Afin de dimensionner les éprouvettes de compression-torsion, il est nécessaire de s’as- surer de la tenue en flambement de celles-ci. Nous allons donc présenter ci-après quelques résultats typiques de la théorie du flambement axisymétrique des coques cylindriques proposée par Bažant et Cedolin [75].
5.3.1 Théorie classique du flambement des coques axisymétriques
en compression
On considère une coque cylindrique circulaire de rayon moyen Rm, d’épaisseur e et de
longueur L supposés constants. La coque est soumise à un effort axial distribué Nzz où z est l’axe de révolution de la coque. On suppose ici que la coque a un comportement
élastique linéaire isotrope défini par un module d’Young E et un coefficient de Poisson ν. Enfin, on note D la rigidité en flexion et w(z) la déflexion de flambement. L’expression des efforts résultants sur un volume élémentaire de coque conduit à l’équation différentielle suivante : Dw,zzzz− Nzzw,zz + cw = 0 avec D = 1 12 Ee3 1 − ν2 et c = Ee R2m (5.7)
où w,zzzz et w,zz correspondent respectivement aux dérivées quatrième et seconde de w.
On cherche une solution à cette équation sous la forme w(z) = w0eλz avec λ ∈ C, ce qui
conduit à l’équation caractéristique
Dλ4− Nzzλ2+ c = 0
Cette équation quadratique en λ2 possède 4 racines λ ∈ {iκ
1, −iκ1, iκ2, −iκ2} où
{κ1, κ2}= η r ψ ±qψ2 −1 avec ψ = −Nzz 2√cD et η = c D 1/4 = 12(1 − ν2) e2Rm2 !1/4
Dès lors, une solution périodique pour w(z) n’est possible que si λ est imaginaire pur, i.e. si ψ > 1. De plus, de par la définition de ψ, le chargement critique s’exprime par Nzz = −2ψ
√
cD. Autrement dit, Nzz est minimal pour une valeur minimale de ψ,
soit ψ = 1. Finalement, la contrainte de compression est donnée par l’équation 5.4 avec
Fz = 2πRmNzz et S0 = 2πeRm, d’où, en négligeant l’effet de contraction (εθθ 1), la
contrainte critique en compression est donnée par :
σzzCr= −q E
3(1 − ν2) e
Rm
(5.8) Cette solution a été trouvée indépendamment par Lorenz (1908), Timoshenko (1910) [76] et Southwell (1914), ceux-ci s’étant notamment appuyés sur les travaux d’Euler sur le flam- bement des poutres droites.
En réalité, comme l’expliquent Bažant et Cedolin, cette solution de flambement axisy- métrique s’applique uniquement à la déformation initiale de tubes relativement épais et court. En effet, la majorité des coques cylindriques ne flambe pas de façon axisymétrique et d’ailleurs, même les tubes épais et court évoluent vers un mode de flambement non axisymétrique si on augmente la charge. En fait, cet aspect n’est pas rédhibitoire dans la mesure où la charge critique du flambement non axisymétrique se trouve être similaire à la solution proposée ci-dessus. Par contre, la limitation de ce modèle réside plus particu- lièrement dans l’effet combiné des non-linéarités et des imperfections géométriques : pour
Chap. 5 - Essai de traction-compression et de torsion alternée ces raisons, le chargement à rupture des coques cylindriques fines en compression axiale est en pratique de loin plus faible que la contrainte critique d’une coque parfaite élastique décrite par l’équation 5.8. Néanmoins, Bažant et Cedolin [75] indiquent que l’hypothèse selon laquelle la contrainte critique soit proportionnelle au facteur Ee/Rm constitue un
résultat correct : l’utilité de l’équation 5.8 réside ainsi dans le fait que celle-ci donne une limite haute de la réelle charge de flambement.
5.3.2 Comportement réel des coques en compression
Dans les structures réelles, divers comportement peuvent se produire suivant les di- mensions du tube (fig. 5.6). En particulier, Bažant et Cedolin proposent deux situations suivant les valeurs prises par un facteur de forme appelé paramètre de Batdorf et noté ¯Z :
¯ Z = L Rm 2 R m e √ 1 − ν2 (5.9)
Figure 5.6 – Distribution des tests de flambement sur des cylindres soumis à une compression axiale. (D’après Brush et Alm- roth [77] et cité par Mandal et al. [78, 79]).
Figure 5.7 – Évolution de la contrainte de flambement σb et du mode de flambement en
fonction de la longueur L [80] (Cas de l’acier pour une coque d’épaisseur e = 1 mm et de rayon moyen Rm = 50 mm).
Ainsi, pour les tubes longs avec une grand nombre de plis de flambement le long de la circonférence, ou plus généralement pour ¯Z > 2, 85, la contrainte critique de flambement
donnée par l’équation 5.8 est valide tandis que pour les cylindres courts, en particulier pour ¯Z 6 2, 85, on utilisera plutôt la loi suivante :
σCrzz = −π 2 12 1 + 12 ¯Z2 π4 ! e L 2 E 1 − ν2 (5.10)
De même, Silvestre [80] propose l’application de la théorie des poutres généralisée au comportement en flambement des profils à section creuse circulaire, basée notamment sur la théorie sur l’élasticité proposé par Love [81]. L’objectif de cette méthode est de prédire les différentes structures de flambement pouvant apparaître (figure 5.7).
