CONSIDERATIONS MATHEMATIQUES

Un concept mathématique est toujours susceptible de désigner plus d'un objet. Il devient donc commode parfois de classifier les objets que désigne un concept donné et de tenter une définition du concept à partir des classes d'objets qu'il désigne. Les relations d'équivalence définies sur certains ensembles, se prêtent bien à Texplicitation de certains con- cepts. En géométrie, les notions de direction, d'orientation, pour ne ci- ter que celles-là, sont des exemples de notions dont la définition se trai- te avec souplesse en termes de classes d'équivalence. L'usage des re- lations d'équivalence pour introduire des concepts a été la technique uti- lisée tout au long de cette étude. Nous trouvons que cette approche de classifier un ensemble, permet de connaître, de façon naturelle, les objets de cet ensemble; de cette connaissance, il s'ensuit une compréhension et, sans doute aussi, une longue retention.

Dans le dernier paragraphe du deuxième chapitre de cette étude, nous avons signalé la généralité et la versatilité de la notion de G-équivalence, â l'effet que cette notion pourrait permettre d'expliciter d'autres notions

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géométriques importantes. La possibilité d'exploiter à fond la notion de similitude, celle d'orientation et même celle de distance, à partir d'une G-équivalence, indique effectivement que la G-équivalence est un instrument de travail au service du renouveau de l'enseignement de la mathématique d'aujourd'hui.

Dans une présentation classique de Taire d'un rectangle R, de base D et de hauteur h, le cas où b et h sont des nombres naturels est souvent illustré en comptant les carrés obtenus à l'intérieur de R par un système de parallèles (ëquidistantes de 1) aux côtés du rectangle. Le cas où b et h sont des rationnels peut être remené au cas précédent

(voir, par exemple, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint, E.E. Moise, pp. 165-167). Cependant, le cas général où b et h sont des réels (positifs) quelconques fait appel (pour un traitement rigou- reux) à un procédé de limite. Or, la méthode des limites est non seu- lement contestée au niveau de l'enseignement du second degré, mais elle est aussi, essentiellement non géométrique. A ce point de vue, on

comprendrait pourquoi le résultat a(R) = b*x h est postulé à ce niveau. Une contribution de la théorie ici exposée réside dans la finitude du procédé géométrique de construction d'aire d'un polygone quelconque, procédé qui établit le résultat a(R) = b x h comme théorème.

Nous voici au terme de notre exploration. Ayant examiné certaines équivalences, nous les avons associées â des groupes de transformations de n; nous avons ensuite montré comment on peut former avec ces équi- valences le cadre dans lequel la notion géométrique d'étendue d'un po- lygone peut être mathématisée. Ce processus nous a naturellement amené à construire la fonction d'aire et à retrouver les postulats de cette fonction, montrant ainsi le mécanisme géométrique qui permet aux étendues des polygones et aux nombres de s'associer harmonieusement.

Alors que de grands progrès ont été accomplis jusqu'ici en ce qui concerne la rénovation de l'enseignement de l'arithmétique, la logique et l'algèbre, la réforme semble s'être arrêtée en géométrie. Les ma- thématiciens pédagogues sont presque unanimes à penser que l'étude de la géométrie doit aujourd'hui se développer dans l'univers ensembliste et porter sur les transformations de l'espace. C'est dans cette ligne de pensée que nous avons envisagé une définition de Taire des polygones à partir d'un groupe engendré par les symétries obliques de n. Le pro- blême de Taire qui n'est pourtant pas nouveau a été repensé de façon nouvelle. Par une exploration à la fois rigoureuse et intuitive nous avons fait apparaître sous un éclairage nouveau des résultats anciens.

Alors qu'autrefois, les nombres étaient la base des mathématiques élémentaires, aujourd'hui la tendance en est davantage aux structures;

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celles-ci nous révèlent en effet, ce qui est à la base des algorithmes numériques, de sorte que la géométrie importante est celle où on cherche à savoir ce qui se passe avant de faire des prouesses sur les applications numériques.

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