Construction du modèle NL HST à variables instantanées

2.1.1 Principe

Les fondations de barrages poids et voûte supportent les efforts d’appui du barrage, qui sont répartis de

façon non-homogène entre l’amont et l’aval. Pour un chargement donné, l’appui génère des forces de

compression croissantes de l’amont vers l’aval, avec éventuellement, dans le cas des voûtes, des forces

de traction au pied amont de l’ouvrage. Dans le cas des voûtes, sous l’effet des variations des charges

s’exerçant sur l’ouvrage, les effets de basculement de la voûte induisent des variations d’efforts d’appui

sur la fondation ; ainsi en saison froide, la voûte sera basculée vers l’aval sous l’effet de la dilatation du

béton, allégeant d’autant plus le pied amont. A l’inverse en saison chaude, la voûte sera cette fois

davantage basculée vers l’amont, diminuant les forces de traction en pied amont. La perméabilité de la

fondation étant dépendante des efforts qu’elle subit, elle va elle-même varier sous l’effet des

mouvements de la voûte.

Alors que les charges hydrostatique, thermique et temporelle, qui constituent le niveau desollicitation

global ou les contraintes globales, déterminent de façon additive les déplacements de la voûte et donc

les efforts exercés sur la fondation, l’effet de ces charges sur la perméabilité et donc sur la piézométrie

de la fondation n’est en revanche pas additif, puisque les contraintes mécaniques du milieu sont couplées

à la pression exercée par le fluide sur le milieu. Ainsi, la contrainte effective dépend à la fois des efforts

d’appui (de la contrainte mécanique totale) et de la charge hydrostatique. La perméabilité du milieu étant

liée aux contraintes mécaniques effectives qu’il subit, elle est elle aussi gouvernée par un couplage HM.

Ceci constitue un premier niveau de non-linéarité. Ce couplage se traduit à l’échelle de la structure par

un effet hydrostatique

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variable suivant l’état thermique du barrage. En hiver, avec la contraction

thermique du béton, la décompression du pied amont autorise plus facilement la pénétration de la charge

hydrostatique et donc les sous-pressions sont importantes. A contrario, la dilatation estivale du barrage

comprime le contact en pied amont et la charge hydrostatique pénètre plus difficilement sous l’ouvrage.

C’est l’état thermique pour lequel les pressions d’eau sont les plus faibles.

Ainsi, contrairement à l’hypothèse considérée pour la construction du modèle HST qui postule que

l’effet hydrostatique est invariable quelle que soit la saison, il faut désormais considérer un effet

hydrostatique qui varie à l’échelle de la saison.

Dans le cas maintenant d’un ouvrage dont l’interface béton-rocher serait dégradée (fissurée), la

perméabilité de la fondation varie encore sous l’effet des variations du niveau de sollicitation global de

la voûte, mais le passage de l’état fermé à l’état ouvert de la zone fissurée induit un second niveau de

non-linéarité, qui se traduit par un effet de seuil. En effet, une évolution des sollicitations mécaniques

exercées sur la voûte dans le sens de la fermeture de la zone fissurée (saison chaude, faible remplissage)

aura un effet quasi nul si la fissure est déjà fermée (ou comprimée). Ainsi, sous un certain niveau de

sollicitation, la perméabilité de la fondation n’évoluant plus, le rapport de la piézométrie sur la charge

hydraulique n’évolue plus, même si les contraintes continuent d’évoluer. Afin de rendre compte de ce

phénomène, il est donc nécessaire de borner les effets de la contrainte mécanique globale sur la

piézométrie à partir d’un certain niveau de sollicitation.

Ces deux caractéristiques non-linéaires - couplage des effets des charges et non-linéarité entre les

sollicitations mécaniques et la piézométrie, ont parfaitement été mis en évidence par le modèle neuronal

(Chapitre 2: 4.2.2.2.3), et vont être introduits de façon explicite dans le modèle qui suit.

2.1.2 Mise en équation

Figure 3.1 - Représentation de l'interface béton-rocher, définition des notations

Soit un profil amont-aval d’un barrage voûte, dont la distance à l’amont est repérée par l’axe (𝑂𝑥)

(Figure 3.1). La cote de retenue est notée ℎ, exprimée en mètres au-dessus du niveau de la mer.

51

La pression hydrostatique participe d’une part au niveau de sollicitation global de la voûte donc aux efforts

mécaniques sur la fondation, et d’autre part, elle détermine la pression d’eau dans le milieu ; ainsi, elle joue sur

les deux composantes du couplage hydromécanique.

