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Le repère mobile d Elie Cartan

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Academic year: 2022

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(1)

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Avertissement! En g´en´eral, nous nous placerons dans le cas de non-annulation des courbures.

I. Courbure des courbes `a 2D

Nous allons ´etudier la notion de rep`ere mobile ´elabor´ee par Jean-Fr´ed´eric Frenet, Gaston Darboux, Elie Cartan. Le premier chapitre sur les courbes planes est ´el´ementaire mais facile d’acc`es et tr`es instructif. Il fait bien comprendre les cons´equences d’une structure qui contient `a la fois de la g´eom´etrie (groupe op´erant sur un ensemble) et des diff´erentielles.

Nous pourrons donc parler de la “longueur d’une courbe” quand il n’y a pas de longueur et de normale `a une courbe quand il n’y a pas d’angle !

Ensuite nous introduirons la machinerie d’Elie Cartan et nous l’appliquerons `a quelques exem- ples plus ou moins classiques. Quel peut ˆetre l’interpr´etation du param`etre normal pour une courbe de genre photon en relativit´e restreinte ? Le statut et l’interpr´etation duides nombres complexes, objet de certaines de nos discussions en m´ecanique quantique, sont aussi ´etudi´es dans ce contexte particulier.

1. Le groupe

ASO(2)

Le groupe des d´eplacements dans le plan affine euclidien orient´eP sera not´eASO(2) (transla- tions et rotations).

Un rep`ere associ´e `a ce groupe est la donn´ee d’un point et d’un vecteur unitaire. Avec ceci, le deuxi`eme vecteur est compl`etement d´etermin´e (orthogonal au premier, sens direct, unitaire).

D’o`u la notion de ASO(2) - rep`ere. Une courbe peut ˆetre d´efinie de fa¸con cin´ematique : t→m(t), tparam`etre r´eel,m(t)∈P, la courbe ´etant l’image de cette application.

Le premier invariant diff´erentiel g´eom´etrique local est :

(I-1) m(t)dt.

Ceci est bien invariant par ASO(2) et il est bien g´eom´etrique et non cin´ematique car il ne d´epend pas de la param´etrisation particuli`ere choisie :

t→u avec dt du >0 m(u)du=dt

du m(t) du

dt dt=m(t)dt.

Nous appelerons param`etre normal le param`etresd´efini par :

(I-2) ds=m(t)dt

autrement dit s est caract´eris´e `a un signe pr`es par m(s)= 1.

D´efinissons le rep`ere mobile (rep`ere de Frenet) par : e1(s) =m(s).

(2)

Donc e2(s) est d´efini.

e12=e22= 1 e1·e2= 0

=

e1·e1=e2·e2= 0 e1·e2=−e1·e2 Donc, il existe une fonctionρ, appel´ee courbure, telle que l’on ait :

(I-3)



m(s) =e1(s)

e1(s) = 0 +ρ(s)e2(s) e2(s) =−ρ(s)e1(s) + 0 m(s), e1(s), e2(s)

est unASO(2)-rep`ere mobile. A ne pas confondre avec unASO(2)-rep`ere (... qui est “fixe”).

Etant donn´e unASO(2)-rep`ere il existe une bijection entre le groupeASO(2) et l’ensemble des ASO(2)-rep`eres :

(0, u1, u2) donn´e : g∈ASO(2) donne

g(0), g(u1), g(u2) . Nous sommes partis d’une courbe

s−→m(s) dans le plan

nous avons construit une courbe s−→

m(s), e1(s), e2(s)

dans l’espace des rep`eres (fibr´e des rep`eres), i.e.

dans le fibr´e des groupes puis une courbe

s−→ 0 ρ(s)

−ρ(s) 0

dans l’ensemble des alg`ebres de Lie (fibr´e des alg`ebres de Lie deASO(2)).

Si deux courbes t −→ m1(t) et t −→ m2(t) ont mˆeme courbure ρ, alors il existe un d´eplacement g∈ASO(2) tel que :

g m1(t)

=m2(t).

Consid´erons un observateur en mouvement t−→

m(t), e1(t), e2(t)

e2

e2

e1

e1

v

v

Soit v(t) = ds

dt sa vitesse scalaire.

Soit a un vecteur fixe

a=ξ1e1+ξ2e2 0 = da

dt =ξ1e1+ξ1e1+ξ2e2+ξ2e2.

