Construction d’un quantifieur optimal

Il existe de nombreuses méthodes pour construire un quantifieur optimal. Dans certains cas très rares, les centroïdes sont donnés explicitement, par exemple lorsque X „ Upra, bsq où a, b P R, la grille ΓN est donnée par

ΓN “␣xN1 , . . . , xNN ( “ " 2i ´ 1 2N : i “ 1, . . . , N * .

Nous nous référons également à [GL00] pour la loi de Laplace et à [FP02] pour des formules semi-fermées pour la loi exponentielle, la loi puissance et la loi puissance inverse. Néanmoins, la plupart du temps, ce n’est pas le cas donc nous devons utiliser des méthodes itératives pour construire les grilles et les poids associés à chacun des centroïdes. Ces méthodes itératives se divisent en deux grandes familles : les méthodes déterministes (algorithme de Lloyd, algorithme de Newton-Raphson et leurs variantes, ...) qui se basent sur la connaissance explicite de la densité et la fonction de répartition de la loi de X et les méthodes à base d’optimisation stochastique (Competitive Learning Vector Quantization (CLVQ), randomisation de l’algorithme de Lloyd, ...) nécessitant seulement de pouvoir simuler X. Ces méthodes sont détaillées dans le Chapitre3.

Cas d’une variable aléatoire réelle - d “1. Dans le cas unidimensionnel, nous avons un

résultat d’unicité du quantifieur optimal lorsque la densité de X est log-concave. Ce théorème a été démontré par Kieffer dans [Kie82] (voir aussi [Pag98]).

Si X est une variable aléatoire (d “ 1) dont on connait le premier moment partiel KXp¨qet

la fonction de répartition FX de X

K_Xpxq:“ ErX 1Xďxs et FXpxq:“ PpX ď xq,

alors on utilise en priorité les méthodes déterministes qui permettent de construire très rapide- ment un quantifieur optimal de X, tel que l’algorithme de Lloyd introduit dans [Llo82] qui est un algorithme de recherche de point fixe. Il est également possible d’appliquer l’algorithme de Newton-Raphson en calculant la Hessienne de la fonction de distorsion quadratique (voir [PP03] pour un exemple détaillé appliqué à une variable aléatoire normale). D’autres descentes de gradient déterministes peuvent être utilisées tel que Levenberg-Marquardt ou des méthodes de quasi-Newton. Sinon, on utilise les méthodes à base d’optimisation stochastique telles que la version stochastique de l’algorithme de Lloyd ou une descente de gradient stochastique (voir [Pag98]).

Example 2.1.3. Dans la Figure 2.2, nous représentons en bleu la densité d’une variable

aléatoire gaussienne unidimensionnelle et en rouge les centroïdes du quantifieur optimale de taille N “ 11 de cette même variable aléatoire. Nous illustrons également ce que représentent les poids pN

i associés aux centroïdes xNi . De plus, nous pouvons approcher la densité (si elle

existe) en chaque point de la grille par la relation suivante

f pxN_i q « 2p N i xN i`1{2´ xNi´1{2 .

Fig. 2.2 Densité d’une gaussienne centrée réduite N p0, 1q en bleu et les centroïdes d’un quantifieur

Cas d’un vecteur aléatoire - d ě 2. Maintenant, considérons un vecteur aléatoire X à

valeurs dans Rd _{(d ě 2). Deux approches existent pour construire un quantifieur optimal de la}

loi de X.

La première approche consiste à appliquer la méthodologie développée dans le cas scalaire directement au cas vectoriel et obtenir ainsi une quantification optimale de X. Si l’on connait la densité de X alors il est encore possible en dimension 2 ou 3 d’appliquer les méthodes déterministes (cf. Chapitre 3). Cependant dès d ě 4, nous ne pouvons plus guère compter que sur des méthodes d’optimisation stochastique fondées sur la simulation d’échantillons de la loi de X.

La seconde, la quantification produit, consiste à construire un quantifieur optimal de chacune des composantes du vecteur aléatoire et ensuite de construire le quantifieur en considérant le produit cartésien entre toutes les composantes quantifiées optimalement. Plus précisément, soit X “ pXℓ

qℓ“1:d, un vecteur aléatoire à valeurs dans Rd. On considère les d quantifieurs

optimaux unidimensionnels pXℓ de taille Nℓ de chacune des marginales Xℓ. Chaque quantifieur

p

Xℓ prend ses valeurs dans la grille ΓNℓ

ℓ “␣ziℓℓ, iℓ P t1, ¨ ¨ ¨ , Nℓu

(

. Ainsi, le quantifieur produit de

X prend ses valeurs dans la grille ΓN qui est le produit cartésien des grilles unidimensionnelles,

i.e. ΓN

“śd_ℓ“1ΓN_ℓ ℓ de taille N “ N1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Ndou, de façon équivalente, ΓN “␣px1i1, ¨ ¨ ¨ , x ℓ iℓ, ¨ ¨ ¨ , x d idq, iℓP t1, ¨ ¨ ¨ , Nℓu, ℓ P t1, ¨ ¨ ¨ , du(.