L’écoulement en fondation a lieu de l’amont vers l’aval sur une distance E (épaisseur du pied de

l’ouvrage), caractérisé par les grandeurs suivantes :

 𝑁𝑃(𝑥) le niveau piézométrique (m) mesuré par un piézomètre placé au contact, à une distance

𝑥 de l’extrémité amont du pied de l’ouvrage. Elle est associée à la charge hydraulique qui est

définie par convention par rapport au niveau aval 𝑁_𝑎𝑣: 𝐻(𝑥) = 𝑁𝑃(𝑥) − 𝑁_𝑎𝑣 ;

 𝑁_𝑎𝑚 et 𝑁_𝑎𝑣 les niveaux piézométriques (m) aux limites amont et aval. Ils sont associés aux

charges hydrauliques aux limites 𝐻_𝑎𝑚= ℎ − 𝑁_𝑎𝑣 et 𝐻_𝑎𝑣 = 0

 𝐹(𝑥) un facteur sans dimension.

Des pertes de charges ayant lieu le long de l’écoulement, la charge en 𝑥 est égale à une fraction de la

charge amont (equ. 3.1).

𝐻(𝑥) = 𝑁𝑃(𝑥) − 𝑁_𝑎𝑣 = 𝐹(𝑥) ∙ 𝐻_𝑎𝑚

𝑁𝑃(𝑥) = 𝑁_𝑎𝑣+ 𝐹(𝑥) ∙ 𝐻_𝑎𝑚 ^{equ. 3.1}

Cette fraction 𝐹 peut être reliée à la perméabilité hydraulique entre l’amont et le piézomètre notée 𝑘_𝑎𝑚,

et à la perméabilité entre le piézomètre et l’aval notée 𝑘_𝑎𝑣, en considérant l’analogie entre un courant

électrique et un écoulement hydraulique (Figure 3.2).

Figure 3.2 - Analogie entre courant électrique et écoulement hydraulique

L’expression de la résistance hydraulique dans le cas d’un écoulement en fissure décrit par la loi de

Poiseuille se détermine grâce à l’analogie de Hele-Shaw (Tableau 1.5). En utilisant les mêmes notations

qu’au Chapitre 1: 3.2.2 et 3.2.3.1, on peut montrer que 𝐷_𝑣=^𝑘

𝐻

𝛥𝑥(−𝑒 ∙ 𝐿_𝑧) ∙ 𝛥𝐻, avec 𝛥𝑥 la distance

parcourue par l’écoulement suivant (𝑂𝑥), 𝑒 et 𝐿_𝑧 les dimensions verticales et transversales de la fissure.

La résistance hydraulique s’en déduit par identification (equ. 3.2).

𝑅_𝐻= (−𝑒 ∙ 𝐿_𝑧∙^𝑘𝐻

𝛥𝑥⁾

−1

equ. 3.2

Figure 3.3 - Principe du calcul de la charge en x par analogie avec les courants électriques

R_h

D

_v

∆H

∆H=R

_h

∙D

_v

R_e

I

∆V

∆V=R

_e

∙I

D

_v

débit volumique (m

3

.s

-1

)

R

_h

résistance hydraulique

∆H perte de charge (m)

I intensité (A)

R

_e

résistance électrique (Ω)

∆V différence de potentiel (V)

R

_Ham

R

_Hav

H(x)-Hav=

H

am

-H

av

D

_v

RHav

R

_Hav

+R

_Ham

^{. Ham-Hav}

Par cette analogie, on attribue une résistance hydraulique équivalente à la zone de l’interface traversée

par l’écoulement, qui permet de rendre compte des pertes de charges le long de l’écoulement. La portion

située en amont, respectivement en aval du capteur est caractérisée par une résistance hydraulique

équivalente notée 𝑅_𝐻𝑎𝑚, respectivement 𝑅_𝐻𝑎𝑣. 𝛥𝑥 est approximé par la distance du piézomètre aux

extrémités amont et aval notées 𝐿_𝑎𝑚 et 𝐿_𝑎𝑣. Ces grandeurs sont illustrées sur la Figure 3.3.

Par application de la loi de Kirchhoff et la conservation du débit, on peut montrer (formule du pont

diviseur de tension) equ. 3.3.

𝐻(𝑥) − 𝐻_𝑎𝑣 = ^{𝑅𝐻𝑎𝑣}

𝑅_𝐻𝑎𝑣+ 𝑅_𝐻𝑎𝑚^{∙ (𝐻𝑎𝑚− 𝐻𝑎𝑣)}

soit 𝑁𝑃(𝑥) − 𝑁_𝑎𝑣 = ^𝑅

𝐻𝑎𝑣

𝑅

𝐻𝑎𝑣

+𝑅

𝐻𝑎𝑚

∙ (ℎ − 𝑁_𝑎𝑣)

equ. 3.3

En combinant equ. 3.2 et equ. 3.3, on obtient equ. 3.4

𝑁𝑃(𝑥) − 𝑁_𝑎𝑣 =

𝐿_𝑎𝑣

𝑘_𝑎𝑣

𝐿_𝑎𝑣

𝑘_𝑎𝑣^+𝐿𝑘^𝑎𝑚_𝑎𝑚

∙ (ℎ − 𝑁_𝑎𝑣) equ. 3.4

Ce qui permet d’exprimer les niveaux piézométriques en x :

