Connexion sur une vari´et´e

1. Calcul diff´erentiel sur une vari´et´e

Etant donn´ee une vari´et´e nous avons un calcul diff´erentiel sur celle-ci ; en particulier la diff´erentielle ext´erieure et le crochet de champs de vecteurs sont bien d´efinis. Les espaces vectoriels Λ_1pV et Λ_2pV sont isomorphes (car de mˆeme dimension) mais il existe beaucoup d’isomorphismes possibles. Nous allons ´etudier maintenant ce probl`eme.

Nous allons donner une d´efinition des connexions avec la mˆeme id´ee que les d´efinitions pr´ec´edentes : d´efinition par l’algorithme de base de la notion ´etudi´ee.

2. Connexion affine

Nous avons vu l’op´eration :

Λ₁V ×Λ₀V −→Λ₀V (X, f)−→X(f)

est Λ0V lin´eaire en X et est une d´erivation. Le remplacement de Λ0V en Λ1V en gardant les mˆemes algorithmes donne la d´efinition d’une connexion.

D´efinition.- On appelle connexion lin´eaire une application :

∇: Λ₁V ×(Λ₀V ⊕Λ₁V)−→Λ₀V ⊕Λ₁V (X , f+Y) −→ ∇X(f+Y) poss´edant les propri´et´es :

(1) Λ₀V lin´eaire en sa premi`ere variable :

∇f1X1+f2X2 =f₁∇X1+f₂ ∇X2. (2) ∇ respecte l’ordre des tenseurs :

f ∈Λ0V ⇒ ∇X(f)∈Λ0V ; Y ∈Λ1V ⇒ ∇X(Y)∈Λ1V.

(3) Sur Λ₀V l’action de ∇X est ´egale `a l’action de X :

∇X(f) =X(f).

(4) ∇ est une d´erivation en sa seconde variable

∇X(f Y) =f∇X(Y) +∇X(f)Y =f∇X(Y) +X(f)Y.

Remarque : ne pas confondre R-lin´earit´e avec Λ0V-lin´earit´e. D’apr`es (1) et (4) ∇ est R-lin´eaire en ses deux variables mais est Λ0V-lin´eaire en sa premi`ere variable.

D´efinition des symboles de Christoffel : fixons un syst`eme de coordonn´ees locales :

(V-I) ∇∂/∂xi

∂

∂x_j

= Γ^k_ij ∂

∂x_k.

Changement de syst`eme de coordonn´ees : x^α−→xⁱ Γ_αβ^γ ∂

∂x_γ =∇∂/∂x_α

∂

∂x_β

=∇∂/∂x_α

∂xj

∂x_β

∂

∂x_j

= ∂xj

∂x_β ∇∂/∂x_α

∂

∂x_j

+ ∂²xj

∂x_α∂x_β

∂

∂x_j

= ∂x_j

∂x_β

∂x_i

∂x_α ∇∂/∂xi

∂

∂xj

+ ∂²x_j

∂x_α∂x_β

∂

∂xj

= ∂x_j

∂x_β

∂x_i

∂x_α Γ^k_ij ∂x_γ

∂xk

∂

∂x_γ + ∂²x_j

∂x_α∂x_β

∂x_γ

∂xj

∂

∂xj

.

D’o`u les formules :

(V-2) Γ_αβ^γ = ∂xj

∂x_β

∂xi

∂x_α

∂x_γ

∂x_k Γ^k_ij+ ∂²xj

∂x_α∂x_β

∂x_γ

∂x_j.

3. Parall´elisme

Etant donn´ee une courbe et un champ de vecteursY, le champ de vecteurs Y m(t)

est dit parall`ele (le long de cette courbe) quand ∇m(t)(Y)

m(t)

= 0.

Choisissons un syst`eme de coordonn´ees :

m(t) =xⁱ(t)∂/∂xi

Y =y^j ∂/∂xj

sur la courbe on a :

∇_xⁱ _∂/∂xi

y^j ∂/∂x_j

= 0.

xⁱ ∂y^j

∂xi

∂

∂xj

+xⁱy^j ∇∂/∂xi

∂

∂xj

= 0 xⁱ ∂y^j

∂xi

∂

∂xj

+xⁱy^j Γ^k_ij ∂

∂xk

= 0.

Donc, en fixantk:

xⁱ ∂y^k

∂xi

+xⁱy^j Γ^k_ij = 0 dy^k

dt + Γ^k_ij dxⁱ

dt y^j = 0.