(3)

Donc l’observateur voit les coordonn´ees deavarier :

(I-4)

1

dt −ξ2ρv= 0 2

dt +ξ1ρv= 0

Si un vecteur satisfait `a ces ´equations l’observateur saura que ce vecteur est “fixe”, c’est-`a-dire transport´e de fa¸con parall`ele.

Sur un navire en mouvement, ceci donne la variation de la direction d’une batterie tirant sur une cible fixe.

2. Le groupe

ASL(2)

Le groupe des transformations affines de d´eterminant + 1 dans le plan affine orient´e P sera not´eASL(2).

Un rep`ere associ´e `a ce groupe est la donn´ee d’un point O et de deux vecteurs e1, e2 tels que l’aire du parall´elogramme soit ´egal `a 1 :

d´et(e1, e2) = 1.

D’o`u la notion de ASL(2)-rep`ere. Faisons une ´etude analogue `a la pr´ec´edente. Le premier invariant diff´erentiel g´eom´etrique local est :

(I-5) d´et

m(t), m(t)1/3

dt.

Le changement de param`etre donne : d´et

m(u), m(u)

= d´et dt

du m(u),d2t

dt2 m(u) + dt

du 2

m(u)

= dt

du 3

d´et

mu), m(u)

.

Nous appellerons param`etre normal le param`etre s d´efini par :

(I-6) ds= d´et

m(t), m(t)1/3

dt.

Les seules courbes qui n’ont pas de param`etre normal sont les droites. s est caract´eris´e par :

(I-7) d´et

m(s), m(s)

= 1

D´efinissons le rep`ere mobile par e1=m et on peut poser, `a cause de (I-7) e2=e1=m

d´et(e1, e2) = 1d´et(e1, e2) =d´et(e1, e2) donc d´et(e2, e1) = 0.

Donc il existe une fonction ρ appel´ee ASL(2)-courbure telle que :

(I-8)





m(s) = e1(s)

e1(s) = 0 +e2(s) e2(s) = −ρ e1(s) + 0

Nous avons encore fait le rel`evement de la courbe dans le groupe de Lie et dans l’alg`ebre de Lie.

LaASL(2)-normale (direction dee2) est appel´ee axe d’aberration en optique.

Courbes `a courbure constante :

ρ= 0 parabole ρ >0 ellipse ρ <0 hyperbole

(4)

3. Le groupe

ASO(1,1)

Le groupe laissant fixe la forme quadratique de signature (1,1) sera not´e ASO(1,1). C’est le groupe de Poincar´e dans un espace `a deux dimensions (Lorentz et translations). Pour un vecteur a= (a1, a2) sa norme est

ac2=a21−c2a22.

ASO(1,1)- rep`ere : e1 ete2 orthogonaux, e12c = 1, e22c =−c2. On peut aussi prendre ac2=−a21/c2−a22.

Etudions le rep`ere mobile d’une courbe : Premier cas m(t)2c <0

La courbe est du genre temps. Le premier invariant diff´erentiel est : m(t)c dt.

Le param`etre normal, appel´e temps propre est d´efini par :

−c ds=m(t)c dt de telle sorte que s est caract´eris´e par :

m(s)c=−c.

Le param`etre normal s est appel´e temps propre en relativit´e restreinte.

D´efinissons le rep`ere mobile par e1(s) =m(s). Donc e2 est d´efini e12c =−c2 et e22c = 1⇒e1·e1= 0 et e2·e2= 0.

Donc, il existe une fonction ρ telle que :

e1(s) =ρ(s)e2(s).

Finalement e2(s) =b e1(s), avec b tel que :

be1·e1=e2·e1=−e2·e1=−ρ e2·e2. D’o`u les ´equations du rep`ere mobile :

(I-9)







m(s) =e1(s)

e1(s) = 0 +ρ(s)e2(s) e2(s) = 1

c2 ρ(s)e1(s) + 0 Deuxi`eme cas m(t)2c>0

La courbe est du genre espace. Etude analogue : ds=m(t)c dt

e1(s) =m(s), e12c = 1, e22c =−c2

(I-10)







m(s) =e1(s)

e1(s) = 0 + 1

c2 ρ(s)e2(s) e2(s) =ρ(s)e1(s) + 0

Remarques : si la courbe est telle que, pour tout t:m(t)2 = 0, c’est une droite et elle n’a pas de param`etre normal.

Dans le cas c=±i, on retrouve ASO(2).

Dans le cas c−→ ∞ on retrouve AGal(2), le groupe de Galil´ee.

