peut être remplacé par toute fonction isotrope (au sens mathématique) à valeur non négative de la forme α(gradET, T, χχχi,DDD, · · · ). On obtient ainsi des lois de conduction thermique isotropes plus réalistes.
Remarques – La conductivité thermique α est généralement fonction de la température. Quand on dit que la loi de conduction thermique est « non linéaire », cela signifie généralement que α est aussi fonction que de gradET.
Par ailleurs, il n’est pas déraisonnable de penser que la conductivité thermique d’un solide déformable puisse dépendre d’une variable d’état comme la déformation.
Enfin, les arguments de la fonction scalaire objective α étant objectifs, la fonction α est isotrope et il existe une fonction α d’arguments scalaires telle que α(· · · ) = α(· · · ) [éq. (4.1) p.57].
On peut aussi construire des lois de conduction thermique pour des milieux continus aniso-tropes(15). Par exemple, pour un milieu continu à une seule direction d’anisotropie(16)dont la direction actuelle d’anisotropie est le vecteur unitaire nnnt (ou la direction non orientée NNNt= nnnt⊗nnnt), on peut prendre des lois de conduction thermique de la forme suivante :
q q qE= −α1(· · · ) (gradET·nnnt)nnnt | {z } gradET· (nnnt⊗nnnt) − α2(· · · ) gradET− (gradET·nnnt)nnnt | {z } gradET· (nnnt⊗nnnt)
où α1 est la conductivité thermique dans la direction d’anisotropie, et α2 est la conductivité thermique transverse (perpendiculairement à la direction d’anisotropie). On laisse le soin au lecteur de vérifier que :
1. cette loi satisfait le second principe de la thermodynamique si les fonctions α1et α2sont à valeur scalaire non négative ;
2. cette loi de conductivité thermique est universelle si les fonctions α1et α2sont des fonctions non négatives isotropes de leurs arguments tensoriels objectifs.
5.8 Capacités calorifiques locales dans une évolution
La capacité calorifique (J.kg−1.K−1) (anciennement appelée chaleur massique(17)) ou encore capacité thermique, est traditionnellement définie comme la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1 Kelvin l’unité de masse de matière dans une certaine transformation finie dont les états initiaux et finaux sont à température uniforme (gradET1= 000 et gradET2= 000) mais différentes (T2− T1= 1 K). On va en donner ici une définition équivalente mais locale et instantanée. Dans un milieu continu en évolution, les puissances calorifiques volumiques reçues en une particule sont issues de deux sources :
Pv cal
ext = rvext− divEqqq= ρ ˙em+Pvmec
int [conservation de l’énergie (4.11) p.65] (5.19) et Φint = ρ (T ˙sm− ˙em) −Pvmec
int [dissipation intrinsèque (5.8) p.77] (5.20)
(15)En général ce sont des milieux continus solides déformables. Mais certains fluides peuvent présenter des anisotropies dans certaines situations (« cristaux liquides » dans un champ électrique).
(16)On les appelle milieux continus « isotropes transverses ». Ce sont, par exemple, des milieux fibreux ou feuilletés que l’on veut modéliser comme des milieux continus.
La première représente la puissance calorifique volumique locale d’origine extérieure et la seconde représente la puissance calorifique volumique locale due aux processus internes de production/absorbtion de chaleur(18). La somme des deux (ρ T ˙sm) est la puissance calorifique volumique totale actuelle reçue par une particule [éq. (5.14) p.79].
On peut alors définir une capacité calorifique locale actuelle C qui donne la vitesse d’échauffe-ment ˙T due à ces puissances calorifiques volumiques locales :
C ˙T =Pv cal ext + Φint ρ = T ˙sm [éq. (5.19) et éq. (5.20)] C=T˙ Ts˙m= T ∂Tfs+ T m
∑
j=2 ∂ ∂∂jfsI˙j ˙ T [éq. (5.2) p.74] (5.21)Définition 5.9 – Capacité calorifique. La capacité calorifique en une particule dans une
évolution non isotherme est définie par :
C=T˙ Ts˙m
La valeur de la dérivée particulaire ˙sm dépend de la dérivée particulaire des variables d’état [éq. (5.2) p.74], et donc de la vitesse d’évolution [déf.4.11p.59] dans l’espace des états. La capacité calorifique locale C dépend donc a priori à la fois de l’état actuel et de la direction actuelle de la vitesse d’évolution de la particule dans l’espace des états. On ne peut donc parler de capacité calorifique que pour une certaine direction d’évolution dans l’espace des états(19). Pour des vitesses d’évolution telles que ˙T = 0 (évolution à température constante dans le temps) elle n’est évidemment pas définie.
