Chapitre 2 Développement de méthodes d’étalonnage
2.2 Cas de l’accéléromètre et des régimes stationnaires
2.2.1 Contexte
2.2.2.1 Séquence de pilotage du résonateur...78 2.2.2.2 Établissement des estimateurs...81 2.2.3 Développement théorique dans le cas non linéaire...83 2.2.4 Détermination de l’amplitude hors résonance...86 2.2.5 Cas particulier de l’hystérésis...90 2.2.6 Domaine et vitesse de convergence...92 2.2.6.1 Notations et détermination d’un critère...92 2.2.6.2 Théorème du point fixe...94 2.2.6.3 Cas de l’estimateur grossier de l’amplitude hors résonance...95 2.2.7 Stabilité en présence de sources de bruits...97 2.2.7.1 Développement analytique...97 2.2.7.2 Résultats de simulations numériques...99 2.2.8 Perspectives : généralisation à un nombre quelconque de points de mesure...101
2.3 Cas du gyromètre et des régimes transitoires...103
2.3.1 Contexte...103 2.3.2 Extraction de paramètres à partir d’un unique régime transitoire...104 2.3.2.1 Introduction aux spirales logarithmiques...104 2.3.2.2 Mesures à intervalles de temps réguliers...105 2.3.2.3 Stabilité des spirales logarithmiques par moyennage...107 2.3.2.4 Optimisation des estimateurs en présence de sources de bruits...108 2.3.2.5 Performances théoriques et simulées de l’étalonnage dans le cas du VIG....111 2.3.3 Perspectives : extraction de paramètres sous modulation d’excitation...113 2.3.3.1 Configuration par défaut et notations...113 2.3.3.2 Développements asymptotiques et estimateurs...115
2.1 Principes généraux
Les principes physiques fondamentaux étant posés, il convient de considérer un aspect essentiel du développement des capteurs inertiels : l’étalonnage. On parle aussi de calibration.
Le capteur électromécanique est caractérisé par la donnée de plusieurs paramètres, qui ont été pour certains définis dans la partie 1.3 (étendue de mesure, biais, facteur d’échelle), ou qui sont spécifiques à l’architecture utilisée pour d’autres (couplages capacitifs, mécaniques, gains et déphasages électroniques, et divers effets non linéaires). Ces paramètres sont sensibles à l’environnement du capteur, notamment aux effets thermiques, comme cela a déjà pu être évoqué dans la partie 1.3 (sensibilités, hystérésis et résidus du biais et du facteur d’échelle).
L’intérêt de l’étalonnage est d’évaluer l’évolution de ces paramètres, dont la connaissance est indispensable pour assurer une mesure inertielle fiable. Dans notre cas, les procédés considérés consistent à faire subir des scénarios très particuliers de pilotage de l’excitation électronique de la cellule, en jouant judicieusement sur sa fréquence, son amplitude et sa phase. La mesure de la réponse électronique résultante fournit alors l’information nécessaire pour mettre à jour les valeurs de ces paramètres.
On peut distinguer plusieurs types d’étalonnage :
• Les étalonnages sur table, ou calibrations sur table (en anglais : « calibration procedures with calibration-table » [Dorveaux 2009] ou « instruction-based calibration » [Martin 2016]) sont les plus classiques. Il s’agit d’étudier le capteur dans un environnement contrôlé, en imposant la valeur de grandeurs parmi, par exemple, la température, l’humidité, le champ magnétique et l’inertie. La connaissance de ces données permet un étalonnage fiable à partir de calculs les plus simples possible sur la mesure de la réponse. Ce procédé est adapté aux paramètres qui doivent être mesurés très précisément, et qui sont stables et robustes au vieillissement. Ces calibrations ne sont en général réalisées qu’une seule fois dans la vie du capteur, au moment de sa fabrication. Ainsi, la durée du processus d’étalonnage n’est pas un critère critique. • Les auto-étalonnages statiques, ou auto-calibrations statiques (en anglais : « static
self-test » [Schalk 2003] ou « static self-calibration ») ne nécessitent pas la connaissance des variables d’environnement. Les scénarios d’excitation et les calculs effectués sur la mesure sont alors souvent plus élaborés que dans le cas des étalonnages sur table. En contre-partie, le procédé peut être effectué régulièrement
la valeur des paramètres qui varient au cours de l’utilisation de l’instrument. En revanche, pendant le temps de l’étalonnage, la mesure inertielle n’est plus possible et doit être interrompue [Bauer 2001]. Cet aspect est la caractéristique principale de la dernière catégorie.