(5)

Le groupe affine de Galil´ee, ´ecrit matriciellement,

1 0 0 a 1 v b 0 1

1 x t

=

 1 x+a+vt

t+b

est associ´e au groupe de Galil´ee 1 v 0 1

x t

= x+vt t

.

En tenant compte du fait que e2 est constant, le rep`ere mobile s’´ecrit :





dm=e1

e1= 0 +ρ e2

e2= 0 + 0

Le passage `a la limite c −→ ∞ est plus d´elicat qu’il n’y paraˆıt au niveau de la structure quadratique x2−c2t2, mais est simple au niveau du rep`ere mobile.

4. Le groupe

ASSim(2)

Le groupe des similitudes directes du plan affine euclidien P sera not´e ASSim(2).

Un ASSim(2)-rep`ere est donn´e par un point O et un vecteur e1. Le vecteur e2 est compl`etement d´etermin´e : il est orthogonal `ae1, dans le sens direct, et tel que e1=e2. Le premier invariant diff´erentiel g´eom´etrique local d’une courbe est :

d´et

m(t), m(t) m(t)2 dt.

Le changement de param`etre t−→u tel que du/dt >0 donne : d´et

m(u), m(u) m(u)2 =d´et

dt

dum(t), dud2t2 m(t) + dt

du

2

m(t) dudt m(t)2 = dt

du d´et

m(t), m(t) m(t)2 . Le param`etre normal est d´efini par :

(I-11) ds=d´et

m(t), m(t) m(t)2 dt.

Donc s est tel que :

d´et

m(s), m(s)

=m(s)2.

Les droites sont les seules courbes qui ne poss`edent pas de param`etre normal.

D´efinissons le rep`ere mobile par e1(s) =m(s). Donc e2(s) est d´efini e12=e22 e1·e1=e2·e2

e1·e2= 0 e1·e2=−e1·e2 d´et(e1, e1) =e12

d´et(e1, e2) =e22

d´et(e1, e1)

d´et(e1, e2) =e1 e2 = 1.

e1=ρ e1+α e2; calculonsα:

d´et(e1, e1) = d´et(e1, e2)

αe1 e2=e1 e2 doncα= 1.

(6)

(I-12)





m(s) =e1(s)

e1(s) =ρ(s)e1(s) +e2(s) e2(s) =−e1(s) +ρ(s)e2(s)

Remarque : dans le livre de GuyLaville,Courbes et Surfaces, ´editeur ellipses,cette ´etude doit remplacer celle expos´ee au chapire VI, paragraphe 4, car l’invariant introduit est bien invariant, diff´erentiel, g´eom´etrique, mais pas local !

Courbes `a ASSim(2) courbure constante

Il est plus facile de faire les calculs dans le plan complexe. Posons z(s) = m(s), alors e1(s) =z(s), e2(s) =iz(s) et la deuxi`eme ´egalit´e (I-12) s’´ecrit :

z(s) =ρ z(s) +iz qui a pour solution :

z(s) =a+b e(ρ+i)s avec a∈C et b∈C. En termes r´eels

x(s) =a0+b0 eρscos(s) y(s) =a1+b1 eρssin(s) on trouve une spirale logarithmique.

Soit a un vecteur fixe

a=ξ1e1+ξ2e2 0 = da

dt =ξ1e1+ξ1(ρe1+e2) +ξ2e2+ξ2(−e1+e2).

Donc, dans le rep`ere mobile un observateur voit les coordonn´ees de a varier : (I-13)

ξ1 +ξ1ρ−ξ2= 0 ξ2 +ξ2ρ+ξ2= 0

S’il sait que le vecteur est fixe et constate ces ´equations, il saura que le groupe de sa g´eom´etrie est ASSim(2), en particulier les longueurs ne sont pas constantes.

5. Comparaison entre

ASO(2)

et

ASSim(2)

Reprenons leASO(2)-rep`ere mobile avec ASO(2)-param`etre normal. Le rep`ere

m(s), e1(s), e2(s) devient pour ASSim(2) :

m(s), λ(s)e1(s), λ(s)e2(s)

avec λ fonction pouvant ˆetre choisie.



 d ds

λ(s)e1(s)

= λ(s)e1(s) +λ(s)ρ(s)e2(s) d

ds

λ(s)e2(s)

=−λ(s)ρ(s)e1(s) +λ(s)e2(s)

(7)

Nous pouvons choisirλ(s). Prenons-la telle que : λ(s)ρ(s) = 1.

