2.2 Description modulaire d’une loi de commande
2.2.1 Contrôle avec commutations
Les approches basées sur le contrôle avec commutations (Switching control) et les systèmes hybrides telles que [TRC+10] permettent d’introduire de la modularité dans la conception du
contrôle. Nous présenterons dans un premier temps des considérations générales sur de tels systèmes, notamment liées à la preuve de leur stabilité, puis un exemple de contrôle appliqué à la robotique mobile illustrera ces principes.
Généralités sur les systèmes hybrides et le contrôle avec commutations Les explications présentées ici sont basées sur [Lib03].
Un système hybride est un système comprenant une interaction entre une dynamique continue et une dynamique discrète.
Considérons un système continu dont la dynamique est décrite par l’équation ˙x = Ax+Bu avec x ∈ Rn l’état du système et u ∈ Rm ses entrées de commande. Considérons également
2.2. Description modulaire d’une loi de commande
transitions entre deux états de Q sont déclenchées par une entrée v, dont les valeurs sont dans l’ensemble V, selon la fonction de transition d’état t : Q × V → Q.
Ce système sera défini comme hybride si u = f(q) et v = g(x), f et g étant des fonctions quelconques. La Figure 2.6 résume graphiquement la définition ci-dessus.
Figure2.6 – Un système hybride (figure tirée de [Lib03, Figure 1])
En théorie du contrôle, l’étude se focalise principalement sur les propriétés du système continu, lequel est considéré comme étant associé à des évènements de commutation discrets. De tels systèmes, où le comportement du système discret est négligé, sont appelés systèmes commutés (switched systems). L’une des principales préoccupations lors de l’étude de tels systèmes à des fins de contrôle est de déterminer leur stabilité et les conditions que celle-ci impose sur les évènements de commutation.
Se basant sur la théorie précédente, le contrôle avec commutations consiste à décrire le contrôleur non pas comme un unique contrôleur mais comme un ensemble de n contrôleurs couplés à une logique décisionnelle chargée de déterminer le contrôleur à utiliser. Ceci est représenté dans la Figure 2.7, où y représente les capteurs placés sur le système. Dans la suite, le signal de commutation sera noté σ afin de rester cohérent avec les notations de la littérature.
Evidemment l’étude de la stabilité de tels systèmes est un point crucial. En effet, même si chaque contrôleur est lui-même stable, les commutations peuvent générer une instabilité du système. Deux approches majeures se dégagent pour étudier la stabilité de tels systèmes et établir les conditions s’appliquant sur le signal de commutation pour que les commutations ne provoquent pas d’instabilité. Il faut néanmoins noter que ces approches se basent sur l’étude de la stabilité en temps continu (notamment les fonctions de Lyapunov précédemment présentées). L’impact d’une exécution en temps discret et de la période d’exécution n’est pas mis en lumière dans ces approches.
Les fonctions de Lyapunov communes :
Si les différents contrôleurs partagent une fonction de Lyapunov commune alors le contrô- leur est Globalement Uniformément Asymptotiquement Stable (GUAS).
Ici la preuve de stabilité ne diffère pas de celle des contrôleurs ne présentant pas de com- mutation. En effet quel que soit le contrôleur utilisé, l’état du sytème continue à évoluer selon la fonction de Lyapunov tendant donc à se stabiliser.
De plus, dans ce cas, la stabilité est indépendante du signal de commutation choisi.
Dwell Time :
Si une fonction commune ne peut être trouvée, alors il faut s’assurer que la période du signal de commutation soit suffisamment élevée pour permettre aux effets transitoires générés lors de la commutation de se dissiper.
Ainsi, si l’on introduit un temps τd > 0 tel que, quels que soient deux instants de com-
mutation consécutifs ti et ti+1, l’inégalité ti+1− ti ≥ τd soit satisfaite, le contrôleur est stable
si τd est suffisament grand. τd est appelé dwell time. L’objectif de cette approche est donc de
déterminer la borne inférieure de τd afin que la stabilité du système soit garantie. En outre,
elle nous permet d’exprimer des contraintes temporelles sur le signal de commutation.
