Considerem o movimento de um sistema de partículas com massa total M, por enquanto constante. Ou seja, as partículas cujas massas são m , 1 m , 2 m ...3 m não podem entrar ou sair do sistema. A posição do centro de n
massa desse sistema dada pela equação (119) nos fornece:
(121)
(122)
Derivando esta equação em relação ao tempo, obteremos:
(123)
. (124)
Onde v é a velocidade da primeira partícula etc, e 1 é a velocidade do centro de massa. Derivando a equação (83), obtemos:
(125)
(126)
Aqui, a é a aceleração da primeira partícula etc, e 1 é a aceleração do centro de massa do sistema. De acor- do com a segunda lei de Newton, m1a é a resultante das forças 1 F1
que atuam na primeira partícula (F1 =m1a1). Da mesma forma, para a segunda partícula etc. Podemos escrever que:
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Logo, o produto da massa total do sistema pela aceleração do seu centro de massa é igual a resultante de todas as forças que atuam nas partículas. Entre essas forças estão contabilizadas também as forças internas exercidas por uma partícula sobre outra. Porém, de acordo com a terceira lei de Newton, estas forças internas ocorrem aos pares, cada par com duas forças de mesmo módulo e sentido contrário. Assim, quando somarmos vetorialmente todas as forças internas, elas se anularão. Portanto, a soma no lado direito da equação (127) representa apenas a resultante de todas as forças externas que atuam no sistema de partículas. Podemos escrever então:
. (128)
Esta equação nos mostra que podemos representar todo o sistema como sendo uma partícula de massa M localizada no centro de massa do sistema. Como se todas as forças externas aplicadas ao sistema estivessem atuando sobre esta partícula de massa M.
Qualquer que seja o sistema, não importa como suas partes individuais estejam se movendo, o seu centro de massa se move de acordo com a equação (127). Então, ao invés de tratarmos de todas as partes do corpo, pode- mos tratá-las como uma partícula no centro de massa. É este procedimento que temos usado implicitamente no diagrama de forças de problemas anteriores.
Agora podemos entender o movimento da garrafa que o malabarista atira para o ar. Apesar do seu movimento complexo, o seu centro de massa descreve uma trajetória parabólica simples como a que estudamos no capitulo 6 em lançamento de projéteis. A garrafa pode ser representada por uma partícula e a única força externa que atua sobre ela é a força gravitacional.
O mesmo acontece quando vocês disparam um rojão para o alto. O rojão irá descrever uma trajetória parabólica devido à força gravitacional atuando no seu centro de massa (única força externa). Quando o rojão explode no ar suas partes se espalham, porém o centro de massa continua com a mesma trajetória parabólica. Isto acontece porque as forças envolvidas na explosão são forças internas ao sistema. As partes espalhadas do rojão irão se mover de forma a manter o centro de massa na trajetória parabólica. Observem na figura (44) que após a explosão o centro de massa não necessariamente apresenta massa.
Figura 44: (http://ideiasemdesalinho.blogs.sapo.pt/arquivo/Fogo%20de%20artificio.jpg)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Considerem as três partículas mostradas na figura (43b), onde m1 =3,4kg, m2 =2,5kg e m3 = ,12kg. Supo-
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(nordeste), sobre a partícula 2 uma força F2 = 6 N na horizontal que aponta para a esquerda e sobre a partícula 3 uma força F3 = 12 N na horizontal para a direita. Todas elas são forças externas ao sistema. Qual a aceleração do centro de massa deste sistema?
SOLUçÃO:
As forças externas a esse sistema de três partículas são F1, F2 e F3. A resultante dessas forças, Fext, está represen- tada na figura abaixo. As componentes x e y da força resultante são:
O módulo da força resultante é
O sentido da força resultante é
Usando a equação (128) encontramos a aceleração do centro de massa do sistema de partículas. A aceleração tem o mesmo sentido da força Fext e seu módulo é:
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Duas crianças, João e Maria, estão brincando de cabo de guerra, ambos sobre patins. A distância entre eles é de 20,0 m. João possui 60,0 kg e Maria possui 90,0 kg. Eles puxam as extremidades da corda leve esticada entre eles. Quando João se desloca 6,0 m em direção a Maria, qual a distância que Maria irá se deslocar em direção a João?
SOLUçÃO:
Como João e Maria estão sobre patins, desprezamos a força de atrito neste problema, logo não existem forças externas atuando sobre eles na direção horizontal. Na direção vertical, temos a força peso, porém esta direção não será necessária para a resolução do problema.
Antes de puxarem a corda, o centro de massa do sistema de partículas formado por João e Maria está entre eles na posição representada no item (a) da figura. Esta posição é dada pela equação (116 ou 118):
Aqui, a posição x de João foi considerada como sendo na origem dos eixos coordenados e a posição de Maria J
foi m.