Soit σ le ASSim(2)-param`etre normal : =d´et

m(s), m(s) m(s)2 ds

= d´et

e1(s), e1(s) ds

=ρ(s)ds.

d

(λe1) = 1 ρ

d

ds(λe1) =1 ρ

λ

λ λe1+ρ ρ λe2. D’o`u :

courbure semblable =1 ρ

λ λ = 1

ρ ρ d ds

1 ρ =−ρ

ρ2 carr´e au d´enominateur.

Formule donn´ee (o`u) par H. Weyl.

6. Conclusions

Les notions de param`etre normal et de rep`ere de Frenet ne sont pas d´efinies que pour la g´eom´etrie euclidienne. Elles peuvent ˆetre d´efinies d`es que l’on se donne un groupe. Pour chaque groupe, nous avons une “longueur” entre deux points de la courbe. La longueur eu- clidienne correspond `a notre intuition habituelle. La longueur en relativit´e restreinte `a deux dimensions (une de temps, une d’espace) est interpr´et´ee classiquement comme le temps propre.

Les particules de type photon `a deux dimensions n’ont pas de temps propre. Le groupe des similitudes est utilis´e quand on ´etudie les mod`eles r´eduits en m´ecanique.

II. Le rep`ere mobile de Gaston Darboux et d’Elie Cartan

1. Terminologie

Nous supposons que le lecteur saurait d´efinir (ou, du moins, a une id´ee claire) les notions suivantes, G ´etant un sous-groupe de AGL(n) :

– rep`ere d’un espace affine (groupeAGL(n)).

G-rep`ere, G-rep`ere mobile. Nous en avons ´etudi´e des cas particuliers pr´ec´edemment.

G-r´ef´erentiel d’inertie.

Nous pr´eciserons ces notions de r´ef´erentiel par la suite.

Commen¸cons par ´etudier la notion de rep`ere mobile de fa¸con g´en´erale. Nous utiliserons la notion de forme diff´erentielle et de diff´erentielle ext´erieure.

2. Equations de structure de Maurer-Cartan

Consid´erons un espace affine de dimension n, son groupe AGL(n) et un rep`ere mobile (m, e1, e2, . . . , en).

(II-1)

dm=ωh eh

dek =ωhk eh

(8)

Nous avons utilis´e la convention de sommation. Les indices vont de 1 `a n.

d2m= 0 donne heh−ω∧de= 0 donc heh=ω∧ωheh

d2ek = 0 donne hkeh−ωk∧de= 0 donc kheh=ωk∧ωheh. D’o`u les ´equations de structure de AGL(n) (II-2)

h=ω∧ωh kh=ωk∧ωh

Sous-groupe ASL(n)

C’est le sous-groupe de AGL(n) qui conserve lesn-volumes. LesASL(n) rep`eres ont une seule contrainte : d´et(e1, . . . , en) = 1. Par d´erivation :

(II-3)

n h=1

d´et(e1, . . . , eh, . . . , en) = 0 n

h=1

ωhh= 0

Donc, pour ASL(n) on a les ´equations (II-1), (II-2), (II-3).

Sous-groupe ASO(n)

Contrainte : ek·eh=δkh.Par d´erivation dek·eh=−ek·deh. Donc :

(II-4) ωhk=−ωhk.

Nous avons antisym´etrie, en particulier, pour tout h:ωhk= 0 (ici, pas de somme !).

Donc, pour ASO(n), nous avons les ´equations (II-1), (II-2), (II-4).

Sous groupe ASO(n−1,1).

Prenons ek2= 1 pour k= 1, . . . , n; en2=−c2. Un calcul analogue, mais en tenant compte de :

d ek·en=−ek·den, k= 1, . . . , n1 ωkheh·en=−ek·ωkneh

ωnk(−c2) =−ωkn

(II-5)







ωhk=−ωhk pourket hde 1 `a n−1 ωkn= 1

c2 ωkn pourkde 1 `an−1

ωhh= 0 (pas de somme) h de 1 `a n.

Donc pour ASO(n−1,1) nous avons les ´equations (II-1), (II-2), (II-5).

Remarques : pour c=i nous retrouvons ASO(n). Pour c−→ ∞ nous avons les ´equations de structure du groupe de Galil´ee. Nous avons pris en·en=−c2, mais on peut aussi prendre e1·e1=−c2, par ´echange des indices 1 et 2.

(9)

Sous-groupe ASSim(n)

Les contraintes sur leASSim(n) rep`ere sont :

ek·eh= 0 pour k=h et e1·e1=e2·e2=· · ·=en·en. De la mˆeme fa¸con que pr´ec´edemment :

(II-6)

ωkh=−ωkh pour k=h

ωkk =ω (pas de somme, pour tout k et ).