(V-3)

Remarques :

1. En fait, il faut ´etendre le champ de vecteurs m(t) au voisinage de la courbe pour justifier ces calculs, puis montrer l’ind´ependance par rapport aux prolongements possibles.

2. Etant donn´e un vecteur v∈Λ_1m(t0)V on peut l’´etendre en champ de vecteurs le long de la courbe par l’´equation ci-dessus.

3. Pour une fonction f ∈Λ0V

∇m(t)(f) m(t)

=

m(t)f m(t)

=df

m(t), m(t)

= d dt f

m(t) .

f est transport´ee parall´element le long de la courbe si et seulement si la restriction de f

`

a la courbe est constante.

4. D´eriv´ee covariante

Soit X un champ de vecteurs. Une courbe t −→ m(t) est dite courbe int´egrale de X quand m(t) = X

m(t)

. Le th´eor`eme de Cauchy sur les ´equations diff´erentielles lin´eaires donne l’existence d’une telle courbe.

Th´eor`eme.- Soit V une vari´et´e diff´erentiable munie d’une connexion lin´eaire, X, Y deux champs de vecteurs tels que X(p)= 0. Soit t−→m(t) une courbe int´egrale de X telle que m(0) =p, m(0) =X

m(0)

soit ϕ(t) : Λ_1m(0)V −→Λ_1m(t)V le transport parall`ele d´efini par la connexion et la courbe. Alors :

(V-4) ∇X(Y)(p) = lim

t→0

1 t

ϕ(t)⁻¹Y m(t)

−Y m(0)

.

D´emonstration : prendre une carte et calculer ...

Prolongement de l’op´erateur ∇X

Pour un tenseur quelconque T nous prendrons (V-4) comme d´efinition de l’op´eration ∇X(T).

∇X est une d´erivation qui respecte le type des tenseurs.

Torsion d’une connexion

La torsion d’une connexion est une application T : Λ1V ×Λ1V −→ Λ1V

(X, Y) −→ T(X, Y) =∇X(Y)− ∇Y(X)−[X, Y].

T est Λ0V bilin´eaire antisym´etrique. A un signe pr`es, X et Y jouent le mˆeme rˆole. Il va donc d´efinir un tenseur (1,2)

(ω, X, Y)−→ ω

T(X, Y) qui est appel´e champ de tenseurs de torsion.

Remarque : nous pouvons voir T comme une application Λ1V ×Λ1V −→

Λ0V−−−−−−−−−→

d´erivations Λ0V .

Courbure d’une connexion

La courbure d’une connexion est une application R: Λ₁V ×Λ₁V −→ (Λ₁V −→Λ₁V)

(X, Y) −→ R(X, Y) =∇X∇Y − ∇Y∇X− ∇[X,Y].

Nous avons R(X, Y)(Z) =∇X∇YZ− ∇Y∇XZ− ∇[X,Y]Z, qui est Λ0V-trilin´eaire. Nous pouvons d´efinir un tenseur (1,3)

(ω, Z, X, Y) −→ ω

R(X, Y)(Z) qui est appel´e champ de tenseur de courbure.

5. Expressions dans un rep`ere mobile

Calcul des tenseurs de torsion et de courbure dans un rep`ere.

(V-5)

T(Xi, Xj) =Tij Xk

R(Xi, Xj)(X) =R^k_ijXk

La vari´et´e donne les cⁱ_jk, la connexion Γⁱ_jk. Un calcul de routine donne :

(V-6)

T_jkⁱ = Γⁱ_jk−Γⁱ_kj−cⁱ_jk

R^k_ij= Γ^p_jΓ^k_ip−Γ^p_iΓ^k_jp+X_iΓ^k_j−X_jΓ^k_i−c^p_ijΓ^k_p. Introduisons des formes diff´erentielles repr´esentatives de la connexion :

(V-7) ωⁱ_j= Γⁱ_kjω^k.

Equations de structure d’Elie Cartan :

(V-8)







dωⁱ=ω^p∧ω_pⁱ +1

2 T_jkⁱ ωⁱ∧ω^k dω_jⁱ =ω^p_j ∧ω_pⁱ+1

2 Rⁱ_jkω^k∧ω Ces ´equations se d´emontrent en notant tout en dualit´e et en calculant.

Une connexion est dite sym´etrique quand sa torsion est nulle : T_jkⁱ = 0.

Dans ce cas Γⁱ_jk−Γⁱ_kj=cⁱ_jk.

