Nous présentons ici certains développements complémentaires apportés à ViscoRail, durant la thèse. Les travaux liés à cette contribution ne sont pas présentés de manière exhaustive dans cette section, la majeure partie des modifications apportées à ViscoRail relevant essentiellement du domaine de la programmation numérique.
On choisit donc de ne s’intéresser ici qu’à deux volets de cette contribution. Premièrement, puisque seuls les profils spatiaux sont disponibles dans la première version de ViscoRail, un module de post-traitement a été développé afin de permettre la construction des évolutions temporelles des champs mécaniques dans la structure ferroviaire sur la base des évolutions spatiales obtenues pour des positions successives des charges sur les rails ; ce travail est présenté en section II.3.1. Dans la section suivante, on revient sur le couplage entre les deux sous-systèmes armement/structure d’assise du modèle et sur la détermination de la courbe maîtresse avec prise en compte des effets d’inertie dans la structure de voie.
II.3.1 Développement d’un module de post-traitement de ViscoRail
Comme évoqué en section II.2.4, les résultats de calculs effectués avec la première version de ViscoRail sont fournis, à un instant 𝑡 donné et pour un quelconque champ mécanique 𝑐, sous la forme de profils longitudinaux (et/ou transversaux) à une cote transversale 𝑦 (et/ou longitudinale 𝑥) et à une altitude 𝑧 données. L’évolution temporelle 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) de ce champ en un point d’observation donné {𝑥; 𝑦; 𝑧} de la structure n’est donc pas directement accessible avec cette version. Des traitements supplémentaires sont alors nécessaires a posteriori afin de construire ces évolutions sur la base des réponses longitudinales ainsi calculées. Un module de post-processing a donc été développé et incorporé au code de calcul afin d’automatiser ces traitements supplémentaires. La procédure de post-traitement implémentée, basée sur certaines hypothèses du modèle de voie que l’on rappelle rapidement dans un premier temps, est présentée dans cette section.
Pour rappel, il est supposé d’une part que la voie ferroviaire considérée est parfaitement rectiligne et sans défaut (rails lisses, rigidité constante des ressorts assurant le contact rail/ballast, traverses de mêmes dimensions, couches homogènes, etc.). D’autre part, le chargement induit par le passage des roues sur les rails est modélisé par l’application de forces ponctuelles d’intensité constante 𝐹 se déplaçant à vitesse constante 𝑉. En supposant que les charges se déplacent depuis une durée suffisamment longue sur les rails pour que le régime soit établi (cadre d’utilisation du code développé), ces deux hypothèses permettent d’affirmer que la distribution de charge à la surface de la structure d’assise ne dépend que de la position des roues sur les rails. Or, la voie présentant par ailleurs une périodicité spatiale dans la direction 𝑥 d’avancement des charges, la relation de correspondance (II.57), illustrée sur la FIGURE II.7, peut être établie entre les réponses longitudinales d’un champ mécanique quelconque 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) calculées à 𝑦 et 𝑧 donnés aux différents instants 𝑡 (ligne continue bleue) et 𝑡 + 𝑛𝑇 (ligne pointillée rouge) où les charges occupent respectivement des positions relatives 𝑥𝐹 puis 𝑥𝐹+ 𝑛𝑙 similaires par rapport aux traverses.
avec 𝑛 ∈ ℤ et 𝑇 = 𝑙 𝑉⁄ la durée nécessaire à la charge circulant à la vitesse 𝑉 pour parcourir la distance 𝑙. La relation (II.57) montre que l’information contenue dans la réponse longitudinale à un instant 𝑡 donné, i.e. pour une position spécifique des charges sur les rails, peut être utilisée afin de reconstruire une partie du signal temporel de cette réponse.
FIGURE II.7 – Illustration de la relation de correspondance.