Néanmoins, le concept de Dwell Time peut s’avérer trop restrictif notamment dans le cadre des applications robotiques. On pourra alors considérer son extension, baptisée Average Dwell Time [HM99]. Dans ce cadre, on définit un nombre maximal de commutations autorisées sur une fenêtre glissante de temps. Ainsi, des commutations plus rapides seront possibles quand l’application le nécessitera (pour par exemple prendre en compte une panne sur le robot, ou la rencontre d’un obstacle) puis il sera possible de compenser en ralentissant la période des commutations par la suite afin de conserver l’écart moyen entre les commutations.
2.2. Description modulaire d’une loi de commande
Une application de contrôle avec commutations
Considérons l’exemple de contrôle avec commutations présenté dans [TRC+10]. Celui-ci
illustre comment une approche basée sur les commutations permet d’introduire de la modu- larité dans la conception du contrôle.
Cet exemple présente un algorithme de suivi d’un contour quelconque basé sur le principe de contrôle avec commutations. Si le problème d’un suivi de mur de forme régulière (i.e. ne présentant pas de variations soudaines dans sa forme, voir Figure 2.8.a) est relativement simple à résoudre, la présence d’une variation abrupte soit due au contour lui-même (ce qui risque d’entraîner la "perte de contact" avec le contour, voir Figure 2.8.b) ou due à un coin intérieur au contour (risque de collision avec la partie du mur faisant face au robot, voir Figure 2.8.c) est difficile à traiter avec un contrôleur unique.
Figure2.8 – Trois situations que peut rencontrer le robot lors d’un suivi de contour
Ainsi cette approche permet de décomposer le problème global en trois sous-problèmes et de développer de manière indépendante une solution à chaque sous-problème apportant de la modularité dans la conception du contrôleur. La logique de commutation se base quant à elle sur deux signaux générés à partir des mesures sonar. La Figure 2.9 décrit le contrôleur ainsi obtenu.
Wall-Following est le contrôleur de suivi de mur. Circular Path représente le contrôleur gérant la situation de "perte de contact" avec le contour. Il consiste à faire décrire au robot un cercle de rayon R = ˜dlost où ˜dlost est la distance au mur avant la perte de contact. Enfin,
Orientation correspond au contrôleur pour traiter les collisions. Il fait simplement tourner le robot sur lui-même jusqu’à ce qu’il fasse face à une zone sans obstacle.
La preuve de stabilité du contrôleur est réalisée en utilisant la méthode des fonctions de Lyapunov communes.
Figure2.9 – Contrôleur avec commutations pour le suivi de contour (figure tirée de [TRC+10, Figure 11])
Limitations de cette approche
Néanmoins cette approche présente un certain nombre de limitations. En effet, afin de pou- voir étudier la stabilité du système, il est nécessaire que chaque contrôleur possède les mêmes états. Cela limite naturellement les contrôles descriptibles via cette approche.
De plus dans le cadre d’un système comme celui décrit dans la Figure 2.7, la transition entre les contrôleurs lors de la commutation n’est pas considérée. Ainsi l’initialisation du contrôleur démarré (celui qui va devenir actif) en fonction du contrôleur qui est interrompu (celui qui était précedemment actif) n’est pas présentée. En effet, dans cette approche, les contrôleurs sont considérés comme évoluant "en parallèle" et donc la commutation n’est vue que comme une modification de la liaison entre les contrôleurs et le processus contrôlé comme cela est illustré dans la Figure 2.7. Mais bien sûr il ne s’agit pas d’une solution viable dans le cadre d’une implémentation et il faut alors se préoccuper de l’initialisation de l’état du contrôleur à activer en fonction de l’état du contrôleur interrompu comme illustré par exemple dans [Car04].
Dans [TRC+10], cette problématique n’est pas non plus explicitement traitée. Néanmoins,
l’action d’initialiser le rayon du cercle à effectuer, dans le cadre du contrôle choisi pour gérer la perte de contact avec le contour, à partir de la dernière distance par rapport au mur suivi, dénote une prise en compte de cette problématique ainsi qu’une ébauche de solution.
2.2. Description modulaire d’une loi de commande
du contrôle sur le robot et les problématiques qui lui sont associées ne sont pas considérées.