Remarque : interpr´etation de dej=ωjiei.

Supposons que le rep`ere suive une courbe dont le vecteur tangent est e1 (en un certain point que nous n’´ecrirons pas)

ωij(e1)ei =dej(e1) au pointp= lim

ε0

ej(p+εe1)−ej(p)

ε .

Donc ωji(e1) est le “taux de rotation” de ej autour de ei quand le rep`ere mobile se d´eplace le long de cette courbe.

Ecriture matricielle :

Apr`es le choix d’une base de n vecteurs : v = (v1, . . . , vn) peut ˆetre consid´er´e comme une matrice et on peut faire des multiplications matricielles :

(vA)B= (vA)B=v(AB).

Posonsω= (ωij) matrice carr´ee `a coefficients formes = (ωi) matrice ligne `a coefficients formes.

Alors, les ´equations (II-2) s’´ecrivent :

d=∧ω =−ω∧ω

le signe moins est dˆu `a la multiplication matricielle dans (ωij), i est l’indice de la ligne,j de la colonne.

3. Groupe de Lie, alg`ebre de Lie et son dual

Etant donn´e un groupe de Lie, nous pouvons utiliser soit son alg`ebre de Lie et l’op´eration [X, Y] soit le dual de cet alg`ebre, i.e. l’espace vectoriel des formes diff´erentielles et l’op´eration de diff´erentielle ext´erieure. C’est ce dernier point de vue qui est adopt´e car il est tr`es adapt´e `a l’´etude du rep`ere mobile. Nous passons de l’un `a l’autre au niveau alg`ebrique par dualit´e et au niveau analyse par dω(X, Y) =ω([X, Y]).

(10)

4. Le rep`ere mobile d’une courbe en trois dimensions pour le groupe

ASSim(3) Comme exemple d’application `a la m´ethode ci-dessus, calculons les ´equations du rep`ere mobile d’une courbe en 3 dimensions pour le groupe constitu´e des d´eplacements et des homoth´eties, conservant l’orientation. D’apr`es (II-1) et (II-6)









dm = ω1 e1

de1 = ω11 e1 + ω21e2 + ω31 e3

de2 = −ω21 e1 + ω11e1 + ω23 e3

de3 = −ω31 e1 ω23e2 + ω11 e3 Prenons comme invariant diff´erentiel g´eom´etrique local :

m(t)×m(t) m(t)2 dt sest donc caract´eris´e par m(s)×m(s)=m(s)2. Choisissons e2 dans vect(e1, e1). Donc :

ω31= 0

ω1e1×11e1+ω12e2) =ω1ω21e1×e2

ω1e1·ω1e1= (ω1)2 e12 et e1×e2=e12 (rappelons que e1=e2=e3).

Donc ω1ω21= (ω1)2 d’o`u ω12=ω1.

Nous avons ω1=ds, les relations (II-2) donnent :

0 =d2s=1=ω1∧ω11 donc, il existe une fonction ρ1 telle que : ω11=ρ1ω1

ω31= 00 =31=ω11∧ω13+ω12∧ω23+ω13∧ω33=−ω1∧ω32 donc, il existe une fonction ρ2 telle que : ω23=ρ2ω1.

D’o`u les ´equations pour ce rep`ere mobile.









m= e1

e1= ρ1e1 +e2 + 0 e2= −e2 +ρ1e2 + ρ2e3 e3= 0 −ρ2e2 + ρ1e3

5. Le rep`ere mobile des courbes `a 4 dimensions

Nous allons consid´erer le groupe de Poincar´eASO(3,1) (Lorentz plus translations) en conser- vant la constantec. Pour c=i on trouvera ASO(4), pour c−→ ∞ on trouvera AGal(3,1) groupe de Galil´ee.

Forme quadratique : x21+x22+x33−c2x24.

Soit t−→m(t) une courbe. Il faut distinguer 3 cas :

m(t)>0, m(t)<0, m(t)= 0.

(11)

Premier cas : m(t)>0.

La courbe est du genre espace.

Construisons le rep`ere mobile. Origine : m.

Premier vecteur : e1 tangent, e1= 1 dm=ω1e1 donc ω2=ω3=ω4= 0.

Deuxi`eme vecteur : e2 orthogonal `a e1,e2= 1, dans la direction de de1 (e1·de1= 0) de1=ω12 e2 donc ω13= 0, ω32= 0.