Depois de puxarem a corda, ambos mudam de posição. Porém, não existiram forças externas atuando no sis- tema considerado. Assim, de acordo com a equação (128) o centro de massa não foi acelerado. Ou seja, não saiu de sua posição inicial. Usamos essa informação, juntamente com a equação (116) para calcular o deslocamento sofrido por Maria (Item b da figura):
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
(Halliday & Resnick) Uma bola de massa m e raio R é colocada no interior de uma casca esférica de mesma massa e raio interno 2R. O sistema está em repouso sobre uma mesa sem atrito, na posição mostrada na figura (a). A bola é solta, e gira no interior da casca parando no fundo desta como mostra a figura (b). Qual o deslocamento d da casca durante este processo?
SOLUçÃO:
As únicas forças externas que atuam sobre o sistema bola-casca são a força da gravidade para baixo e a força normal, exercida verticalmente para cima pela mesa. Nenhuma destas forças tem componente horizontal, de modo que
∑
x =0ext
F . Da equação (128), o componente x cm
a da aceleração do centro de massa também é nulo. Assim, a posição horizontal do centro de massa do sistema permanece fixa e a casca deve mover-se de modo que isto aconteça.
Podemos representar a bola e a casca por simples partículas de massa m, localizadas em seus respectivos centros. A figura (a) mostra o sistema antes de a bola ser solta e a figura (b), a bola já em repouso no fundo da casca. Escolhemos a origem coincidente com a posição inicial do centro da casca. A figura (a) mostra que em relação a esta origem, o centro de massa do sistema bola-casca está localizado a uma distância R/2 à esquerda, no meio entre as duas partículas. A figura (b) mostra que o deslocamento da casca é dado por
2 R d =
A casca move-se, desta distância, para a esquerda no mesmo tempo que a bola atinge o repouso.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Dada a figura abaixo, m1 = 20 kg, m2 = 30 kg, d = 10 m e x1 = 2 m. Calcule a) A posição do centro de massa,
b) A posição do centro de massa quando o sistema de partículas (m1 e m2) é deslocado tal que m1 coincida com a origem.
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c) A posição do centro de massa utilizando os dados iniciais, mas com m1 = 100 kg. d) A posição do centro de massa com os dados iniciais onde d = 20 m.
2. A figura abaixo mostra três partículas de massas m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg, localizados nos vértices de um triângulo eqüilátero, com lado a = 140 cm. Onde está o centro de massa?
3. Determine as coordenadas do centro de massa dos sistemas abaixo que se constituem de placas homogêneas de espessura constante, cujas dimensões estão indicadas na figura.
4. Considere a figura abaixo cujos pontos em centímetros são: A = (210 , 180), B = (150 , 160), C = (210 , 110), D = (270 , 160), E = (200 , 50), F = (220 , 50) e as massas em kg: mA = 5, mB = 5 ,mC = 35, mD = 5, mE = 10, mF = 10. Calcule o centro de massa do corpo.
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5. Uma caixa, na forma de um cubo cuja aresta mede 40 cm, tem o topo aberto e foi construída de uma placa metálica fina. Encontre as coordenadas do centro de massa da caixa em relação ao sistema de coordenadas mostrado na Figura.
6. A placa circular, homogênea e de espessura constante, tem raio R e possui um furo circular de raio r. Deter- mine em função de R e r as coordenadas do centro de massa da placa.
7. As partículas A e B, de massa m e 2m, deslocam-se ao longo do eixo Ox, com velocidades escalares vA = 5,0 m/s e vB = 8 m/s. Qual a velocidade escalar do centro de massa?
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8. As partículas A e B, de massas 1,5 kg e 1,0 kg, deslocam-se com velocidades v e A v perpendiculares B
entre si e de módulos vA = 2,0 m/s e vB = 4,0 m/s. Calcule o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas.
9. Num certo instante, duas partículas A e B possuem velocidades indicadas na figura. As partículas possuem a mesma massa e suas velocidades são iguais, em módulo, a 10 m/s. Determine, no instante considerado, o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído por essa duas partículas.
10. Um gorila de massa m está pendurado em uma escada de corda, suspensa por um balão de massa M. O balão está estacionário em relação ao solo.
Se o homem começar a subir pela escada a velocidade v (com relação à escada), em que direção e com que velocidade (com relação à terra) o balão se moverá?
Qual o estado do movimento após o homem ter parado de subir?
11. Uma passageira de 50 kg está em pé e parada dentro de um barco que se encontra a 6 m da margem. Ela anda 2,4 m sobre o barco em direção a margem e depois para. O barco tem massa de 20 kg e supõe-se que não haja atrito entre ele e a água. A que distância da margem estará a passageira no final da caminhada? (sugestão: o centro de massa do sistema barco + passageira não se desloca. Por quê?)
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