Sur la base de ce constat, l’étude des positions successives que va occuper une roue dans une seule cellule périodique de voie de longueur 𝑙 suffit donc à la construction des historiques des champs mécaniques en tout point de la structure d’assise. A titre d’illustration, une représentation schématique de la construction de l’évolution temporelle d’un champ quelconque 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) en un point {𝑥; 𝑦; 𝑧} de la structure de voie est donnée sur la FIGURE II.8. A partir de 𝑚 ∈ ℕ profils longitudinaux 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + 𝑚𝑗𝑇) (graphes du haut), calculés avec ViscoRail aux différents instants 𝑡 + 𝑚𝑗𝑇 (𝑚𝑗= 𝑗 𝑚⁄ , 𝑗 ∈ [0; 𝑚[) considérant chacun une position successive 𝑥𝐹+ 𝑚𝑗𝑙 de la roue dans la période spatiale de la voie, l’historique 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (graphe du bas) peut être reconstruit en incorporant dans la formule de correspondance précédente (II.57) la dépendance à ces 𝑚 positions successives de roues au point {𝑥; 𝑦; 𝑧} de la structure d’assise :
𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + (𝑛 + 𝑚𝑗)𝑇) = 𝑐(𝑥 − 𝑛𝑙, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + 𝑚𝑗𝑇) (II.58)
La relation (II
.
58) peut être exploitée de la manière suivante. Pour une position de charge 𝑥𝐹+ 𝑚𝑗𝑙 donnée sur les rails, la valeur du champ mécanique considéré en 𝑥 à l’instant 𝑡 + (𝑛 + 𝑚𝑗)𝑇 est équivalente à celle calculée en 𝑥 − 𝑛𝑙 à 𝑡 + 𝑚𝑗𝑇.𝒄( 𝒙, 𝒚 ,𝒛 ,𝒕 ) 𝑡 𝑡 + 𝑛𝑇 Cellule périodique 𝑙 𝑉 𝑥𝐹+ 𝑛𝑙 𝑥𝐹 𝑥 𝑧 𝑦
FIGURE II.8 – Illustration du principe de reconstruction des historiques des champs mécaniques dans la structure de voie sur la base de la relation de correspondance.
Des simulations numériques ont permis de valider l’implémentation de la démarche dans l’outil de post-traitement incorporé à ViscoRail. Ces simulations ont par ailleurs montré, qu’en pratique, la considération de 𝑚 = 4 positions de charges successives dans la cellule périodique de la voie permet de reconstituer finement les évolutions temporelles des champs mécaniques en tout point de la structure d’assise de la voie ferroviaire modélisée.
II.3.2 Traitement du couplage armement/structure de voie en dynamique
sur la base d’une méthode de point fixe
Le second volet sur les contributions apportées au développement de ViscoRail au cours de la thèse s’intéresse au calcul de la courbe maîtresse 𝑓 détaillé en section II.2.3. Pour rappel, la fonction 𝑓 caractérise la distribution de contraintes en surface de massif permettant d’effectuer le couplage entre les deux sous-systèmes du modèle : l’armement et la structure de voie. Dans la version initiale du code, la détermination de 𝑓 est réalisée sur la base d’un chargement statique. Afin d’évaluer cette hypothèse, on propose dans la suite de traiter ce couplage en dynamique à l’aide d’une méthode de point fixe permettant de prendre en compte, dans la détermination de 𝑓, les effets d’inertie dans la structure de voie. 𝑉 𝑥𝐹 𝒄( 𝒙, 𝒚 ,𝒛 ,𝒕 ) 𝑥𝐹+ 𝑚𝑗𝑙 𝒄( 𝒙, 𝒚 ,𝒛 ,𝒕 ) 𝑡 𝑥 𝑥 − 𝑙 𝑥 + 𝑙 𝑥 + 2𝑙 𝑥 + 3𝑙 𝑥 − 𝑙 𝑥 𝑥 + 𝑙 𝑥 + 2𝑙 𝑥 + 3𝑙 𝑥 𝑡 − 2𝑇 𝑡 − (2 − 𝑚𝑗)𝑇 𝑡 − 𝑇 𝑡 − (1 − 𝑚𝑗)𝑇 𝑡 𝑡 + 𝑚𝑗𝑇 𝑡 + 𝑇 𝑡 + (1 + 𝑚𝑗)𝑇 𝑡 𝑡 + 𝑚𝑗𝑇 {𝑥; 𝑦; 𝑧} 𝑥 𝑧 𝑦
FIGURE II.9 – Diagramme schématique des étapes successives de la méthode de calcul de la réponse dynamique réversible de structures ferroviaires, implémentées dans la nouvelle version de ViscoRail.
