Conservation de l’énergie pour un domaine géométrique

j=1

∂jf_eI˙_j= −Pvmec

int + r_ext^v − divEqqq [éq. (4.4) p.62] (4.12)

Écritures « lagrangiennes » – En appliquant le lemme fondamental à l’équation (4.10) [p.65] et en négligeant la puissance des efforts intérieurs à distance, il vient :

K_vρ |{z} ρ₀ ˙ e^m= K_vσσσ |{z} τ ττ : DDD+ K_vr_ext^v − div_L(K_vFFF⁻¹·qqq | {z } q q q₀ )

où ρ0= ρ(P,t0) (masse volumique initiale) et où τττ est le « tenseur des contraintes » de Kirchhoff évoqué dans Autres « tenseurs des contraintes » [p.38]. Le groupement de termes K_vFFF⁻¹·qqq, parfois noté qqq₀pour une ressemblance avec l’équation (4.11), est difficilement interprétable. On peut aussi, si on le souhaite, développer la divergence. Une autre expression, sans introduction de « tenseur des contraintes » artificiel ni de « qqq0», est déduite directement de l’équation (4.11) :

ρ ˙e^m= σσσ : DDD+ r_ext^v − grad_Lqqq: FFF^−> (car divEΨΨΨ = grad_LΨ : FΨΨ FF^−>, ∀ΨΨΨ ) (4.13) Cette dernière expression est celle qui est utile dans les résolutions numériques de thermomécanique des solides déformables⁽³⁷⁾.

4.6 Conservation de l’énergie pour un domaine géométrique Soit un domaine géométrique dont la position actuelle est Dg

t. En intégrant les termes de l’équation locale (4.11) [p.65] sur la position actuelleDg

t du domaine géométrique, on obtient l’égalité : Z Dg t ρEe˙^m_E dvt= − Z Dg t Pvmec int dvt+ Z Dg t r_{ext E}^v dvt− Z Dg t divEqqqdvt

Avec la dérivation des intégrales de masse sur un domaine géométrique [éq. (2.16) p.23], il vient : d dt Z Dg t e^mdm | {z } d dtE_int(Dg,t) = −Pmec int + Z Dg t r_{ext E}^v dvt− Z Dg t divEqqqdvt | {z } Pcal ext + Z ∂Dg t ρEe^m_E(vvv^f−vvv_E) · nnntdst | {z } Φe (4.14) (37)Voir note35[p.47].

4.7 Changements d’observateur 67 où Φe est le flux convectif [déf. 1.8p.15] d’énergie interne entrant à travers la frontière et où vvv^f est la vitesse de la frontière du domaine géométrique. En comparant l’équation (4.14) avec l’équation de bilan d’une grandeur extensive [éq. (1.22) p.17], la quantité

Pcal ext −Pmec int = Z Dg t

(r^v_{ext E}− divEqqq−Pvmec int ) dvt

peut s’interpréter comme un taux de production interne d’énergie interne, et son intégrande τe= rv

ext− divEqqq−Pvmec

int est le taux de production volumique d’énergie interne. Ainsi, on peut interpréter le principe de la conservation de l’énergie, comme un principe de « conservation de l’énergie interne », à condition de considérer la puissance calorifique extérieure et l’opposé de la puissance mécanique des efforts intérieurs comme des sources d’énergie interne.

Bilan d’énergie totale – Certains auteurs préfèrent présenter le principe de la conservation de l’énergie comme un bilan « d’énergie totale ». En utilisant le théorème de la puissance cinétique sous forme de bilan d’énergie cinétique pour un domaine géométrique (3.44) page 37 :

d

dt^Ecin(Dg,t) =Pmec

ext +Pmec int + Φ_Ecin

et en additionnant terme à terme avec l’équation (4.14) [p.66], il vient : d

dt^Eint(Dg,t) + ^d

dt^Ecin(Dg,t) =Pmec ext +Pcal

ext + Φe+ ΦE_cin

Ainsi, si on appelle « énergie totale » le terme (non objectif) E_tot= E_cin+ E_int, en comparant avec l’équation de bilan d’une grandeur extensive [éq. (1.22) p.17], le principe de la conservation de l’énergie peut être présenté comme un principe de « conservation de l’énergie totale », à condition de considérer la puissance mécanique des efforts extérieurs et la puissance calorifique extérieure comme des sources d’énergie totale. Avec ces définitions, le taux de production volumique d’énergie totale est : τEtot= vvv · (div_Eσσσ + fff^v) + rv

ext− div_Eqqq.

4.7 Changements d’observateur

 Principe 4.19 – Objectivité de la chaleur transmise par conduction. La chaleur surfacique

actuelle qs

ext(P⁰,t) reçue en une particule P⁰de la frontière actuelle ∂Dm

t d’un domaine matériel est, par principe, un scalaire objectif :

∀ eR ∀R, qe^s_ext(P⁰,t) = q^s_ext(P⁰,t)

Commentaire – Quand un domaine matériel reçoit de la chaleur à sa frontière, il est naturel de poser que cette quantité de chaleur reçue est la même pour tous les observateurs. Ce principe minimal est suffisant pour déduire les théorèmes d’objectivité qui suivent.