2= 0 donc (II-2) donneω1∧ω21= 0. Il existe une fonctionρ1telle queω21=−ρ1ω1. Choisissons e3 dans vect(e1, e2, de2), orthogonal `a e1, e2, sens direct, e3= 1.

de2=ρ1ωe11+ω32e3

puisque (II-5) donne ω22= 0 et ω21=−ω12. De plus : ω31= 0 donc :

0 =13=ωj1∧ω3j on a : ω11=ω33= 0, ω14= 0 ω21∧ω32= 0⇒ −ρ1ω1∧ω23= 0.

Donc, il existe une fonction ρ2 telle que ω32=ρ2ω1. de2=ρ1ω1e1+ρ2ω1e3.

Le vecteur e4 est maintenant compl`etement d´etermin´e e42=−c2

de3=ωj3 ej, on aω31=−ω13= 0, ω33= 0 de3=−ρ2 e2+ω43 e4

ω41= 0 donc 0 =14=ωj1∧ω4j. Comme pr´ec´edemmentω34= 1 c2 ρ3ω1. Enfin, (II-5) donne :

0 =ω41= 1

c2 ω41, 0 =ω42= 1

c2 ω24, 0 =ω44, ω34= 1

c2 ω34 donc ω34=ρ3ω1. D’o`u les ´equations du rep`ere mobile

(II-7)



















dm =ω1e1

de1 = 0 +ρ1 ω1e2 + 0 + 0 de2 =−ρ1 ω1e1 + 0 +ρ2ω1e3 + 0 de3 = 0 −ρ2 ω1e2 + 0 + 1

c2ρ3 ω1e4

de4 = 0 + 0 +ρ3ω1e3 + 0 On peut prendre un param`etrage tel que :

ω1=ds=m(t)dt.

Deuxi`eme cas : m(t)<0.

La courbe est du genre temps.

Etude analogue ou changement d’indices :

(II-8)

















dm=ds e1

de1= 0 +ρ1dse2 + 0 + 0 de2= 1

c2 ρ1dse1 + 0 +ρ2dse3 + 0 de3= 0 −ρ2dse2 + 0 +ρ3dse4

de4= 0 + 0 −ρ3dse3 + 0 Faire c2=1 pour retrouver le rep`ere mobile de ASO(4).

(12)

6. L’alg`ebre de Clifford mobile

R3,0

Consid´erons le groupe ASO(3) et son alg`ebre de CliffordR3,0. Les ´equations du rep`ere mobile en param´etrage normalsd’une courbe s’´ecrivent :









m =e1

e1 = 0 +ρ1e2 + 0 e2 =−ρ1e1 + 0 +ρ2e3

e3 = 0 −ρ2e2 + 0

L’alg`ebre de Clifford peut ˆetre engendr´ee par e1(s), e2(s), e3(s). Consid´erons le pseudoscalaire i(s) =e1(s)e2(s)e3(s) et calculons sa d´eriv´ee :

i=ρ1e2e2e3 +e1(−ρ1e1+ρ2e3)e3+e1e2(−ρ2e2)

=ρ1e3−ρ1e3+ρ2e1−ρ2e1= 0.

Donc i est ind´ependant des. Il est “universel”. Ceci est intuitivement ´evident : irepr´esente l’espace tout entier. C’est une raison suppl´ementaire pour “supprimer” les nombres complexes et les absorber dans l’alg`ebre de Clifford !

7. Dynamique galil´eenne du point mat´eriel

Ici on peut prendre un param`etre universel t qui peut ˆetre interpr´et´e comme le temps. Un observateur suit une trajectoire

t−→m(t).

Soit s(t) son param`etre normal, v(t) = ds(t)

dt vitesse scalaire, a(t) = d2s(t)

dt acc´el´eration scalaire.

Equations du rep`ere mobile de l’observateur :









m(t) =v(t)e1(t)

e1(t) = 0 +v(t)ρ1(t)e2(t) + 0

e2(t) =−v(t)ρ1(t)e1(t) + 0 +v(t)ρ2(t)e3(t) e3(t) = 0 −v(t)ρ2(t)e2(t) + 0

Soit M(t) la masse. Elle est en g´en´eral variable (exemple : un rafale d´ecollant d’un porte-avion) F

m(t)

= d dt

M(t)m(t) .

(II-9) F

m(t)

=

M(t)v(t) +M(t)v(t)

e1(t) +M(t)v(t)2ρ1(t)e2(t).

La force se d´ecompose en deux, la composante orthogonale `a la trajectoire provoque la premi`ere courbure.

