Contrainte seuil

En étudiant le cas simplié de deux sphères isolées, on considère que la contrainte seuil est proportionnelle à la force maximale à appliquer pour éloigner les particules l'une de l'autre. On fait donc l'hypothèse ici qu'il n'y a pas de forces tangentielles spéciques. On suppose que les particules, dans leur état oculé, se situent au niveau du minimum secondaire. La force à appliquer est égale au maximum de la dérivée du potentiel DLVO autour de cette position (Fig 1.9).

Fmax =  ∂VDLV O ∂h  max (1.39)

Par analyse dimensionnelle on obtient : τc∝ Fmax r2 p (1.40) Donc nalement : τc∝ 1 r2 p  ∂VDLV O ∂h  max (1.41) Ce schéma simpliste ne prend pas en compte la fraction volumique et les interactions multiples entre particules voisines.

Des modèles plus évolués ont été développés ces dernières décennies pour améliorer cette approche simpliée.

Russel [28] propose une expression de la contrainte seuil (Eq. 1.42) dans le cas faible- ment oculé, lorsque -(V(int)min/kBT) ≤20, V(int)min correspond à l'amplitude de l'énergie

potentielle du minimum secondaire dans lequel se trouve les particules oculées. Au regard des courbes de potentiel des suspensions de silice étudiées (Fig. 1.5b), nous nous trouvons dans cette conguration.

τc≈ φ2_v 4r2 p  ∂Vint ∂h  max (1.42) Le facteur devant la dérivée du potentiel désigne le nombre de liaisons par unité d'aire. Cette expression dépend exclusivement de l'expression des potentiels interagissant dans le système. Cependant comme nous l'avons vu précédemment, la détermination des potentiels et de leur expression n'est pas toujours simple et univoque.

L'approche de Rumpf [29] et Molerus [30] considère un plan traversant une collection de particules monodisperses de diamètre dp disposées aléatoirement à diérentes altitudes

z (Fig. 1.10). Kapur et al. [31] a proposé un modèle en s'inspirant de ces travaux pour la

dp

plan traversant z

Figure 1.10  Plan traversant un empilement de particules sphériques monodisperses. force de traction d'une suspension de particules monodisperses.

L'aire moyenne du disque généré, avec dp/2 la probabilité que le centre d'une sphère arbi-

1.4. MODÉLISATION DU COMPORTEMENT RHÉOLOGIQUE 33 D = Z rp 0 π r2_p− z2
1 rp dz (1.43) D = π 6d 2 p (1.44)

Le nombre de particules n par unité d'aire traversée par le plan est :

n = φv D (1.45) Donc n = 6 π φv d2 p (1.46) Si H est la force de liaison entre deux particules voisines, la force moyenne Fm exercée

sur une particule par tous les voisins dans la direction normale au plan est :

Fm = HK(φv) 2 Z dp₂ 0 d2_p− 4z2 d3 p dz = HK(φv) 6 (1.47)

avec K(φv) le nombre de coordination dépendant de l'agencement des particules. La rela-

tion de Gotoh 1.48 donnée par Suzuki et al. [32] est une approximation satisfaisante du nombre de coordination pour φv<0.47.

K(φv) =

36

π φv (1.48)

Finalement la contrainte s'obtient en multipliant cette force par n :

τc= nFm =

φvHK(φv)

πd2 p

(1.49)

Kapur et al.[31] ont étendu ce modèle aux suspensions polydisperses :

τc= 1 6 X j nj X i KijHij (1.50)

avec nj le nombre de sphères de diamètre dpj dans le plan traversant :

nj =

6φv

πd2 pj

sj (1.51)

et sj la fraction surfacique des particules de diamètre dpj coupées par la plan. Le nombre

de coordination des sphères de diamètres dpj avec les sphères de diamètre dpi est donnée

par Suzuki et Oshima [33] :

Kij = 0.134K(φv)

1 + x

avec x=dpj/dpi

Des expériences sur des suspensions d'alumine, de zircone et de titane [34] ont permis de valider ce modèle. Les données ont clairement mis en évidence le rôle majeur des plus petites particules sur la contrainte seuil. Une méthode proposée par les auteurs pour s'af- franchir de la polydispersité et considérer l'eet des petites particules consiste à prendre une taille moyenne de particule, d10, à 10% de la courbe granulométrique cumulée. La

valeur d10 est telle que 10 % des particules ont une taille inférieure à cette valeur et 90%

une taille supérieure.

Les précédents modèles tiennent compte exclusivement des forces attractives de van der Waals en considérant le système au point-isoélectrique des particules. C'est-à-dire que les surfaces sont globalement neutres.

Les forces électrostatiques ont été ajoutées à posteriori dans le modèle proposé par Scales et al.[35]. En combinant les expressions 1.50 et 1.52 et en dénissant Hij comme la somme

des interactions attractives de van der Waals et des interactions électrostatiques répulsives on obtient : τc= 0.011 π φvK(φv)  AH h2_(φ v) − 24πεε0κζ 2 (1 + eh(φv)κ₎  X j sj dpj X i si " dpi dpj+ dpi− (d2pj+ 2dpidpj) 1 2 # (1.53) le paramètre h(φv)est la distance de séparation entre particules dans un état oculé et

se dénit de la manière suivante :

h(φv) = h0(9.5 exp (−4.5φv)) (1.54)

La corrélation entre le modèle et les données expérimentales issues de suspensions d'alu- mine de diérentes tailles et diérentes fractions volumiques n'est pas parfaite. La corres- pondance est plus satisfaisante lorsque la distance interparticulaire est prise constante pour toutes les fractions volumiques ou bien lorsque les interactions augmentent légèrement avec la fraction volumique. En eet il est important de noter que les expressions des interactions colloïdales utilisées sont toujours calculées en considérant des particules isolées.

Flatt et Bowen [36] proposent avec le Yodel (Yield stress Model) une expression de la contrainte seuil développée pour une suspension de distribution de tailles connue en fonction des interactions microscopiques et de considérations géométriques :

τc=

m1φ2v(φv− φ0)

φm(φm− φv)

(1.55) Pour des particules sphériques :

m1 = 1.8 π4  H_max Rv,50  Fσ,∆ (1.56)

1.4. MODÉLISATION DU COMPORTEMENT RHÉOLOGIQUE 35

Et dans le cas non sphérique :

m1 = 1.8 π4  Hmax Rv,50  r∗Fσ,∆ (1.57)

φ0 et φm sont respectivement les fractions volumiques de percolation et d'empilement maxi-

mal. Hmax correspond à la valeur maximale des forces d'interaction entre deux particules,

Rv,50 est le rayon volumique moyen, r∗ est le rayon de courbure moyen au point de contact

entre particules et Fσ,∆ est un facteur prenant en compte les eets liés à la distribution de

taille à Rv,50 constant.

Ce modèle comporte deux paramètres ajustables, la distance interparticulaire, qui l'est également dans le modèle de Kapur et al. [31] et ses extensions, et la fraction maximale d'empilement.

Il n'y a pas d'argument sur le choix de la distance interparticulaire permettant de la relier aux interactions colloïdales. Il s'agit plutôt ici d'un paramètre ajustable sans réelle signi- cation physique.