• Les auto-étalonnages permanents, ou auto-calibrations permanentes (en anglais : « permanent/on-going/time-continuous self-test or self-calibration » [Schalk 2003] [Bauer 2001][Aikele 2000]) sont une extension idéale de la catégorie précédente, où la mesure inertielle peut être effectuée en parallèle de l’étalonnage, sans être interrompue. Dans la pratique, ils sont délicats à mettre en œuvre, mais sont très recherchés lorsque l’exigence de résolution temporelle de mesure de l’instrument est élevée. Les principes exploités sont en général l’utilisation d’une composante fréquentielle supplémentaire du signal de réponse [Prikhodko 2013][Link 2005][Schalk 2003][Bauer 2001][Aikele 2000], ou la redondance de capteurs à auto-étalonnage statique : chacun passe à tour de rôle dans un mode d’étalonnage pendant que les autres assurent la mesure inertielle [Rozelle 2011].
Les séquences de calibrations sur table sont les plus simples, mais elles ne suffisent pas pour assurer une mesure inertielle fiable. Il faut inclure des auto-calibrations dans le fonctionnement normal de l’instrument, qui nécessitent un développement algorithmique plus poussé. Ce chapitre présente quelques exemples et pistes permettant d’atteindre cet objectif pour les capteurs de l’ONERA.
Étant donné que les caractéristiques des accéléromètres et des gyromètres diffèrent fortement, notamment en termes de facteur de qualité des résonateurs, l’évaluation d’un même paramètre s’effectuera différemment d’un cas à l’autre.
2.2 Cas de l’accéléromètre et des régimes
stationnaires
2.2.1 Contexte
L’accéléromètre VIA possède un facteur de qualité de quelques milliers et une fréquence de résonance de l’ordre de quelques dizaines de kHz (voir partie 1.3.3). Le temps de réponse de la cellule vibrante est alors de l’ordre de quelques centièmes de seconde (formules (1.39) et (1.40) de l’analyse des régimes transitoires des résonateurs). En mode de mesure ininterrompu, l’architecture électronique utilisée et développée dans le Chapitre 3 permet une
transmission des données avec une cadence de l’ordre d’une cinquantaine de points de mesure d’amplitude par seconde. On a donc très peu de points de mesure, quelques unités seulement, pour décrire l’évolution des amplitudes sur un régime transitoire. En revanche, ce temps de réponse très faible permet d’exploiter la mesure de plusieurs états stationnaires distincts sur une durée de l’ordre de quelques secondes.
Le facteur de qualité de l’accéléromètre est plus faible que celui du gyromètre, mais il reste largement assez grand pour se placer dans l’approximation de la partie 1.2.1 où la représentation des états stationnaires dans le plan de Nyquist est un cercle (figure 1.6), et dont on reprend ici la théorie et les notations sur la figure 2.1.
Pour alléger les calculs, on fait une exception pour les noms des coordonnées du plan de Nyquist, qui passent dans cette partie 2.2 de (xM p, xM q) à (x, y), et avec xM=
√
xM p2+xMq2et xres=xM(!0) qui deviennent respectivement z =
√
x2+ y2 et zres=z( !0)(changements de notation spécifique à l’ensemble du Chapitre 2). À ne pas confondre avec les notations de la partie 1.2.3 : on ne considère ici bien qu’un unique mode de résonance.Figure 2.1 - Amplitudes des états stationnaires dans le plan de Nyquist
On représente également en vert le point hors résonance, dit pied du cercle, et l’axe du diamètre qui passe par ce point, que l’on appellera axe du cercle. L’angle de cet axe et la position de ce pied correspondent aux effets décrits dans la partie 1.2.5. Calibrer l’instrument, c’est donc d’abord déterminer précisément d’une part les paramètres géométriques de ce cercle et de son axe, pour le déplacer vers sa position de référence de la
fréquence correspondant (1.29), que l’on rappelle ici en (2.1) :
!(Ã ) = !0