Proposition 1.47. Pour tout Λ∈L¯k, ϕ(Λ)0 est connexe par arcs.
Démonstration : C’est un fait général, mais non trivial, que tout ouvert de Zariski d’une variété algébrique complexe irréductible est connexe par arcs. Dans le cas présent on peut cependant donner une démonstration explicite. Soit Λ ∈ L¯k, et soit L ∈ L tel que p(L) = Λ. Notons
Ω = L∩(ϕ◦p)−1(ϕ(Λ)0). Comme p : V → W\V et ϕ : W\V → Y sont des morphismes algébriques, Ω est un ouvert de Zariski de L. Comme L est un espace vectoriel sur C, la connexité par arcs deΩest alors évidente. D’autre part,ϕ(Λ)0=ϕ◦p(Ω), avecϕ◦pcontinue, donc ϕ(Λ)0 est connexe par arcs.
En utilisant le théorème 1.31, on va en déduire aisément que lesϕ(Λ)0, pourΛ∈L¯k, sont bien les composantes connexes par arcs de Yk0.
1.8 Forte conjugaison, et cas des réflexions
Théorème 1.48. Soit k∈ {2, . . . , n}. Alors :
– les partiesϕ(Λ)0, pour Λ∈L¯k, sont les composantes connexes par arcs deY0
k ;
– les ensemblesfact(ϕ(Λ)0) =factΛαk(c)sont les orbites d’Hurwitz defact(Yk0) =factαk(c)
sous Bn−k+1.
Par conséquent, deux éléments de ncpW de longueurk sont fortement conjugués si et seule-ment s’ils sont conjugués.
Démonstration : Soient y ∈ ϕ(Λ)0 et y′ ∈ ϕ(Λ′)0, avec Λ,Λ′ ∈ L¯k. Si y et y′ sont reliés par un chemin dans Yk0, alors, par le théorème 1.31, fact(y) etfact(y′) sont dans la même orbite d’Hurwitz, donc leurs éléments longs sont conjugués,i.e. Λ = Λ′ (par lemme 1.41). Donc la proposition 1.47 implique que les ϕ(Λ)0 sont les composantes connexes par arcs de Y0
k. Les orbites d’Hurwitz de fact(Yk0) sont alors directement données par le théorème 1.31.
Enfin, la propriété de forte conjugaison vient du fait qu’une factorisation de formeαk est dans fact(ϕ(Λ)0)si et seulement si son facteur long est de type Λ.
Pour conclure la preuve du théorème 1.16, il reste à déterminer les classes de conjugaison forte de réflexions :
Théorème 1.49. Soient r, r′ deux réflexions de ncpW. Si r etr′ sont conjuguées, alors r et r′ sont fortement conjuguées dans ncpW.
Remarque 1.50. Cette propriété apporte une précision intéressante concernant l’action d’Hurwitz de Bn sur Red(c) : si (r1, r2, . . . , rn) et (r′1, r′2, . . . , rn′) sont deux décompositions réduites dec, avec r1, r′
1∈ncpW deux réflexions conjuguées, alors il existe une tresse de Bn,
pure par rapport au premier brin, qui transforme l’une en l’autre (cf. remarque 1.15 sur le lien entre forte conjugaison et action d’Hurwitz).
Démonstration : Considérons ϕ : H → Y, (y, x) 7→ y. Notons H′ := ϕ−1(Y − K). Alors la restrictionϕ′:H′ →Y − Kest un revêtement non ramifié à nfeuillets (continuité des racines d’un polynôme à racines simples).
Soient r, r′ deux réflexions de ncpW conjuguées. Par surjectivité de fact, il existe y, y′ ∈
Y − K, tels que fact(y) = (r, r2, . . . , rn) et fact(y′) = (r′, r2′, . . . , rn′). On peut supposer que
LL(y) = LL(y′); soit x leur élément minimal pour ≤lex (correspondant à r et r′). Soit Λ la strate deL¯1 correspondant à la classe de conjugaison der etr′. D’après le lemme 1.41,(y, x)
50
Chapitre 1. Orbites d’Hurwitz des factorisations primitives d’un élément de Coxeter
et (y′, x) sont dans Λ0. Plus précisément, (y, x) et(y′, x) sont dansΛ∩ H′, que l’on va noter
Λ′.