𝑁𝑃(𝑥) = 𝑁_𝑎𝑣+

𝐿_𝑎𝑣

𝑘_𝑎𝑣

𝐿_𝑎𝑣

𝑘_𝑎𝑣^+𝐿𝑘^𝑎𝑚_𝑎𝑚

∙ (ℎ − 𝑁_𝑎𝑣) equ. 3.5

En posant 𝑐_𝑘 =^𝐿

𝑎𝑚

𝑘

_𝑎𝑚

/^𝐿

𝑎𝑣

𝑘

_𝑎𝑣

, le contraste des perméabilités amont et aval, il vient equ. 3.6.

𝑁𝑃(𝑥) = 𝑁_𝑎𝑣+ ¹

1 + 𝑐_𝑘^{∙ (ℎ − 𝑁𝑎𝑣) equ. 3.6}

Le rapport_1+𝑐¹

𝑘

définit la perte de charge entre l’amont et le capteur positionné en 𝑥 et correspond à la

fraction 𝐹(𝑥) définie plus haut.

Dans le cas des fondations des barrages-voûtes, la perméabilité de la fondation varie avec les efforts

exercés par la voûte, qui eux-mêmes varient sous l’effet des contraintes mécaniques de la voûte. Ces

contraintes, qui définissent le niveau de sollicitation global de la voûte, seront notés 𝑚𝑒𝑐𝑎 (equ. 3.7).

Ils sont, comme tout phénomène mécanique, modélisés de façon identique à HST, c’est-à-dire en les

exprimant comme la somme des effets des charges hydrostatique, thermique saisonnière, et temporelle

(equ. 3.8).

𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑚é𝑐𝑎)

avec 𝑔 fonction à déterminer

equ. 3.7

𝑚𝑒𝑐𝑎 = 𝑎₀+ 𝑓₁(𝑆) + 𝑓₂(𝑍) + 𝑓₃(𝑡) + 𝜀 equ. 3.8

avec

𝑓₁(𝑆) = 𝑎₁∙ 𝑐𝑜𝑠𝑆 + 𝑎₂∙ 𝑠𝑖𝑛𝑆 + 𝑎₃∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑆 + 𝑎₄∙ 𝑠𝑖𝑛2𝑆

𝑓₂(𝑍) = 𝑎₅∙ 𝑍 + 𝑎₆∙ 𝑍2+ 𝑎₇∙ 𝑍3+ 𝑎₈∙ 𝑍4

𝑓₃(𝑡) = 𝑎₉∙ 𝑡

et 𝜀 l’erreur de modélisation.

Le bienfondé de cette hypothèse se vérifie facilement sur des mesures, et en particulier sur des mesures

de déplacements verticaux 𝐷𝑉 mesurés en pied de barrage, qui sont directement représentatifs des

contraintes mécaniques de la voûte (𝑚𝑒𝑐𝑎). De telles mesures sont effectuées sur plusieurs voûtes du

parc français, dont l’ouvrage B2 (présenté en Chapitre 3: 3.2.2), grâce à un système de nivellement

hydraulique (pots HLS (ANNEXE 1)). La série de mesures utilisée s’étend entre 1994 et 2018. Un

modèle HST a été ajusté à ces mesures par régression linéaire multiple, conduisant à un ajustement

satisfaisant. La RMSE obtenue atteint 0.165 mm, soit 90% de réduction de la dispersion des données

brutes, qui est de 1.65 mm. Ce bon ajustement des mesures au modèle linéaire est une vérification

supplémentaire du bienfondé de l’approche linéaire pour la modélisation de phénomènes mécaniques.

En revanche, l’effet de ces sollicitations mécaniques sur la perméabilité de l’interface, et donc sur la

piézométrie, n’est pas linéaire (equ. 3.9).

𝐹(𝑥) = 𝑔_𝑁𝐿(𝑚é𝑐𝑎)

avec 𝑔

𝑁𝐿

fonction non-linéaire à déterminer

equ. 3.9

Le lien entre ces contraintes mécaniques et la piézométrie en 𝑥, déterminé par la fraction 𝐹(𝑥), peut être

mis en évidence une nouvelle fois grâce à des mesures de 𝐷𝑉. equ. 3.6 permet d’exprimer 𝐹(𝑥) à partir

des mesures de piézométrie (equ. 3.10), qui est ensuite tracée en fonction des 𝐷𝑉 sur la Figure 3.4, pour

l’ouvrage B1 et B2 (voir Chapitre 3: 3.2.2 pour la description des ouvrages).

