Configurations de nœud TLM 3D

Depuis l’article de Johns et Beurle [2], une série d’affinements de la méthode TLM a été proposée et implémentée avec succès. Dans ce paragraphe, les principaux types de nœuds TLM 3D seront présentés et les avantages et les inconvénients de ceux-ci seront soulignés. Une présentation plus détaillée des principales configurations de nœuds TLM (2D et 3D) est présentée dans l’Annexe 4.

L’aspect le plus important est qu’en utilisant la méthode TLM 3D [11], on peut déterminer les six composantes du champ EM dans un certain volume de l’espace.

Dans un premier temps, la combinaison des nœuds 2D parallèle et série a conduit au développement du nœud 3D asymétrique distribué (« expanded node »), introduit par S. Akhtarzad et P. B. Johns [12], [4], [13]. Le principal inconvénient du nœud TLM distribué (qui est similaire au nœud de Yee) est la complexité de sa topologie d’un point de vue informatique [16]. Comme il y a un espacement entre les points de calcul des composantes du champ, elles ne sont pas renouvelées en même temps. Cela rend la modélisation des frontières et des interfaces entre les différents matériaux difficile et susceptible aux erreurs. L’implémentation des maillages variables n’est pas facile non plus dans cette situation.

Toutes les difficultés, générées par l’utilisation du nœud TLM asymétrique distribué, ont

déterminé le développement d’une structure nodale condensée, appelée nœud

asymétrique condensé (ACN – « Asymmetrical Condensed Node »). Ce nœud a été introduit par P. Saguet et E. Pic [14], [3], [4].

Ces deux premiers nœuds 3D sont asymétriques. Cela rend difficile la modélisation des interfaces entre différents milieux, ainsi que la programmation du maillage variable.

Afin de surmonter toutes ces difficultés, P. B. Johns a développé en 1987 le nœud symétrique condensé (SCN – « Symmetrical Condensed Node ») [17], qui est devenu le nœud TLM le plus utilisé dans la simulation 3D [16], [3], [17]. Comme il est également le nœud que nous avons choisi pour nos simulations, nous allons le présenter en détail dans un paragraphe suivant.

3.1.5.1 Discussion

Faisons une comparaison des trois types principaux de nœuds TLM 3D susmentionnés. La Fig. 3.4 montre une cellule fondamentale du réseau TLM, modélisée par le nœud asymétrique distribué (a), le nœud asymétrique condensé (ACN) (b) et le nœud symétrique condensé (SCN) (c).

(a) (b) ^(c)

Fig. 3.4 Nœuds TLM 3D. (a) Nœud asymétrique distribué ; (b) Nœud asymétrique condensé (ACN) ; (c) Nœud symétrique condensé (SCN).

Nous pouvons noter que les trois circuits série situés sur les frontières de la cellule modélisée par le nœud asymétrique distribué (Fig. 3.4a) sont déplacés vers le centre de la cellule dans le cas des nœuds condensés (Fig. 3.4b,c). On peut considérer que les lignes de transmission du nœud ACN (Fig. 3.4b) se situent infiniment proche du centre de la cellule, mais pas exactement au centre. Par conséquent, les connexions série et parallèle sont toujours séparées dans le nœud ACN (Fig. 3.4a). Cela permet la construction d’un circuit électrique équivalent afin de dériver la matrice de répartition, mais le nœud reste asymétrique. En déplaçant les lignes de transmission directement au centre de la cellule, les connexions série et parallèle fusionnent dans une structure unique, définie comme le nœud SCN. Dans ce cas-ci, la connexion physique des lignes de transmission n’est pas définie (région ombrée dans la Fig. 3.4c) et il n’y a plus de circuit électrique équivalent. En revanche, la symétrie est établie, permettant la modélisation identique de la propagation des ondes, quelque soit leur direction d’incidence.