Notons que Λ′ est un ouvert de Zariski de Λ, donc est connexe par arcs, par le même argument que pour la proposition 1.47. Par conséquent, on peut relier (y, x) et(y′, x) par un cheminγ dansH′. Celui-ci se projette en un chemin dansY− K, et détermine viaLLun lacet dansEnreg. Ce lacet représente une tresseβ qui, par construction, stabilise le premier brin(x). Ainsi y′ =y·β par l’action de monodromie, et fact(y′) = fact(y)·β par l’action d’Hurwitz. Commeβ stabilise le brin (x), on en déduit quer etr′ sont fortement conjugués, en vertu de la remarque 1.15.
Chapter 2
Discriminants and Jacobians of virtual
reflection groups
Introduction
This chapter is a non-Galois version of the first few steps of the classical invariant theory of reflection groups. We will deal with questions of commutative algebra, that were at first mo-tivated by empirical observations on the extensions defined by Lyashko-Looijenga morphisms. We consider a finite polynomial ring extensionA⊆B, whereA is not necessarily the ring of invariants of Bunder a group action. Thus, we cannot simply imitate the classical proofs of invariant theory, as they really make use of the group action. However, in our setting, many properties seem to work the same way as for Galois extensions, particularly for Jacobian and “discriminant” of the extension.
Note that we use only elementary commutative algebra, and that the properties derived here are presumably folklore. The situation that we describe is in fact surprisingly basic and universal, yet apparently written nowhere from this perspective. The extensions usually studied in the litterature, are either much too general, or of the form A=BG⊆B, whereB
is a polynomial algebra; here we are rather interested in extensionsA⊆B whereB and Aare polynomial algebras, but where we do not require A to be the ring of invariants ofB under a group action.
The key ingredients to describe and understand the situation are:
• a notion of “well-ramified” polynomial extensions (this very natural property ought to be standard, but I could not find any references for that);
• properties of the different of an extension, that enable to apprehend the Jacobian of the extension.
2.1 Motivations and main theorem
LetV be ann-dimensional complex vector space, andW ⊆GL(V)a finite complex reflection group, with fundamental system of invariants f1, . . . , fn of degrees d1 ≤ · · · ≤ dn. From
52 Chapter 2. Discriminants and Jacobians of virtual reflection groups Chevalley-Shephard-Todd theorem, we have the equality C[V]W = C[f1, . . . , fn], and the isomorphism
W\V → Cn
¯
v 7→ (f1(v), . . . , fn(v)).
Let us denote by Athe set of all reflection hyperplanes, and consider the discriminant of
W defined by
∆W := Y H∈A
αeH
H ,
where αH is an equation of H and eH is the order of the parabolic subgroup WH. The discriminant is the equation of the hypersurface H:=W\ [
H∈A
H inCn= SpecC[f1, . . . , fn]. Let us also consider the JacobianJW of the morphism (v1, . . . , vn)7→(f1(v), . . . , fn(v)):
JW := det ∂fi ∂vj 1≤i≤n 1≤j≤n .
It is well known (see for example [Kan01, Sect. 21]) that the Jacobian satisfies the following factorisation:
JW =. Y H∈A
αeH−1
H ,
where =. denotes equality up to a nonzero scalar; thus we have ∆W/JW =Q
H∈AαH, i.e. it is the product of the ramified polynomial of the extension C[f1, . . . , fn]⊆C[V].
One can construct a stunningly similar situation related to the morphism LL defined in 1.18. Let us define anLL-discriminant:
DLL:= Disc(∆W(f1, . . . , fn);fn) ∈C[f1, . . . , fn−1]
(it is the equation of the bifurcation locusK). Consider also theLL-JacobianJLL (the Jaco-bian determinant of the morphismLL). As we can observe empirically, and will prove in all generality in the next chapter, it turns out that the couple of polynomials(JLL, DLL)behaves similarly to the couple(JW,∆W): the quotientDLL/JLL is the product of the ramified poly-nomials of the extension associated to LL, and their valuations in DLL correspond to their ramification indices.
Although we mainly have in mind applications to DLL, we devote this chapter to the following general setup. Let us consider a finite graded polynomial extension A ⊆ B (see Definition 2.4): we have a graded polynomial algebra B in n indeterminates over C, and a polynomial subalgebraA generated bynweighted homogeneous elements ofB, such that the extension is finite. The two key examples are:
• the Galois extensions C[f1, . . . , fn] ⊆ C[v1, . . . , vn], defined by a quotient morphism
V →W\V, wherew is a reflection group andC[f1, . . . , fn] =C[V]W;
• the Lyashko-Looijenga extensions C[a2, . . . , an]⊆C[f1, . . . , fn−1], given by a morphism
LL (with the notations of section 1.3.3); these extensions are indeed finite according to Thm. 1.19.