𝑁𝑃(𝑥) − 𝑁_𝑎𝑣

ℎ − 𝑁_𝑎𝑣 ^{= 𝐹(𝑥) = 𝑔𝑁𝐿}(𝑚é𝑐𝑎) equ. 3.10

Ces graphes permettent de visualiser l’allure de la fonction 𝑔_𝑁𝐿pour ces séries de mesures. Une fonction

tangente hyperbolique est ajustée à ces mesures, qui semble une bonne approximation de la fonction

cherchée. La fonction 𝑔_𝑁𝐿 est donc choisie sous la forme d’une tangente hyperbolique.

Figure 3.4 – Mesures de piézométrie exprimées en pourcentage de charge amont, tracées en fonction des

déplacements verticaux (mesurés par nivellement hydraulique en pied amont). Ajustement d'une fonction

tangente hyperbolique (en rouge) sur ces mesures. Mesures sont issues des ouvrages B1 (en haut) et B2 (en bas).

Cette fonction possédant une zone linéaire entre un seuil haut et un seuil bas, l’application de cette

fonction à l’ensemble des effets mécaniques permettra de borner les effets à partir d’un certain niveau

de sollicitation. En dehors d’une certaine plage, la piézométrie sera moins sensible à l’évolution des

sollicitations mécaniques. Cette fonction semble donc adaptée pour modéliser des variations de

perméabilité en fondation, sous l’effet des variations de l’état de contrainte du rocher. En particulier, le

seuil bas devrait permettre de décrire le passage de l’état ouvert à l’état fermé observé sur les effets

hydrostatiques de la piézométrie au chapitre 2 (Chapitre 2: 4.2.2.2.3.1). Sur ces mêmes effets

hydrostatiques, un point d’inflexion a également été observé, qui s’interprète comme correspondant au

niveau de sollicitation à partir duquel la fissure atteint le capteur. Il pourra être modélisé par le point

d’inflexion de la fonction tangente hyperbolique (tanh).

L’expression des niveaux piézométriques, avec prise en compte de la dépendance de la perméabilité aux

contraintes mécaniques de la voûte et donc aux charges extérieures (hydraulique, thermique, temporelle)

devient donc equ. 3.11.

𝑁𝑃(𝑥) = 𝑁_𝑎𝑣+ (ℎ − 𝑁_𝑎𝑣) ∙ (𝑏₁+ 𝑏₂∙ tanh(𝑎₀+ 𝑓₁(𝑆) + 𝑓₂(𝑍) + 𝑓₃(𝑡))) + 𝜀 equ. 3.11

avec

𝑓₁(𝑆) = 𝑎₁∙ 𝑐𝑜𝑠𝑆 + 𝑎₂∙ 𝑠𝑖𝑛𝑆 + 𝑎₃∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑆 + 𝑎₄∙ 𝑠𝑖𝑛2𝑆

𝑓₂(𝑍) = 𝑎₅∙ 𝑍 + 𝑎₆∙ 𝑍2+ 𝑎₇∙ 𝑍3+ 𝑎₈∙ 𝑍4

𝑓₃(𝑡) = 𝑎₉∙ 𝑡

et 𝜀 l’erreur de modélisation.

La dépendance en 𝑥 du membre de droite se reporte sur l’ensemble des coefficients 𝑏₁, 𝑏₂, 𝑎₀, . . . , 𝑎₉,

qui seront ajustés (au sens des moindres carrés) sur les mesures de piézométrie d’un capteur positionné

en 𝑥.

Cette expression fait également apparaître le couplage hydromécanique énoncé en Chapitre 3: 2.1.1,

grâce à la présence du terme de charge en facteur de la tanh, qui peut se réexprimer en fonction du creux

relatif 𝑍 (equ. 3.12)

𝑁𝑃(𝑥) = 𝑁_𝑎𝑣+ (𝑅𝑁 − 𝑍 ∙(𝑅𝑁 − 𝑅

_{𝑣𝑖𝑑𝑒}

)− 𝑁

_𝑎𝑣

) ∙ (𝑏₁+ 𝑏₂

∙ tanh(𝑎₀+ 𝑓₁(𝑆) + 𝑓₂(𝑍) + 𝑓₃(𝑡))) + 𝜀 ^{equ. 3.12}

La charge amont étant présente en facteur des autres charges, les effets des différentes charges sont donc

pris en compte de façon couplée, et la piézométrie n’est plus le résultat d’effets simplement additifs.

equ. 3.11 définit le modèle qui sera étudié dans ce chapitre, nommé NL HST, pour HST Non-linéaire.

Dans le document Analyse et interprétation de la pression d'eau en fondation des barrages-voûtes à partir des mesures d'auscultation (Page 157-162)