Construction d’un modèle OPC

Le modèle OPC a pour objectif de simuler l’étape de lithographie, c’est-à-dire à obtenir un contour dans la résine photosensible à partir du motif présent sur réticule. Il est calibré à partir d’image obtenues avec un Microscope Electronique à Balayage (MEB) sur de nombreuses structures. Le choix de ces structures de calibration est fait de manière judicieuse et représente un panel complet des configurations caractéristiques du niveau considéré (exemples : Grille, Métal, Vias,…). On y retrouve des structures telles que des motifs denses et isolés en une dimension (exemple : lignes de réseaux), des motifs en deux dimensions (exemple : contacts), et dans les deux polarités (cf. partie B.II.3.). Le modèle doit intégrer la source, le réticule, le système de projection optique, la résine et le substrat sur lequel la résine est déposée. Le modèle sera composé de deux parties :

Figure 34 : Illustration du processus itératif de correction des effets de proximité optique basée sur l'utilisation de modèles mathématiques.

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1. La première partie permet de modéliser l’intensité obtenue dans l’épaisseur de la résine à l’aide de la description complète du scanneur. On désigne cette première partie comme étant le modèle optique.

2. La seconde partie permet de modéliser les interactions physico-chimiques qui se produisent dans la résine lors des étapes d’expositions et de développement. On désigne cette partie comme étant le modèle résine.

La création du modèle optique permet de calibrer les paramètres optiques que sont la dose, la position du plan focal sur l’axe optique et la position de l’image aérienne dans la hauteur de la résine. Une fois ces paramètres fixés, la création du modèle résine permet de calibrer les paramètres de diffusion des acides et des bases générés pendant les phases d’exposition, de recuit et de développement de la résine. Il existe de nombreuses approches permettant de modéliser les effets résines. Toutefois nos travaux concernent les réticules et leurs prises en compte dans le modèle optique, on se limitera ici exclusivement à l’étude de ces modèles optiques. On retrouve dans d’autres travaux de thèses [21] [16] la description complète des modèles résines et les subtilités déployées à travers l’utilisation de chacun d’entre eux. On retiendra les modèles à seuil constant et les modèles à diffusion gaussienne [21], utilisés dans la partie C de ce manuscrit. Le chapitre suivant vise à décrire de manière plus détaillée la construction d’un modèle optique.

b. Le modèle optique

Le calcul de l’intensité de l’étape d’exposition lithographique utilise la théorie de l’optique de Fourier et la théorie de la diffraction scalaire.

La modélisation d’un système de microscopie a été introduite par Ernst Abbe en 1873 [22]. L’approche qui en résulte est de calculer l’image obtenue dans la résine via la diffraction du réticule pour chaque point source, puis de sommer l’ensemble des images obtenues pour reconstituer l’image dans la résine.

Le réticule est représenté par deux fonctions scalaires discrètes définies selon le point considéré sur le réticule telles que :

𝑡(𝑥, 𝑦) = {^𝑡_{1 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑙𝑎𝑐é 𝑠𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑧} ^{1 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑙𝑎𝑐é 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑚𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑢 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑒𝑢𝑟} 𝜑(𝑥, 𝑦) = {^𝜑_{0 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑙𝑎𝑐é 𝑠𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑧} ^{1 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑙𝑎𝑐é 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑚𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑢 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑒𝑢𝑟} Où 𝑡(𝑥, 𝑦) représente la fonction scalaire discrète de transmission, 𝜑(𝑥, 𝑦) la fonction scalaire discrète de phase et (𝑥, 𝑦) les coordonnées cartésiennes d’un point sur le réticule. Le champ électrique s’écrit alors :

𝑒_𝑟(𝑥, 𝑦) = √𝑡(𝑥, 𝑦)𝑒𝑗𝜑(𝑥,𝑦)

Avec l’utilisation d’une illumination de type Köhler, le champ électrique diffracté 𝐸_𝑟(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦)

est la Transformée de Fourier du champ électrique 𝑒_𝑟(𝑥, 𝑦), où 𝑓_𝑥 et 𝑓_𝑦 sont les fréquences

spatiales suivant les deux dimensions du plan du réticule tel que :

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𝐸_𝑟(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦) = 𝑇𝐹 {𝑒_𝑟(𝑥, 𝑦)} = ∬ 𝑒_𝑟

𝑥,𝑦

(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑗2𝜋(𝑥𝑓_𝑥+𝑦𝑓_𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

La figure de diffraction est ensuite filtrée par le système de projection optique que l’on peut

modéliser mathématiquement par 𝑃(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦) défini comme suit :

𝑃(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦) = { 1 𝑠𝑖 √𝑓_𝑥2+ 𝑓_𝑦2 <^𝑁𝐴 𝜆 0 𝑠𝑖 √𝑓_𝑥2+ 𝑓_𝑦2 >^𝑁𝐴 𝜆

Où NA désigne l’ouverture numérique et λ la longueur d’onde de la source.