Enfin, comme on peut le voir sur le graphique 5.6, plus le ratio Rm/eest grand et plus
le comportement réel s’éloigne de la valeur théorique : Zhu et al. [79] ont alors observé que la corrélation de leur données expérimentale conduit plutôt à une loi en (e/Rm)3/2
pour la contrainte de flambement en lieu et place de la dépendance linéaire proposée par la formulation théorique (équation 5.8). À l’inverse, pour les faibles valeurs du ratio Rm/e
(ce qui est notre cas puisque Rm/e = 4, 5), la contrainte de flambement théorique n’est
pas très éloignée des valeurs mesurées expérimentalement.
5.3.3 Théorie classique du flambement des coques axisymétriques
en torsion
De même, il existe dans la littérature plusieurs expressions analytiques pour calculer la contrainte de cisaillement critique pour le flambement en torsion des cylindres longs [80] : σCrθz = k E (1 − ν2)3/4 e Rm 3/2 (5.11) avec k = 0, 272 pour la théorie proposée par Donnell [82] et k = 0, 236 pour celle proposée par Love [81]. Pour les cylindres de longueur moyenne (200 < L < 2000 mm), on peut enfin utiliser la formule suivante proposée par Schilling :
σθzCr = 0, 692E (1 − ν2)0,625 e Rm 1,25R m L 0,5 (5.12)
5.3.4 Application aux dimensionnement de l’éprouvette
Conformément aux dimensions admissibles par la machine et en référence aux cam- pagnes d’essais précédemment réalisées sur ce dispositif, nous avons opté pour une éprou- vette de longueur totale de Ltot = 150 mm et dont la section utile est définie par :
– une longueur utile L0 = 30 mm,
– un rayon intérieur Ri = 12 mm et un rayon extérieur Re = 15 mm, soit un rayon
moyen Rm = 13, 5 mm et une épaisseur e = 3 mm.
La figure 5.8 définit alors la géométrie de l’éprouvette et indique les dimensions des zones de raccordement et des têtes d’amarrage. Alors que les équations proposées ci-dessus se basent essentiellement sur la théorie des coques, on peut voir que les dimensions de la section utile de notre éprouvette sont à la limite de la définition d’une coque (ratios
L/e= 10 et Rm/e= 4, 5). Ainsi, notre éprouvette étant épaisse, le mode de flambement
le plus vraisemblable est un flambement axisymétrique, les autres modes présentées sur la figure 5.7 apparaissant pour des structures beaucoup plus fines. Enfin, le coefficient de Batdorf associé à notre tube vaut alors ¯Z = 20, 98. Pour ces raisons, on se basera donc sur
la contrainte critique proposée par l’équation 5.8 pour déterminer la tenue en flambement du tube en compression. En torsion, on utilisera l’équation 5.11 dans la version proposée par Donnell.
Chap. 5 - Essai de traction-compression et de torsion alternée 44° 90° 23 ±0,02 0.02 A 5,4 ±0,10 R100 24 H7/m6 25 30 ( 24 H7m6) A 0.02 B B 46 ±0,05 0.02 A A 0.02 0.02 A 0.02 A 0.02 A A 0.02 0.02 A ±0,10 150 0 30 0,04 20 20 42 - 40 ±0,10 ±0,10 ±0,10 ±0,02 60 30 ±0,10
Figure 5.8 – Plan et cotations de l’éprouvette finale utilisée en compression-torsion. Dès lors, le tableau 5.1 présente les valeurs théoriques de flambement pour le matériau et les dimensions utilisés que l’on compare ensuite aux limites à rupture déterminée par la rhéologie en traction sur éprouvettes normalisées (tableau 3.3 p. 52) :
Traction/compression Torsion
σzz (MPa) Fz (kN) σθz (MPa) Cz (N.m)
Valeurs critiques en flambement -9514 -2421 2166 7471
Rupture (Théorie des tubes) 276 70,23 276/√3 549,7
Coefficients de sécurité 34,5 13,6
Tableau 5.1 – Force et couple admissibles pour l’éprouvette en compression-torsion. Les coefficients de sécurité sont de l’ordre de 34, 5 et 13, 6 si bien que, sur la base de la théorie développée ci-dessus, le flambement ne devrait intervenir ni en compression ni en torsion. On peut enfin noter que l’utilisation de l’équation 5.10 en compression et de l’équation 5.12 en torsion conduit à des coefficients de sécurités encore plus importants (respectivement 129 et 33,4). Naturellement, le flambement en torsion n’a de sens que sur des éprouvettes entières et ne s’applique donc pas pour l’essai de soudabilité de deux demi-échantillons. De même, pour ce dernier cas, on suppose que l’interface de soudage créée n’affecte pas le flambement en compression.