entre les parois chaude et froide augmente ainsi que l’effet stabilisant du confinement latéral se traduisant par le décalage du seuil d’apparition des oscillations vers des valeur du nombre de Grashof plus importantes. De plus, ces études montrent qu’un champ magnétique transversal supprime les oscillations en freinant l’écoulement. McKell et al. (1990) ont étendu cette étude à la transition vers des états plus complexes dépendant du temps dans une cavité de 4 × 1, 3 × 1 cm³en présence d’un champ magnétique appliqué. La dynamique du système est organisée par une bifurcation de codimension-2 correspondant à l’intersection d’une ligne de bifurcations de Neimark-Sacker (quasi-périodicité) avec une ligne de bifurcations de doublement de période.

D’autres études expérimentales concernant les cavités de forts rapports d’aspect ont été entreprises. Par exemple, Hung & Andereck (1988) ont utilisé du mercure liquide (Pr ≈ 0, 026) dans une cavité de 16, 1 × 16 × 0, 9 cm³. Les résultats montrent que la pre-mière instabilité est liée à l’oscillation des rouleaux longitudinaux, qui devient bruitée et éventuellement chaotique lorsque la différence de température augmente. Bien que les longueurs d’onde et les fréquences mesurées soient en accord avec les valeurs théoriques de Hart (1972), le nombre de Grashof critique s’avère supérieur aux seuils théoriques attendus.

Pratte & Hart (1990) ont aussi présenté des résultats expérimentaux en utilisant le mercure liquide dans des cavités rigides de hauteur h = 1, 27 cm et de rapports d’aspects

CHAPITRE1. REVUEBIBLIOGRAPHIQUE

1 × 8 × 8, 1 × 4 × 2 et 1 × 4 × 1 (1 × L/h × l/h). La transition vers un état oscillatoire semble être considérablement affectée par la largeur de la cavité. En effet, le nombre de Grashof critique pour la cavité 1 × 4 × 2, Gr_c ≈ 3, 9 × 104, se trouve augmenté à Gr_c ≈ 2 × 105 en diminuant la largeur de la cavité de moitié (1 × 4 × 1). Les bifurca-tions secondaires y sont aussi rapportées. La transition vers des états chaotiques semble passer par des bifurcations successives de type Neimark-Sacker (quasi-périodicité) pour des cavités étroites et par une cascade de doublement de période dans le cas de la cavité large.

Daviaud & Vince(1993) ont rapporté l’observation de différents régimes dynamiques dans l’huile de silicone (Pr ≈ 10) dans des cavités ouvertes. Pour des dimensions hori-zontales fixes (20 × 1 cm²) et des hauteurs h variables du fluide,Daviaud & Vince(1993) ont observé que le premier mode d’instabilité est soit des ondes progressives (instabili-tés oscillatoires) pour h < 2, 8 mm, soit des rouleaux transversaux stationnaires pour des valeurs supérieures de h jusqu’à 10 mm.

Mullin et ses collaborateurs ont également effectué d’autres expériences (Braunsfurth & Mullin,1996;Juel et al.,2001;Hof et al.,2004) en utilisant le gallium liquide comme fluide de travail dans une cavité rigide et isolée de dimensions 5 × 1, 3 × 1 cm³. D’après Braunsfurth & Mullin (1996) qui ont fait une étude systématique en faisant varier les nombres de Grashof et de Prandtl, il existe plusieurs états oscillatoires dont l’apparition dépend du nombre de Prandtl. Chaque état oscillatoire émane d’une bifurcation de Hopf super-critique à partir du même état de base, mais l’ensemble des bifurcations ne montre pas une dépendance régulière en fonction des paramètres de contrôle. L’interaction entre les différents types d’écoulements oscillatoires peut entraîner de brusques changements dans l’évolution du comportement dynamique, car les paramètres de contrôle changent régulièrement au cours de l’expérience en raison de la variation des propriétés physiques telles que la viscosité et la conductivité thermique.

Juel et al.(2001) et Hof et al.(2004) ont apporté des résultats expérimentaux et nu-mériques indiquant le caractère tridimensionnel de l’écoulement. Les calculs nunu-mériques ont suggéré aussi que la structure complexe de l’écoulement au centre de la cavité avait une grande importance pour la transition vers un écoulement oscillatoire. Enfin, il a été montré que les oscillations apparaissent sous la forme d’une onde stationnaire sur toute la largeur de l’enceinte.

Dans la plupart des expériences entreprises et liées au procédé de Bridgman Horizon-tal, les fluides sont des métaux liquides à faible nombre de Prandtl. Il en a résulté alors une convergence de la communauté scientifique, depuis les travaux deHurle(1966), vers le contrôle magnétohydrodynamique de ces écoulements convectifs. En effet, une suppres-sion des oscillations et un effet stabilisant du champ magnétique a été observé parHurle (1966), Hurle et al. (1974), Juel et al. (1999) et Hof et al. (2005). De plus, l’efficacité de cette stabilisation des modes oscillatoires semble dépendre de l’orientation du champ magnétique appliqué.

A titre d’exemple,Hof et al.(2005) ont examiné l’effet des trois orientations possibles (longitudinale, verticale et transverse) sur la transition oscillatoire dans le gallium liquide. La transition oscillatoire s’effectue dans le cas hydrodynamique (Ha = 0) pour Gr_c≈ 4 × 10⁴. La figure1.8 montre que la stabilisation la plus efficace est celle obtenue avec un champ magnétique vertical avec une loi de type Gr_c/Gr_c(Ha = 0) ∼ exp(Ha³) suivie de celle avec un champ magnétique transverse dont la loi est de type Gr_c/Gr_c(Ha = 0) ∼ exp(Ha²) et finalement celle avec le champ magnétique longitudinal qui s’avère être le moins efficace bien qu’il soit lui aussi stabilisant.