Fig. 2.3 Deux quantifications de taille N “ 200 d’un vecteur gaussien centré et de matrice

de variance-covariance unitaire. Quantification optimale à gauche et quantification produit à droite.

Dans la Figure2.3, nous comparons la quantification optimale et la quantification produit d’un vecteur gaussien centré et de matrice de variance-covariance unitaire. Les deux méthodes

ont leurs avantages et leurs inconvénients, la première méthode produit une meilleure quan- tification du vecteur aléatoire X comparée à la quantification-produit mais le coût numérique induit pour la construction d’un quantifieur optimal est souvent beaucoup plus élevé.

Cas des diffusions. Si maintenant, au lieu de considérer un vecteur aléatoire, nous nous

intéressons aux diffusions, i.e.

dXt“ bpt, Xtqdt ` σpt, WtqdWt

alors il existe, là encore, plusieurs solutions pour quantifier Xt. Plus précisément, étant donné

une discrétisation en temps à n-pas ptkq0ďkďn, nous cherchons les quantifieurs pXtNkk de taille

Nk de Xtk que nous noterons pX

Nk

k et Xk afin d’alléger les notations. L’objet que l’on cherche à

construire est dénommé arbre de quantification. Un arbre est caractérisé par la connaissance des lois `Γk, ppkiq1ďiďNk

˘

des quantifeurs p pXkq0ďkďn et des probabilités de transition pki,j

P`Xp<sub>k`1</sub>“ xk`1_j | pX_k“ xk_i˘.

Nous ne présenterons pas toutes les approches existantes qui permettent d’aborder le problème de schémas quantifiés de discrétisation d’une diffusion mais seulement celles qui nous permettent d’utiliser des méthodes numériques déterministes d’optimisation des grilles. Pour les autres approches, basées sur des algorithmes stochastiques nous renvoyons à la série de papiers [BPP01;BP03].

Quantification des lois marginales. Le problème de la quantification d’une diffusion

a été initié et développé dans une série d’articles [PPP04b;BPP05;BBP09;BBP10;CFG19]. Si Xk peut être simulé de façon exacte, c’est à dire sans l’aide d’un schéma de discrétisation en

temps, et que nous connaissons la loi marginale de Xk, à chaque instant tk, alors nous sommes

ramenés au cas de la quantification d’un vecteur aléatoire. En effet, nous pouvons quantifier optimalement chaque vecteur aléatoire Xk à l’aide de méthodes numériques déterministes si d ď2, ce qui produit un arbre de quantification optimal, ou quantifier optimalement chacune

de ses composantes pour ensuite construire une quantification produit des Xk, produisant un

arbre de quantification produit.

Example 2.1.4. Si l’on considère un modèle de Black-Scholes à volatilité constante σ et avec

taux d’intérêts constants r

dSt“ Stprdt ` σdWtq, avec S0 “ s0,

alors nous avons une forme explicite pour St

St“ S0epr´σ

2_{2qt`σW

donc pour un instant donné t, logpSt{S0q „ N

`

pr ´ σ2{2qt, σ2t˘ donc nous pouvons quantifier

optimalement St à chaque instant qui nous intéresse à l’aide de méthodes déterministes (cf.

Chapitre3). Nous pouvons également quantifier le Brownien Wt qui est “plus universel”.

Quantification récursive. Dans le cas où nous ne connaissons pas la loi marginale de Xk

et que sommes obligés d’utiliser un schéma de discrétisation (type Euler-Maruyama, Milstein, ...), nous allons utiliser une méthode appelée quantification récursive. La quantification récursive (aussi appelée quantification Markovienne) a d’abord été introduite dans [PPP04b] puis étudiée en profondeur dans [PS15] pour le cas d’une diffusion unidimensionnelle discrétisée par un schéma d’Euler-Maruyama. Un algorithme rapide fondé sur des méthodes déterministes pour construire l’arbre de quantification y est développé et analysé. Par la suite, la quantification récursive rapide a été étendue à des schémas unidimensionnels d’ordre supérieur par [McW+18] et à des dimensions supérieures par quantification de produit (voir [PS18b;FSP18;Rud+17; CFG18; CFG17]). Cette méthode consiste à construire récursivement en k les quantifeurs pXNk

k via la récursion p XNk k “ProjΓ_Nk ` r Xk ˘ avec rXk“ Ek´1 ` p XNk´1 k´1 , Zk ˘ où Ek´1 est un schéma de discrétisation.