 Théorème 4.20 – La chaleur surfacique reçue par une facette matérielle en une particule P de

normale actuelle nnnt est une grandeur scalaire objective. ∀ eR ∀R, qe^s(P,nnnt) = q^s(P,nnnt)

Démonstration – Il suffit d’appliquer le principe4.19à tout sous-domaine du domaine matériel considéré et d’utiliser le théorème4.15[p.64] pour aboutir au résultat.

 Théorème 4.21 – Objectivité du courant de chaleur. Le champ vectoriel courant de chaleur

Démonstration – Le théorème4.20[p.67] (objectivité de la chaleur reçue par une facette matérielle) et le théorème4.16[p.64] (existence du courant de chaleur) impliquent l’égalité :

e q q q·n_enn_t= qqq·nnn_t, ∀R ∀ eR ∀nnnt [principe4.19p.67] e qqq·QQQ_t·nnn_t= qqq·nnn_t, ∀R ∀ eR ∀nnnt [éq. (3.47) p.47] e qqq·QQQt= qqq, ∀R ∀ eR e q q q= qqq·QQQ_t^>= QQQ_t·qqq, ∀R ∀ eR (qqqest un vecteur) (4.15) ce qui est la formule de changement d’observateur d’une grandeur vectorielle objective.

 Théorème 4.22 – Objectivité de la divergence eulérienne du courant de chaleur. La

diver-gence eulérienne du courant de chaleur est un champ scalaire objectif.

Démonstration – On sait de la cinématique que la divergence eulérienne d’un champ vectoriel objectif est un champ scalaire objectif. Le courant de chaleur actuel étant un champ vectoriel objectif [th.4.21p.67], sa divergence eulérienne est donc un scalaire objectif.

 Théorème 4.23 – Objectivité de la puissance calorifique reçue par rayonnement. La

puis-sance calorifique volumique extérieure actuelle r^v_ext est une grandeur scalaire objective.

Démonstration – L’équation de la chaleur (4.11) [p.65] est : ρ ˙e^m= −Pvmec

int + r_ext^v − div_Eqqq

La masse volumique ρ est une grandeur objective [th.2.4p.23], l’énergie interne massique e^mest une grandeur scalaire objective (par principe), sa dérivée particulaire ˙e^mest donc aussi une grandeur scalaire objective. La puissance volumique des efforts intérieurs est une grandeur objective [th.3.27

p.49] et la divergence eulérienne div_Eqqqest objective [th.4.22p.68]. On en déduit que r^v_ext est la somme de grandeurs scalaires objectives.

En revanche, l’énergie cinétique actuelle, sa dérivée temporelle (la puissance cinétique) et la puissance actuelle des efforts extérieurs ne sont pas des grandeurs objectives, car la vitesse n’est pas une grandeur objective. Si l’on récrit le principe de la conservation de l’énergie global pour un domaine matériel sous la forme :

d

dt^Eint−Pcal

ext =Pmec ext − ^d

dt^{Ecin [éq. (4.3) p.61]} Le terme de gauche étant objectif, le terme de droitePmec

ext −d

dtE_cinl’est aussi. Bien que chacun des termes de cette différence soit non objectif, leur différence est objective.

4.8 En bref...

Lorsqu’un domaine de milieu continu évolue au cours du temps, le point représentatif de l’état de chaque particule suit son propre chemin dans l’espace des états.

Le premier principe de la thermodynamique postule la conservation de l’énergie dans un domaine matériel (système fermé) via l’existence d’une énergie interne qui est une fonction d’état scalaire extensive et objective. On en déduit une équation différentielle locale de la conservation de l’énergie appelée équation de la chaleur.

La fonction d’état objective énergie interne massique est caractéristique de chaque modèle de milieu continu par la liste des variables d’état objectives et par son expression en fonction de ces variables. Elle peut être identifiée par des mesures expérimentales (un abaque) ou bien cette

4.8 En bref... 69 fonction peut être définie a priori par une relation mathématique physiquement raisonnable avec des coefficients à ajuster aux mesures (procédure d’identification).

Pour un domaine géométrique (système ouvert), l’expression globale du principe s’écrit en tenant compte du flux convectif d’énergie interne entrant par la frontière.

L’énergie interne actuelle, sa densité massique, le champ vectoriel courant de chaleur actuel, les puissances calorifiques actuelles reçues et la puissance des efforts intérieurs sont des gran-deurs objectives. En revanche, l’énergie cinétique actuelle, la puissance cinétique actuelle et la puissance actuelle des forces extérieures ne sont pas objectives.