(II-10) ρ1=F·e2

M v2.

(13)

Ces formules ne doivent pas faire croire que la deuxi`eme courbure (dite “torsion”)ρ2 n’intervient pas. En param´etrage quelconque, on a :

ρ2=d´et(m, m, m) m×m2 . F =Mm +M m

F=Mm+ 2Mm+M m d´et(m, m, m) = 1

M2 d´et(m, F, F).

dF m(t) dt =dF

m(t), m(t)

=

m(t)· ∇ F

m(t) ρ2= d´et

m, F,(m· ∇)F m×F2 . (II-11)

La seconde courbure est ind´ependante de la masse.

8. Dynamique en relativiste restreinte

Un observateur suit une trajectoire de genre temps (sa ligne d’univers). Le rep`ere mobile (m, e1, e2, e3, e4), dont le mouvement est d´ecrit en (II-8), a pour noms classique : rep`ere de r´ef´erence propre (proper reference frame), t´etrade de l’observateur, t´etrade orthogonale. A ne pas confondre avec la t´etrade de Fermi-Walker. Critiquons d’abord la notion de “masse au repos”. Par d´efinition celle-ci est la masse d’une particule de vitesse nulle dans un r´ef´erentiel d’inertie. Cette “masse au repos” est un invariant par changement de r´ef´erentiel d’inertie. Mais (m, e1, e2, e3, e4) n’est pas toujours un r´ef´erentiel d’inertie. C’est pourquoi nous utiliserons la notion de “masse propre”. Nous allons ´etudier si celle-ci est constante. A priori la particule est d´efinie en utilisant le param`etre normals par sa masse propre s−→M(s) et sa trajectoire s−→m(s) de genre temps.

Soit f une “4-force” et p(s) l’impulsion f

m(s)

=dp(s) ds . d

ds

M(s)m(s)

=M(s)e1(s) +M(s)ρ1(s)e2(s) f·e1=Me1·e1=−c2M.

La masse propre est constante si et seulement si la force est orthogonale `a la ligne d’univers.

Ce qui est le cas pour l’´electromagn´etisme classique.

Etudions comment la force engendre les courbures

(II-12)





f·e2 =M ρ1

f·e3 =M ρ1ρ2

f·e4 =M ρ1ρ2ρ3

Remarque : observateur regardant un vecteur fixe. Soit v un vecteur fixe, dv= 0.

(14)

Dans le rep`ere mobile v=ξiei, dv= 0, d’o`u :

(II-13)











ξ1+ξ2ρ1 c2 = 0 ξ21ξ1−ρ2ξ3= 0 ξ32ξ2−ρ3ξ4= 0 ξ43ξ3= 0

9. Le rep`ere mobile pour une courbe de genre photon

Reprenons l’´etude faite dans le paragraphe 4, mais dans le cas o`u la courbe t −→ m(t) est du genre photon : mt) = 0. Nous suivons ici certaines id´ees de Heinz Kr¨uger (Differential geometry and dynamics of Lightlike point in Lorentzian space time, an- nales de la fondation Louis de Broglie,vol. 24, 1999 (39-66)).

Remarquons d’abord que nous ne pouvons pas utiliser les id´ees classiques de courbe dessin´ee sur une sous-vari´et´e et rep`ere de Darboux : une sous-vari´et´e d’une vari´et´e pseudoriemannienne n’est pas toujours pseudoriemannienne !

La courbe t−→m(t) est dessin´ee sur le cˆone de lumi`ere (sous-vari´et´e de dimension 3). Pour faire l’´etude la plus simple possible, suivons les id´ees de I paragraphe 1.

Cherchons le premier invariant diff´erentiel g´eom´etrique local ; “premier” signifie qu’il utilise les ordres de d´erivation m(t), m(t), m(t) le plus petit possible m(t)= 0 est identiquement nul donc inutilisable.

Fixons un r´ef´erentiel inertiel de Lorentz u1, u2, u3, u4 avec u42=−c2 m(t) =v(t) +v4(t)u4

v(t)2−v4(t)c2= 0 v4(t) =± v(t)2

c . Posons ε=±1

m(t) =v(t) +ε v(t)2

c u4

m(t) =v(t) +ε c

√v

v2 ·3vu4

le produit scalaire ´etant dans R3: √v

v2 ·3v

≤ v. Deux cas possibles :

– Soit on a ´egalit´e, alors v etv sont colin´eaires, la projection de t−→m(t) est une droite de R3 donc t−→m(t) est une droite sur le cˆone. Dans ce cas on n’aura pas de param`etre normal et pas de rep`ere de Frenet ; nous avons vu un cas analogue pourASL(2).