En r´esum´e, nous avons deux langages possibles :

• le langage des vecteurs : on se donne l’op´erateur crochet (lescⁱ_jk) et l’op´erateur ∇(les Γⁱ_jk).

• le langage des formes : on se donne l’op´erateurd (lescⁱ_jk) et les formes ωⁱ_j (les Γⁱ_jk).

Nous savons traduire une langue dans une autre.

6. Op´erateur

∇

sur les formes

Nous avons d´efini ∇ sur les vecteurs, prolongeons cet op´erateur sur les formes : soit ω∈Λ₁V une 1-forme, d´efinissons :

∇Y(ω)∈Λ₁V par ∇Y(ω)(X) :=Y(< ω, X >)

∇(ω)∈Λ2V par ∇(ω)(X, Y) :=Y(< ω, X >) Ceci nous donne :

∇(ω)(X, Y) =<∇Y(ω), X > .

∇ op`ere sur tout tenseur et est une d´erivation. Par exemple :

∇Y(a⊗b⊗c) =∇Y(a)⊗b⊗c+a⊗ ∇Y(b)⊗c+a⊗b⊗ ∇Y(c).

Remarque : l’op´eration alg´ebrique de contraction

C_k^h: Λ^p_qV −→Λ^p_q−1⁻¹V

C_k^h(X1⊗. . .⊗Xp⊗ω¹⊗. . .⊗ω^q) =< Xh, ω^k> X1⊗. . .⊗Xk⊗. . .⊗Xp⊗ω¹⊗. . .⊗ω^k

⊗. . .⊗ω^q)

commute avec ∇:

∇Ck^h=C_k^h∇.

7. Rep`ere mobile sur une vari´et´e

Les deux structures ainsi introduites permettent de d´efinir le mouvement d’un rep`ere mobile en posant :

(V-9)

dm=ω^heh

dek=ω_k^heh

Inversement, ces ´equations du rep`ere mobile donnent les deux structures via (IV-6) et (V-7).

Nous pouvons maintenant comparer : (II-1) avec (V-9) : mˆemes ´equations.

(II-2) avec (V-8) : apparition de la torsion et de la courbure.

Dans l’espace tangent Λ_1pV nous avons toujours le groupe lin´eaire AGL(n) ; mais dans un G-rep`ere, si les ω<sub>k</sub><sup>h</sup> ont des relations particuli`eres, par exemple (II-3), (II-4), (II-5) ou (II-6), nous pouvons voir apparaˆıtre des sous-groupes de celui-ci.

D´eriv´ee covariante des composantes d’un vecteur X ∈Λ₁V est ind´ependant des rep`eres, la diff´erentiation d aussi : dX est ind´ependant des rep`eres.

Dans un rep`ere :

X =X^he_h, dX = (dX^h)e_h+X^hde_h

= (dX^h)e_h+X^hω^k_he_k. D’o`u :

dX = (dX^h+Xω^h)e_h

(V-10) DX^h=dX^h+Xω^h

sont les composantes contravariantes d’un vecteur `a coefficients formes.

D´ecomposons-le sur la base duale selon la r`egle de l’´ecriture d’une diff´erentielle de fonction dans une base duale

(V-11) DX^h=X_;^h ω.

D’o`u la d´eriv´ee covariante du vecteur contravariant ! (X^h) est un tenseur (1,1) de composantes X_;^h.

Nous pouvons faire de mˆeme avec des tenseurs de type (p, q).

8. G´eod´esiques et application exponentielle

D´efinition.-Soit t−→m(t) une courbe dans V. Elle est dite g´eod´esique quand les vecteurs tangents m(t) sont parall`eles par rapport `a la courbe elle-mˆeme. Une g´eod´esique est dite maximale si elle n’est pas restriction propre d’une autre g´eod´esique.

Dans un rep`ere l’´equation des g´eod´esiques se d´eduit de (V-3), en rempla¸cant y^k par dx_k dt :

(V-12) d²x_k

dt² + Γ^k_ij dx_i dt

dx_j dt = 0.

Nous avons unicit´e d’une g´eod´esique maximale satisfaisant aux conditions initiales m(0) =p m(0) =X(p).

La notion de connexion permet d’obtenir une carte locale de la vari´et´e.

Pour tout p∈V il existe un voisinage ouvert Ω₀ de 0 dans Λ_1pV, un voisinage ouvert Ω_p de p dans V, une g´eod´esique de conditions initiales m(0) =p, m(0) =X(p) telle que :

(V-13) Ω0 −→ Ωp

X −→ m(1) soit un diff´eomorphisme.