L’expression de la transformée de Fourrier du champ électrique après le système de projection optique 𝐸_𝑝(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦) s’écrit alors :

𝐸_𝑝(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦) = 𝐸_𝑟(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦). 𝑃(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦)

Pour obtenir le champ électrique sur la plaque il suffit alors d’appliquer la transformée de Fourier inverse à l’expression précédente. Il vient :

𝑒_{𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒}(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐹−1{𝐸_𝑝(𝑓_𝑥,𝑓_𝑦)}

𝑒_{𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒}(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐹−1{𝐸_𝑟(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦). 𝑃(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦)} On obtient l’intensité sur plaque pour un point source :

𝐼(𝑥, 𝑦) = |𝑒_{𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒}(𝑥, 𝑦)|²

On obtient l’expression de l’intensité totale pour chaque point issu de la source partiellement cohérente en intégrant sur la totalité de la source :

𝐼_𝑡𝑜𝑡(𝑥, 𝑦) = ∬|𝑒_{𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒}(𝑥, 𝑦)|²𝑑𝑓_𝑥𝑑𝑓_𝑦

𝑓_𝑥𝑓_𝑦

Le calcul de l’intensité à partir de la formulation d’Abbe impose de refaire tout le calcul dès lors qu’un élément est modifié (source, réticule ou système de projection). Les nombreuses itérations réalisées durant l’OPC agissent directement sur le réticule et la modification géométriques des motifs qui le composent. La source d’illumination et le système de projection optique ne changent pas durant l’OPC. L’approche d’Hopkins [23] permet de calculer l’intensité comme étant un produit d’une fonction permettant de décrire le réticule, par une fonction dépendant uniquement de la source d’illumination et du système optique de projection. En effet, on sait qu’un décalage d’un point source hors de l’axe optique va générer un décalage de la figure de diffraction au niveau de la pupille. Ce qui se traduit au niveau de l’expression du champ électrique sur plaque par :

Equation 17

Equation 18

Equation 19

Equation 20

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𝑒_{𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒}(𝑥, 𝑦, 𝑓_𝑥′, 𝑓_𝑦′) = 𝑇𝐹−1{𝐸_𝑟(𝑓_𝑥+ 𝑓_𝑥′, 𝑓_𝑦+ 𝑓_𝑦′). 𝑃(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦)} Le décalage de la figure de diffraction est transféré sur la pupille :

𝑒_{𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒}(𝑥, 𝑦, 𝑓_𝑥′, 𝑓_𝑦′) = 𝑇𝐹−1{𝐸_𝑟(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦). 𝑃(𝑓_𝑥+ 𝑓_𝑥′, 𝑓_𝑦+ 𝑓_𝑦′)}

Le champ électrique diffracté en sortie du réticule 𝐸_𝑟(𝑓_𝑥, 𝑓_𝑦) ne dépend donc plus du point

source considéré. On appelle TCC (de l’anglais Trans Cross Coefficient) les tables contenant les variables dépendant uniquement de la source et du système de projection. Les logiciels de traitement OPC reposent aujourd’hui sur l’utilisation de ces tables pour améliorer le temps de calcul des corrections OPC.

c. Les hypothèses et limites du modèle optique

La modélisation de la partie optique de notre outil de lithographie impose un certain nombre d’hypothèses simplificatrices lors de la description de notre problème. L’utilisation de la théorie de Fourier nécessite trois hypothèses :

1. Les champs électrique et magnétique ne sont pas couplés et il n’existe aucune interaction entre les deux. L’intensité résultante sur plaque peut être décrite à partir du champ électrique seul.

2. Les effets vectoriels qui proviennent du réticule peuvent être négligés car on ne tient pas compte de la polarisation de l’onde à travers le réticule.

3. Le réticule est suffisamment fin pour que sa topographie n’ait aucune influence sur le calcul de la figure de diffraction. Ce qui permet de décrire le réticule avec une simple fonction scalaire.

Cependant ces approximations ne sont valides que sous 2 conditions :

- Si les motifs du réticule, désignés le plus souvent par la valeur de la dimension critique (CD) est grande devant la longueur d’onde. [4] estime que cette condition est vérifiée si les motifs sont deux fois supérieurs à la longueur d’onde.

- Si l’épaisseur du réticule est faible devant la longueur d’onde. [4] estime que cette condition est vérifiée si l’épaisseur de l’absorbeur sur réticule est inférieure à la longueur d’onde divisée par deux.

La première condition est clairement dépassée pour les niveaux les plus avancés. Les motifs présents sur réticule aujourd’hui pour les niveaux Métals en 28 nm ont des dimensions avoisinant les 180nm sur réticule, inférieures aux 386nm (deux fois 193) estimées par [4]. Pour les réticules avancés utilisés en 28nm, l’épaisseur est de 72nm, à comparer avec les 96,5nm (193/2). Notre deuxième condition est donc encore vérifiée dans la pratique. L’utilisation de réticule à décalage de phase invalide également l’hypothèse de non couplage des champs électrique et magnétique. Enfin l’utilisation de système à grande ouverture numérique (i.e. supérieure à 1) modifie l’état de polarisation de l’onde après qu’elle ait traversé le réticule, ce qui invalide également l’hypothèse selon laquelle les effets vectoriels provenant du réticule sont négligeables. Bien que le logiciel OPC utilisé aujourd’hui soit basé sur l’utilisation des TCC, il existe d’autres méthodes basées sur un calcul rigoureux du champ électromagnétique qui seront utilisées et développées dans la partie C de ce manuscrit.

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