Un autre point de vue sur l’évolution du nœud asymétrique distribué au nœud SCN est représenté dans la Fig. 3.5. Ici, les lignes de transmission sont figurées par des lignes simples et la polarisation est déterminée par la direction de la flèche. Les connections parallèle et série sont respectivement représentées par les sphères ombrées en gris foncé

et en gris clair. Dans les cas du nœud asymétrique distribué et du nœud ACN, on note six sphères (Fig. 3.5a,b), car les points de répartition parallèle et série sont distincts. En revanche, dans le cas du nœud SCN, ces points fusionnent en une seule sphère (Fig. 3.5c) qui peut être vue comme une combinaison de circuits parallèles et séries constituant un « super-réseau ».

Connexions :

parallèle série

(a) (b) (c)

Fig. 3.5 Une autre représentation des nœuds TLM 3D. (a) Nœud asymétrique distribué ; (b) Nœud asymétrique condensé (ACN) ; (c) Nœud symétrique condensé (SCN).

L’avantage de la modélisation en utilisant la topologie du nœud condensé est qu’il existe une correspondance complète entre un seul nœud du réseau TLM et le bloc du milieu modélisé par ce nœud. Dans le cas du nœud asymétrique distribué, les lignes de transmission sont placées aux frontières de la cellule. Les paramètres physiques des lignes sont donc partagés entre cellules adjacentes. En conséquence, il est nécessaire d’introduire une moyenne des paramètres caractérisant les lignes de liaison et des stubs aux discontinuités. Cela est facilement évité, dans les schémas condensés, en plaçant les discontinuités à mi-distance entre deux nœuds.

Couramment, pour déterminer les paramètres du nœud TLM, il est nécessaire d’écrire des équations qui relient la capacité et l’inductance totales, introduites par les lignes et les stubs du nœud, aux paramètres correspondants du bloc du milieu modélisé [3]. Il est à noter que même si les trois nœuds de la Fig. 3.4, ou de la Fig. 3.5, ont une topologie différente, ils ont le même nombre de lignes de liaison, de stubs, et la longueur des lignes

est la même. Donc, la répartition des tensions au niveau du nœud et l’implémentation des particularités du nœud se font différemment pour chacun des trois types de nœuds. Mais, les paramètres caractérisant les lignes de liaison et les stubs pour un milieu donné doivent être identiques.

Différents développements des nœuds TLM 2D et 3D, basés sur la variation de l’impédance caractéristique des lignes de transmission, ont conduit à l’introduction de

nœuds hybrides [14], [18], [19], [20]. Parmi ces nœuds, il y a : le nœud symétrique condensé hybride (HSCN) [18] et le nœud super symétrique condensé (SSCN) [21], [22], [23]. Cela a facilité la modélisation de matériaux comparativement aux nœuds originaux.

D’autres nœuds TLM 3D hybrides ont été proposés comme alternative au nœud SCN. Parmi eux, il y a le nœud général symétrique condensé (GSCN) [24], [25], le nœud adapté symétrique condensé (MSCN – Matched SCN) [26] et le nœud symétrique condensé adaptable (ASCN – Adaptable SCN) [27].

Plus récemment, l’équipe de C. Christopoulos a introduit des maillages non-structurés, comme le maillage triangulaire [28], ou celui tétraédrique [29].

Des schémas TLM dans le domaine fréquentiel (FD - Frequency Domain) [30] basés sur des principes similaires, ont été aussi développés afin de résoudre d’une manière efficace les problèmes stationnaires.

3.1.5.2 Conditions aux limites

Afin de simuler des structures EM, le modèle doit tenir compte de la propagation des champs, mais aussi des conditions aux limites. Ces conditions imposent la prise en compte des parois métalliques, des changements de milieux de propagation, des conditions de parois absorbantes, etc.

Les parois sont simulées par l’intermédiaire du coefficient de réflexion de l’impulsion [11]. Les endroits où les parois peuvent être placées correspondent aux symétries géométriques de la structure à étudier [10]. Le plus souvent, elles sont placées à mi-distance entre deux nœuds. Si la paroi présente une impédance finie, le coefficient de réflexion dépend de la fréquence à laquelle on travaille [5]. Les parois électriques, par exemple, sont simulées en

introduisant un coefficient de réflexion égal à (-1) entre deux nœuds. Pour les parois magnétiques, le coefficient est égal à 1.