Ceci permet de d´efinir les cercles g´eod´esiques, des triangles,... Un changement de rep`ere pourra ainsi s’interpr´eter comme un changement de carte.

Si l’ouvert Ω₀ est ´etoil´e, Ω_p est dit voisinage normal. L’application (V-13) est appel´e application exponentielle et, en prenant une base de Λ_1pV le diff´eomorphisme se note Exp :

(a¹, . . . , a^m) −→ Exp(a¹X₁+. . .+a^mX_m).

Pour tout a∈Ω_p, b∈Ω_p il existe une et une seule g´eod´esique joignant ces deux points.

9. Groupe et connexion

Soit G un sous-groupe de GL(n). Etudions la compatibilit´e de ∇ et deG.

Etant donn´e un rep`ere, ∇ donne les Γ<sup>k</sup><sub>ij</sub> d’apr`es (V-I) qui donne les ω_jⁱ d’apr`es (V-7). Mais si on se donne unG-rep`ere et les ω_jⁱ satisfont `a des relations suppl´ementaires comme (II-3) ou (II-4) ou (II-5) ou (II-6) alors la connexion est associ´ee `a ce G particulier.

R´eciproquement, un sous-groupe G du groupe GL(n) ´etant donn´e, on se donne unG-rep`ere d’origine p, le mouvement du rep`ere (II-1) donne les ω_k^h on les d´ecompose sur une base ω_i^j= Γ^j_ikω^k ce qui donne les Γ^j_ik et donc la connexion.

Mais attention, le fait que tout d´epend du point p et du rep`ere fait que, par d´erivation nous obtenons (V-8) et non (II-2).

Liaison groupe-symbole de Christoffel : Dans une G-base, on a :

Groupe ω Γ

Gl(n) pas de contrainte pas de contrainte

SL(n) ω_h^h= 0(somme) Γ^h_hk= 0 (somme)

SO(n) ω_h^k=−ω_k^hpour tousk, h Γ^k_hj=−Γ^h_kj ω_h^k=−ω_k^h, k et hde 1 `an−1 Γ^k_hj=−Γ^h_kj SO(n−1,1)

ω_hⁿ= _c¹2 ω_n^k, k de 1 `a n−1 Γⁿ_hj= _c¹2 Γ^h_nj

ω_h^h= 0 (pas de somme)hde 1 `a n Γ^h_hj= 0 (pas de somme) ω_h^k=−ω_k^hk=h Γ^k_hj=−Γ^h_kj

SSim(n)

ω_k^k=ω (pas de somme) Γ^k_kj= Γ_j (pas de somme)

10. Comparaison de deux connexions : 1

^`ere

version

Soit ∇ et ∇ deux connexions surM. D´efinissons l’op´erateur de diff´erence diff(X, Y) =∇XY − ∇XY

diff est Λ0V-bilin´eaire donc d´efinit un tenseur, le tenseur de diff´erence entre les deux connexions.

Dans un rep`ere, on a :

diff =Γ^k_ij−Γ^k_ij

dxⁱ⊗dx^j⊗ ∂

∂x^k

diff peut ˆetre d´ecompos´e en une partie sym´etrique et une partie antisym´etrique : S(X, Y) =1

2

diff(X, Y) + diff(Y, X)

A(X, Y) = 1 2

diff(X, Y)−diff(Y, X) diff =S+A.

Proposition 1.-Nous avons :

T−T = 2A.

Donc ∇ et ∇ ont mˆeme torsion ´equivaut `a la partie antisym´etrique est nulle.

D´emonstration : calculez

T(X, Y)−T(X, Y) =T(X, Y) + [X, Y]−T(X, Y)−[X, Y]

=∇X(Y)−∇Y(X)− ∇X(Y) +∇Y(X)

= 2A(X, Y).

Proposition 2.- Les propositions suivantes sont ´equivalentes :

(1) Les connexions ∇ et ∇ ont les mˆemes g´eod´esiques avec les mˆemes param´etrisations.

(2) Pour toutX, diff(X, X) = 0.

(3) S= 0.

D´emonstration :

(1) ⇒ (2). Soit p ∈ V, X un champ de vecteurs au voisinage de p, γ une g´eod´esique commune telle que γ(0) =p, γ(0) =X(p) et γ(t) =X

γ(t)

dans le voisinage ∇Xp(X) = 0

∇Xp(X) = 0 transport parall`ele le long deγ diff

Xp, Xp) =∇Xp(X)− ∇Xp(X) = 0.