La capacité calorifique n’est pas une caractéristique du matériausauf si on précise dans quel type d’évolution non isotherme elle est mesurée.
5.9 En bref...
Le second principe de la thermodynamique est une inégalité qui exprime que, lors de l’évo-lution d’un domaine, le taux d’entropie du domaine dtdS(D,t) n’est pas dû qu’à l’entropie reçue de l’extérieur(20) mais aussi à un taux de production interne d’entropie non négatif
R
DΦ T−1 dv > 0. La forme locale de ce principe est la non négativité de la dissipation : Φ = Φint+ Φth> 0 avec Φth> 0, à respecter en toute particule et à tout instant de l’évolu-tion de tout milieu continu(21).
La dissipation thermique actuelle Φth> 0 est due aux échanges thermiques provoqués par la non uniformité actuelle des températures (gradET 6= 000). La dissipation intrinsèque actuelle Φint est
(18)Pour les milieux continus monoconstituants, il s’agit seulement du frottement (exothermique).
(19)En thermodynamique des gaz, on utilise couramment une capacité calorifique à volume massique (ρ−1) constant Cvet une capacité calorifique à pression constante Cp.
(20)Conduction, convection et rayonnement pour les domaines géométriques ; conduction et rayonnement seulement pour les domaines matériels.
(21)Même sans dissipation intrinsèque (pas de frottement ni de changement de phase ni de réaction chimique), la nullité de la dissipation totale est irréaliste : pour que la dissipation thermique soit aussi nulle, il faudrait que toutes les particules du domaine partent d’une température uniforme et évoluent toutes à la même vitesse pour rester uniformes à chaque instant !
5.9 En bref... 83 due à l’existence éventuelle de processus internes endothermiques ou exothermiques. Dans les modèles de milieux continus monoconstituants (donc sans réaction chimique ni changement de phase), le seul processus interne est le frottement (exothermique) ; dans ce cas, la dissipation intrinsèque est non négative.
L’inégalité Φth> 0 conduit à la nécessité d’existence d’une loi de comportement thermique. De même, dans la construction de modèles de comportement de milieux continus monoconstituants, l’inégalité Φint> 0 conduira à la nécessité d’existence d’une loi de comportement mécanique(22). Non seulement ces lois de comportement existent nécessairement, mais elles doivent de plus satisfaire les inégalités du second principe en toute particule et à tout instant de toute évolution. Les choix possibles restent néanmoins larges. Les modèles de milieux continus ainsi construits sont thermodynamiquement admissibles.
Dans la résolution d’un problème de thermomécanique des milieux continus dans lequel le modèle de milieu continu est donné, le second principe n’apparaît pas dans les équations à résoudre car il est normalement automatiquement respecté par le modèle de comportement utilisé (tout modèle de comportement devrait être thermodynamiquement admissible).
Remarque – Le lecteur attentif aura sans doute remarqué que les vocables « transformation ré-versible » ou « transformation irréré-versible » n’ont pas été employés dans les deux chapitres sur la thermodynamique. Dans ses lectures, l’auteur a trouvé presque autant de définitions de la réversibilité que de textes ! Bien souvent, ce « concept » était « défini » seulement par des exemples. On parle aussi parfois de « renversabilité ». Un transformation réversible est-elle équivalente ou implique-t-elle l’isentropie ? l’isentropie adiabatique ? l’implication inverse est-elle vraie ? est-ce une notion globale ou locale ? Quoi qu’il en soit, la définition et l’emploi de ces vocables n’ont pas paru nécessaires à l’auteur dans les développements de ce chapitre.
(22)On en verra un exemple pour les fluides dans le chapitre suivant, et d’autres exemples dans les cours d’élasticité (Φint= 0) et d’inélasticité (Φint> 0) des solides déformables monophasiques.