La démarche, dont les différentes étapes détaillées ci-après sont résumées sur la FIGURE II.9, consiste à repartir de l’équation d’équilibre discrète (II.27) pour laquelle on extrait la relation entre le vecteur des déplacements {{𝑤𝑝} {𝑤𝑠}}𝑇 et le vecteur des efforts {𝑅𝑝} s’appliquant aux nœuds du système considéré en section II.2.3. L’introduction de l’algorithme itératif indexé par 𝑖 dans cette relation conduit à :
La relation (II.59) peut être comprise comme suit. Connaissant le vecteur déplacements {𝑤𝑠𝑖−1} en surface de structure de voie à l’itération 𝑖 − 1, le vecteur des déplacements nodaux {𝑤𝑝𝑖} à l’itération 𝑖 [𝐾𝑝]{𝑤𝑝𝑖} = [𝐾𝑝𝑟]{𝑤𝑠𝑖−1} + {𝑅𝑝} (II.59)
Décomposition du chargement dynamique 𝑝𝑖(𝑥, 𝑡) caractérisé par
𝑓𝑖 (boucle indexée par α)
Calcul de l’onde de chargement caractérisée par 𝛼 :
Si 𝛼 = 1 : Calcul de 2𝑏𝑓𝑖( 𝑋⬚1 ) 𝑙⁄ (onde particulière de vitesse 𝑉)
Si 𝛼 ≠ 1 : Calcul de 𝑔𝑖( 𝑋⬚𝛼 , 𝛼) (ondes de vitesse 𝑣 = 𝛼𝑉)
Calcul de {𝑤𝑠𝑖}𝛼 dans la structure de voie avec ViscoRoute© 2.0 pour l’onde considérée
max( {𝑤𝑠𝑖} − {𝑤𝑠𝑖−1} ) < 𝜀
Recombinaison des contributions : {𝑤𝑠𝑖} = {𝑤𝑠𝑖}1+ {𝑤𝑠𝑖}𝛼
Evaluation du critère de convergence (tolérance 𝜀) :
Calcul itératif de la courbe maîtresse 𝑓 (boucle indexée par 𝑖)
Incrémentation : 𝑖 = 𝑖 + 1
Calcul de {𝑤𝑝𝑖} = [𝐾𝑝]−1[[𝐾𝑝𝑟]{𝑤𝑠𝑖−1} + {𝑅𝑝}]
Calcul de {𝑅𝑖} = 𝑘({𝑤𝑝𝑖} − {𝑤𝑠𝑖−1})
Interpolation de {𝑅} 4𝑎𝑏⁄ par somme de fonctions gaussiennes 𝑓𝑖(𝑥)
Etat initial Calcul de [𝐾𝑝], [𝐾𝑝𝑟] et {𝑅𝑝} Initialisation : 𝑖 = 0, {𝑤𝑠0} = {0} Si faux Bloc 1 Bloc 2
Calcul de la réponse dynamique de la structure d’assise
Calcul + renormalisation de la courbe maîtresse 𝑓 définitive (bloc 1)
Décomposition du chargement dynamique 𝑝(𝑥, 𝑡) (bloc 2)
Recombinaisons des contributions {𝑐}𝛼 pour un champ mécanique quelconque 𝑐 : {𝑐} = {𝑐}1+ {𝑐}𝛼
Post-traitement : Profils spatiaux 𝑐(𝑥) et/ou 𝑐(𝑦) et/ou temporel 𝑐(𝑡)
peut être calculé. Pour 𝑖 = 0, le vecteur {𝑤𝑠0} est initialisé à une valeur nulle et l’index 𝑖 est incrémenté avant chaque calcul de {𝑤𝑝𝑖}. Le vecteur des efforts dans les ressorts peut alors être évalué par l’équation (II.19) tel que :
Les efforts {𝑅𝑖} sont ensuite exprimés comme des pressions verticales uniformes s’exerçant en surface de structure d’assise sous la section 𝑆 = 4𝑎𝑏 des blochets. Cette distribution de pression est alors interpolée par une somme de fonctions gaussiennes comme déjà expliqué, conduisant à la courbe maîtresse 𝑓𝑖 de l’itération en cours. A ce stade, la méthode de décomposition, décrite en section II.2.4, du chargement dynamique 𝑝𝑖(𝑥, 𝑡) caractérisé par 𝑓𝑖 est utilisée. Pour chacune des ondes de chargement (𝑔𝑖( 𝑋𝛼 , 𝛼) pour 𝛼 ≠ 1 ou 2𝑏𝑓𝑖( 𝑋1 ) 𝑙⁄ pour 𝛼 = 1) issues de cette décomposition, la réponse de la structure de voie en termes de déplacement en surface {𝑤𝑠𝑖}𝛼 est alors calculée avec ViscoRoute© 2.0. Contrairement à l’approche statique considérée dans la première version de ViscoRail, ces différents calculs permettent ici de prendre en compte les effets d’inertie dans la réponse de la voie. La recombinaison des contributions {𝑤𝑠𝑖}𝛼 ainsi calculées donne alors accès au vecteur des déplacements en surface de structure de voie {𝑤𝑠𝑖} à l’itération 𝑖. A cet instant, la convergence du processus itératif est évaluée de la manière suivante :