– Soit on a √v

v2 ·v<v. Alors m(t)2=v2−√v

v2·3v 2

>0.

D’o`u le premier invariant diff´erentiel g´eom´etrique local :

(II-4) m(t)1/2dt,

(15)

nous avons bien pour t−→u(t), du dt >0 m(u)1/2du=d2t

du2 m(t) + dt

du 2

m(t)1/2 du dt dt

=dt du

2

m(t)1/2du dt dt puisque m etm sont orthogonaux et m= 0.

Nous d´efinirons le param`etre normal en posant :

ds=m(t)1/2dt.

Il est caract´eris´e par :

(II-15) m(s)= 1.

Nous ne pouvons pas prendre pour premier vecteur de base un vecteur colin´eaire `a m car il serait de norme nulle et les vecteurs d’unASO(3,1)-rep`ere sont de norme non nulle.

Posons σ=1 2 m2.

Dans vect(m, m) il y a des vecteurs de genre temps et de genre espace (espace quadratique de dimension 2, signature +, -). Prenons e1 et e4 base de cet espace : e21= 1, e24=−c2 et e1·e4= 0 :

(II-16)





m =e1+1 c e4

m=

−σ−1 2

e1+

−σ+1 2

1 c e4. Ce choix est possible parce que :

0 =m2=e21+ 1

c2 e24 e24=−c2e21 2σ=m2=

−σ−1 2

2

e21+

−σ+1 2

2 1 c2 e24

=

−σ−1 2

2

+

−σ+1 2

2 e21. D’o`u e21= 1 et e24=−c2.

V´erifions enfin que e1·e4= 0

m2= 0⇒m·m= 0⇒m·m =−m2=1 m·m=−σ−1

2 +

−σ+1 2

1

c2(−c2) + −σ

c + 1 2c−σ

c 1 2c

e1·e4

−1 =−1 +

c

e1·e4.

Mais si σ= 0, alors metm sont dans le cˆone, dans celui-ci tous les produits scalaires sont d´eg´en´er´es m·m = 0 contradiction.

Donc σ= 0 et e1·e4= 0.

Pour fixer e2 remarquons que :

m2= 0 m·m= 0 m2= 1 m·m= 0

⇒morthogonal `ae1 et e4

(16)

Nous pouvons donc poser :

(II-17) e2=m.

Compl´etons le rep`ere mobile,e3 est compl`etement d´etermin´e.

Posons : ρ=e1·e3.

D’apr`es m=e2, (II-16) premi`ere ligne d´eriv´ee, multipli´ee par e4 : 0 =e4·e2=e4·e1+1

c e4·e4=e4·e1. D’o`u en tenant compte de m =e2, e1·e2=−e1·e2=σ+12 :

e1= 0 +

σ+1 2

e2+ρ e3+ 0 (II-16) deuxi`eme ligne donne :

e2=m= σ+1

2

e1+ 0 + 0 +

−σ+1 2

1 c e4. Calculons e3·e4 :

0 =e3·e2=e3·m=e3·e1+1 c e3·e4 e3·e4=−e3·e4=−c e3·e1=−cρ.

Les coefficients de e4 sont obtenues par les relations de sym´etrie.

Finalement les ´equations du rep`ere mobile s’´ecrivent :

(II-18)





























m=e1 + 1

c e4

e1= 0 +

σ+1

2

e2 + ρe3 +0 e2=

σ+1 2

e1 + 0 + 0 +

−σ+1 2

1 c e4

e3=−ρe3 + 0 + 0 +−ρ

c 1 c e4

e4= 0 +

−σ+1 2

ce2 + (−c)ρe3 + 0

Il serait int´eressant d’appliquer ces relations `a une particule ayant pour vitesse c et subissant certaines interactions.

Remarque

A tout ASO(3,1)-rep`ere m, e1, e2, e3, e4, on peut faire correspondre un rep`ere m, u1, u2, u3, u4

tel que les 3 premiers vecteurs soient de norme 0, u24=1, ui·uj=1 uj =ej+1

c e4 pourj= 1,2,3, u4=1 c e4 ej =uj−u4 pourj= 1,2,3, e4=c u4.

Et on peut ´ecrire le mouvement du rep`ere m, u1, u2, u3, u4. Mais ceci nous fait sortir du cadre groupe de Lie-alg`ebre de Lie.

Références