SECTION1.3. TRAVAUX ANTÉRIEURS

FIGURE 1.8 – Nombre de Grashof critique

normalisé par le cas hydrodynamique cor-respondant à la bifurcation de Hopf en fonction du nombre de Hartmann d’après Hof et al. (2005). Le fluide utilisé est le gallium liquide (Pr ≈ 0, 018) dans une ca-vité de dimensions 5 × 1, 3 × 1 cm³.

Il est à noter que ce caractère stabilisant du champ magnétique a été retrouvé numé-riquement parKaddeche et al.(2003) dans le cas de l’écoulement induit par un gradient de température horizontal entre deux plans horizontaux infinis et parBen Hadid & Henry (1997) et Henry et al. (2008) dans le cas d’une cavité tridimensionnelle. De plus, ces études (1D et 3D) montrent que l’efficacité du champ magnétique vertical est due à la suppression du gradient de vitesse vertical (cisaillement) dans la cavité.

En plus de l’approche expérimentale, des simulations numériques tridimensionnelles ont également été réalisées afin de comprendre la dynamique du passage à la convection oscillatoire, notament par Dupont et al.(1987), Afrid & Zebib (1990), Henry & Buffat (1998), Wakitani (2000) et Henry & Ben Hadid (2007a,b) en mettant l’accent sur les situations des fluides à faible nombre de Prandtl, i.e. des métaux liquides. Ces études numériques concernent des cavités plutôt confinées avec différents rapports d’aspect et différentes conditions aux limites dynamiques (paroi supérieure rigide ou surface libre).

Il a été montré dans toutes ces études que le seuil d’apparition des instabilités oscilla-toires est décalé vers des valeurs plus élevées du nombre de Grashof lorsque la frontière supérieure est plutôt rigide que libre et lorsque le confinement latéral est augmenté. En effet, cette stabilisation est justifiée par l’augmentation de la dissipation visqueuse due à la présence de forts gradients de vitesse au niveau des parois. Par exemple, selon Afrid & Zebib(1990), le seuil de convection oscillatoire à Pr = 0 est égal à Gr_c= 1, 25 × 10⁵ pour une enceinte rigide contre Gr_c = 1 × 10⁵ pour une enceinte à surface libre sans contrainte dans une cavité de dimensions 4 × 1 × 1 (L/h × l/h × h/h). Et le seuil diminue à Gr_c= 3 × 10⁴dans une cavité rigide moins confinée de dimensions 4 × 2 × 1.

L’étude deDupont et al.(1987) montre dans le cas d’une cavité avec surface libre (de dimensions 4 × 1 en 2D et 4 × 1 × 1 en 3D) et pour Pr = 0, 069 que les effets tridimension-nels peuvent en effet être très importants et que les écoulements multicellulaires retrouvés en cavité bidimensionnelle n’existent plus en 3D au profit d’un écoulement stationnaire unicellulaire occupant toute la cavité. Une perte de convergence du solveur stationnaire utilisé est observée à Gr ≈ 7, 1 × 10⁵ en cavité 2D et à Gr ≈ 5 × 10⁵ en cavité 3D qui est probablement due à la déstabilisation de l’écoulement de base et l’apparition de l’état oscillatoire.

Wakitani(2000) a aussi étudié l’effet des rapports d’aspect, longitudinal A_X et trans-verse A_Y, sur les seuils d’instabilités oscillatoires pour des fluides à faible nombre de Prandtl (06 Pr 6 0, 027). Les cavités considérées sont rigides et ont des rapports d’as-pects longitudinal A_X = 2 ou 4 et transverse allant de A_Y = 0, 5 à A_Y = 4, 2. Dans les cas (A_X, A_Y) = (2, 1), (2, 2) et (4, 1) le nombre de Grashof critique des instabilités oscilla-toires semble être sensible à l’augmentation du nombre de Prandtl. Il est à noter aussi que la diminution du rapport d’aspect transverse (confinement latéral) entraine une

stabilisa-CHAPITRE1. REVUEBIBLIOGRAPHIQUE

tion de l’écoulement stationnaire de base, effet déjà observé parAfrid & Zebib(1990). Henry & Ben Hadid(2007a,b) ont déterminé, à l’aide d’une technique de continuation, les seuils de la première instabilité (bifurcation primaire) dans une cavité rigide chauffée de manière différentielle pour une large plage de valeurs de rapports d’aspect longitudi-naux (2 < A_X = L/h < 5) et transversaux (1 < A_Y = l/h < 6) et pour des nombres de Prandtl allant de Pr = 0 à Pr = 0, 03. Le premier mode d’instabilité est soit stationnaire soit oscillant en fonction du nombre de Prandtl et des rapports d’aspect. En particulier, pour une cavité 4×2×1, la première instabilité est déclenchée par une bifurcation fourche stationnaire supercritique pour 1 × 10⁻⁴. Pr . 1, 65 × 10⁻² et par un mode oscillatoire de basse fréquence (σ_i,c≈ 10) pour Pr . 1 × 10⁻⁴ ou haute fréquence (σ_i,c≈ 102) pour Pr& 1, 65 × 10⁻². Dans tous les cas, les bilans énergétiques montrent que le mécanisme physique déstabilisateur est le cisaillement, principalement dû aux variations verticales de la vitesse longitudinale.