L’algorithme de point fixe est donc arrêté si l’écart entre les déplacements obtenus en surface de structure d’une itération à l’autre est inférieur à une tolérance donnée 𝜀. Dans le cas contraire, l’index 𝑖 est incrémenté et la procédure ci-dessus est répétée.
Comme illustrée sur la FIGURE II.9, une fois l’équation (II.61) satisfaite, une itération supplémentaire est tout de même effectuée. Les opérations du bloc 1 sont alors réalisées une dernière fois ; i.e. connaissant {𝑤𝑠𝑖}, on calcule {𝑤𝑝𝑖+1} puis {𝑅𝑖+1} qui donne par interpolation la courbe maîtresse définitive 𝑓. La courbe maîtresse ainsi obtenue subit une manipulation supplémentaire ici par rapport à la première version de ViscoRail. En effet, la résolution précédente peut conduire à l’apparition de légères forces de traction dans certains ressorts éloignés du point d’application de la charge sur le rail. Or, ces efforts ne peuvent être représentés par une courbe maîtresse définie à partir de fonctions gaussiennes ; ce qui conduit parfois à une légère surestimation de la résultante du chargement. C’est pourquoi une procédure de normalisation des fonctions gaussiennes a donc été développée. Après convergence du calcul de 𝑓 par la méthode des moindres carrés, fournissant l’amplitude 𝐴 et la longueur caractéristique 𝐿 de la gaussienne, une nouvelle valeur de l’amplitude 𝐴𝑛𝑜𝑟𝑚 est calculée à 𝐿 fixée et telle que :
où 𝐹 représente la valeur de la résultante désirée (amplitude de la charge sur le rail) et 𝐹𝑔 celle calculée pour la gaussienne caractérisée par {𝐴; 𝐿} telle que :
{𝑅𝑖} = 𝑘({𝑤𝑝𝑖} − {𝑤𝑠𝑖−1}) (II.60)
max( {𝑤𝑠𝑖} − {𝑤𝑠𝑖−1} ) < 𝜀 (II.61)
𝐴𝑛𝑜𝑟𝑚=𝐴𝐹
Le chargement final 𝑝(𝑥, 𝑡), caractérisé par la courbe maîtresse ainsi normalisée, est alors décomposé selon les instructions du bloc 2 afin de calculer la contribution de chaque paquet d’ondes de chargement dans la réponse dynamique du massif. Ces contributions sont enfin recombinées par sommation, donnant finalement accès à la réponse dynamique de la structure d’assise via les profils spatio-temporels 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) des différents champs mécaniques désirés. A noter ici que les évolutions temporelles sont construites en lien avec la méthode présentée en section II.3.1.
Les étapes de la démarche ci-dessus ont été implémentées dans le code de calcul ViscoRail. Le calcul de la courbe maîtresse 𝑓 caractérisant le chargement 𝑝(𝑥, 𝑡) peut donc désormais s’effectuer, au choix, sur la base d’un cas de chargement statique (comme initialement) ou dynamique à l’aide de la méthode de point fixe précédente. Ce deuxième cas de chargement permet de prendre en compte les effets d’inertie dans la structure d’assise de la voie pour le calcul de 𝑓.