(2)⇒(1). Soit γ une g´eod´esique pour ∇ et X un champ de vecteurs ´egal `a γ(t) le long de γ

∇Xp(X) = diff

X_p, X_p

+∇Xp(X) = 0 + 0 = 0 donc γ est une g´eod´esique.

(2)⇒(3). S est bilin´eaire sym´etrique, donc : S(X+Y, X+Y) =S(X, X) +S(Y, Y) + 2S(X, Y)

∀X, ∀Y, S(X, Y) = 0 ⇐⇒ ∀X, S(X, X) = 0 ⇐⇒ ∀X, diff(X, X) = 0.

Th´eor`eme.- Si deux connexions ∇ et ∇ ont mˆeme g´eod´esiques avec mˆeme param´etrisation et mˆeme torsion, elles sont ´egales.

Pour toute connexion ∇ il existe une unique connexion ∇ avec les mˆemes g´eod´esiques avec mˆeme param´etrisation et de torsion nulle.

D´emonstration : Les propositions 1 et 2 montrent que A= 0 et S= 0 donc diff = 0.

L’unicit´e est donn´ee par la premi`ere partie du th´eor`eme. Pour l’existence, d´efinissons :

∇X(Y) =∇X(Y)−1

2 T(X, Y ).

On v´erifie d’abord que c’est une connexion.

diff = 1

2 T antisym´etrique donc S= 0 et diff =A.

D’apr`es la proposition 2, ∇ et ∇ ont les mˆemes g´eod´esiques avec mˆeme param´etrisation.

Enfin,

T =T−2A d’apr`es la proposition 1

= 2diff−2A= 0.

11. Comparaison de deux connexions : 2

^`eme

version

Nous allons avoir besoin d’un r´esultat d’alg`ebre lin´eaire :

Lemme.-Soit E un espace vectoriel et S:E×E−→E une application bilin´eaire sym´etrique telle que :

∀v∈E ∃λ_v∈R: S(v, v) =λ_v v.

Alors il existe ϕ∈E^∗ telle que :

S(v, w) =ϕ(v)w+ϕ(w)v.

D´emonstration : Montrons que λ_v est une forme lin´eaire : Multiplication pour v= 0 :

λ_kvkv=S(kv, kv) =k²S(v, v) =kλ_vkv donc λ_kv=k λ_v. Additivit´e :

λ_v+w(v+w) =S(v+w, v+w) =λ_vv+λ_ww+ 2S(v, w) λ_v−w(v−w) =S(v−w, v−w) =λ_vv+λ_ww−2S(v, w).

Par addition : λv+w+λv−w−2λv

v+

λv+w−λv−w−2λw

w= 0.

Si v etw sont lin´eairement ind´ependants : λv+w+λv−w−2λv= 0

λv+w−λv−w−2λw= 0

⇒λ_v+w=λ_v+λ_w.

S’ils sont lin´eairement d´ependants, par exemple v= 0 et w=kv

λv+kv(v+kv) = (1 +k)²S(v, v) = (1 +k)λv(v+kv) donc λv+kv = (1 +k) =λv+λkv. Posons ϕ(v) =1

2 λ_v

S(v, v) +S(w, w) + 2S(v, w) =S(v+w, v+w) =λv+w(v+w) = (λv+λw)(v+w) 2ϕv(v) + 2ϕw(w) + 2S(v, w) = 2ϕ(v)v+ 2ϕ(w)w+ 2ϕ(v)w+ 2ϕ(w)v.

D’o`u : S(v, w) =ϕ(v)w+ϕ(w)v.

Remarque : si E est de dimension finiem, alors ϕ(v) = 1

m+ 1tr

w−→S(v, w) o`u tr est la trace de l’application lin´eaire.

Ceci se montre en calculant :

prenons une base (v₁, . . . , v_m) avec v₁=v S(v1, vj) =ϕ(v1)vj+ϕ(vj)v1.

Calculons la j^i`eme composante de ce vecteur : si j= 1, on trouve 2ϕ(v₁)

si j= 1, on trouveϕ(v₁).

Donc tr

w−→S(v, w)

= 2ϕ(v₁) + (m−1)ϕ(v₁) = (m+ 1)ϕ(v).

Th´eor`eme d’Hermann Weyl.- Les propositions suivantes sont ´equivalentes :

(1) Les connexions ∇ et ∇ ont les mˆemes g´eod´esiques, avec des param´etrisations qui peuvent ˆetre diff´erentes.