De même, lorsque l’on veut étudier des structures situées dans l’espace libre (comme les antennes, par exemple), il est nécessaire d’imposer des conditions de parois absorbantes aux limites du réseau TLM, afin de limiter le volume de calcul. Ces conditions doivent représenter le mieux possible l’espace libre. La meilleure technique a été introduite par J. P. Berenger, en 1994 [31]. Elle consiste à entourer le volume de calcul par des couches absorbantes, appelées PML (Perfectly Matched Layers). Les PML ont été introduites dans la méthode TLM par N. Pena et M. Ney, en 1997 [32, 33] et optimisées par J.L. Dubard et D. Pompei, en 2000 [34].

3.1.5.3 Sources d’erreurs

Comme toutes les méthodes numériques, la méthode TLM est affectée par des erreurs spécifiques qui la rendent plus ou moins adaptée à un certain nombre d’applications. Les sources d’erreurs de la méthode TLM sont les suivantes [10], [5]:

a) L’erreur de troncature : est causée par le nombre fini d’itérations. L’effet est que la réponse fréquentielle du système présente des lobes secondaires importants. Une solution pour éliminer / réduire cette erreur est d’utiliser des fenêtres: triangulaire, Hanning, Hamming etc [5]. Le meilleur résultat est donné par la fenêtre de Hanning. Cette erreur est la même en 2D qu’en 3D.

b) L’erreur de vitesse : est causée par la différence entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe des impulsions qui se propagent dans le réseau TLM. En basse fréquence, la vitesse de group est égale à la vitesse de la lumière divisée par deux. Mais, cette vitesse diminue lorsque la fréquence augmente. Donc, si le rapport ∆l/λ est infiniment petit, la propagation des impulsions dans le réseau TLM représente très bien la propagation du champ EM dans le milieu réel. En revanche, lorsque ce rapport augmente, la propagation n’est plus isotrope et cette erreur dépend des propriétés du milieu et de l’angle fait par la direction de propagation de l’onde globale avec les axes du réseau. En conclusion, en plus de l’anisotropie, il existe une dispersion harmonique du modèle. L’erreur de vitesse devient acceptable si : ∆l/λ≤1/10.

Pour le réseau TLM 2D : l’erreur est maximale si l’onde se propage selon l’une des axes du réseau et elle est nulle lorsque l’onde se propage selon une direction diagonale.

Au contraire, pour le réseau TLM 3D à nœuds SCN, par exemple [35] : le réseau n’est pas dispersif si l’onde se propage selon une direction axiale (sur une arête du cube représentant le domaine de l’espace analysé). La dispersion est élevée lorsque la propagation se fait selon une direction diagonale, dans un plan du cube (la fréquence de coupure est égale à ∆l/λ=1/2). Et elle est maximale si la propagation se fait selon une diagonale du cube. Ce qui est intéressant à noter, c’est que pour une structure 2D, une simulation TLM 3D à nœuds SCN donne des résultats plus précis (dans un plan), du point de vue erreur de vitesse, qu’une simulation 2D à nœuds « série » ou « parallèle » [1].

c) L’erreur de résolution spatiale : apparait dans les structures où une résolution spatiale très fine est nécessaire, notamment au niveau des discontinuités où le champ subit des variations brusques. Dans ce cas, il est nécessaire d’utiliser un maillage très fin, mais le prix à payer est que la taille de mémoire et les temps de calcul deviennent ainsi très grands. Une solution [11] serait d’utiliser le changement de maille et un maillage à pas variable. En 3D, en plus du cas 2D, cette erreur est provoquée par la nature non-ponctuelle du nœud TLM [11], lorsque les composantes du champ ne sont pas définies au même point. Pour l’empêcher, il faut utiliser un nœud 3D condensé.