(2) Pour tout X ∈Λ¹V, il existe λX ∈R tel que diff(X, X) =λXX.

(3) Il existe une unique ω∈Λ1V telle que S(X, Y) =ω(X)Y +ω(Y)X.

D´emonstration : (1)⇒(2)

Soit p ∈ V, γ une g´eod´esique pour ∇ telle que γ(0) =p, γ(0) ∈X(p), γ une autre param´etrisation qui la transforme en g´eod´esique pour∇.

Posons X γ(t)

=γ(t) et X γ(t)

=γ(t).

Il existe une fonction f (fonction de changement de param`etre) telle que γ(t) =f(t)γ(t), donc : X=fX le long de la g´eod´esique

diff

X(p), X(p)

=∇XpX− ∇XpX =∇_f(p)^X(p) f X−0

=f(p) X(p)(f)X_p+f(p)∇X(p)

X

=f(p)X_(p)(f)X_(p). D’o`u λX, qui estp, vaut f(p)X_(p)(f).

(2)⇒(1)

Soit γ une g´eod´esique pour ∇ et X un champ de vecteurs tel que X γ(t)

=γ(t). Soit p sur cette g´eod´esique :

(i) ∇XpX = diff

X_p, X_p

+ ∇XpX = λ_XpX_p = g(t)X_p en faisant varier t, p=γ(t).

Soit G une primitive deg:Gt) =g(t) etf(t) =e^G(t)= 0.

(ii) f(t) =g(t)f(t).

Construisons le champ de vecteurs X par : (iii) X

γ(t)

= 1

f(t) X γ(t)

= 1

f(t) γ(t).

Prenons comme nouvelle param´etrisation :

γ=γ◦ψ⁻¹ en prenant ψ =f pr´ec´edemment construite.

ψ⁻¹

(u) = 1

ψ

ψ⁻¹(u) = 1 f

ψ⁻¹(u).

Donc :

ψ⁻¹

(u) = 1

f

ψ⁻¹(u) γ

ψ⁻¹(u) γ◦ψ⁻¹

(u) =X

γ

ψ⁻¹(u) . Finalement, on retrouve le champ de vecteurs X :

d

du γ◦ψ⁻¹(u) =X

γ◦ψ⁻¹ (u)

.

Noter qu’il faut respecter le sens de parcours de la g´eod´esique : ψ =f >0 ce qui est vrai car f est une exponentielle.

(3)⇒(2) Evident.

(2)⇒(3) Voir le lemme.

Remarque : Nous sommes en dimension finie, donc : ω(X) = 1

m+ 1tr

Y →S(X, Y) .

Corollaire.- ∇ et ∇ ont mˆeme torsion et mˆemes g´eod´esiques convenablement reparam´etris´ees si et seulement si il existe une unique forme ω∈Λ1V telle que :

diff(X, Y) =ω(X)Y +ω(Y)X.

D´emonstration : utiliser ce th´eor`eme et la proposition 1 du paragraphe 10.

12. La forme quadratique consid´er´ee comme fondement

D´efinition.-Soit V une vari´et´e. Une structure quadratique sur V est un champ de tenseurs g∈Λ₂V, sym´etrique et tel que pour p∈V g(p)induit une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee sur Λ₁V ×Λ₁V.

Une vari´et´e connexe munie d’une structure quadratique est appel´ee vari´et´e riemannienne ou pseudo-riemannienne.

Cette structure donne un groupe : le groupe orthogonal d´efini par g(p), et une connexion (dite connexion pseudo-riemannienne).

Th´eor`eme.-Sur une vari´et´e pseudo-riemannienne, il existe une et une seule connexion satis-faisant `a :

(V-14)





(1) le tenseur de torsion est nul

(2) le transport parall`ele est compatible avec le groupe orthogonal, i.e. il conserve le produit scalaire.

Remarque : les deux conditions sont ´equivalentes `a : (V-15)

(1) ∀X ∈Λ¹V ∀Y ∈Λ¹V ∇XY − ∇YX = [X, Y] (2) ∀Z∈Λ¹V ∇Zg= 0

D´emonstration : ∇Z est une d´erivation qui commute avec la contraction Z_g(X, Y) =∇Z g(X, Y) +g(∇ZX, Y) +g(X,∇Z Y).

Dans le document Le repère mobile d Elie Cartan (Page 30-40)